This work is licensed under a
Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
VẬT LÝ TỔNG QUAN
Chương 1. CƠ HỌC .
1.1 ĐỘNG HỌC .
1.1.7 Đồ thị chuyển động
Ký hiệu và đồ thị
Như chúng ta đã biết ở 1.1.6 , dùng các ký hiệu toán học hiện đại là một cách rất gọn và đơn giản để mã hóa các ý tưởng. Khi nói đến chiều sâu của ý tưởng vật lý , không gì tốt hơn là biểu diễn nó dưới dạng một hay nhiều phương trình. Những phương trình đó có thể dễ dàng chứa các thông tin tương đương với một số mệnh đề phức tạp và thậm chí là dài dòng . Mô tả của Galileo về một đối tượng di chuyển với tốc độ không đổi (có lẽ là ứng dụng đầu tiên của toán học đối với chuyển động) đã phải cần đến một định nghĩa, bốn tiên đề, và sáu định lý . Tất cả những mối quan hệ đó có thể được viết bằng một phương trình duy nhất hết sức gọn gàng .
$\bar{v}= \frac{Δ s}{Δ t}$
Để mô tả hiện tượng vật thể chuyển động một chiều với gia tốc hằng - còn gọi là chuyển động đều , người ta biểu diễn bằng 3 phương trình chuyển động với các điều kiện cho trước bằng các ký hiệu toán học .
Điều kiện cho trước
$t_{0}=0 , x_{0}=0 $ và $u=v_{0}$
Phương trình thứ nhất $v= u +a. t$ , nêu lên mối quan hệ giữa vận tốc-thời gian ${v,u,a,t}$
Phương trình thứ hai
$x = u. t + ½ .a. t^2.$ ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$ ( tính theo vận tốc sau v ) chỉ ra mối quan hệ giữa dịch chuyển-thời gian ${x,u,v,a,t}$
Phương trình thứ ba
$v^2 = u^2 + 2.a.x$ cho thấy liên hệ giữa vận tốc-dịch chuyển ${v,u,a,x}$
Những phương trình chuyển động này nếu phải viết dưới dạng văn bản theo Galileo, có lẽ phải trình bày một cách rất rườm rà , phức tạp . May thay các ký hiệu toán học đã biểu diễn toàn bộ các ý tưởng quan trọng của vật thể chuyển động đều một cách rất đầy đủ và súc tích .
Những tiện ích của việc dùng ký hiệu toán học trong việc mô tả các hiện tượng khoa học tự nhiên nói chung và riêng ở môn vật lý là không thể chối cãi . Tuy nhiên người ta còn sử dụng các phương pháp khác như như phim ảnh , đồ thị trong việc dẫn giải hoặc thuần túy chỉ là để quan sát những gì đang xẩy ra . Một cách tổng quát một hình ảnh có chức năng biểu diễn cho công thức hay một phương trình toán học được gọi là một đồ thị. Đồ thị thường đượcxem là cách tốt nhất để truyền tải các mô tả của các sự kiện , hiện tượng trong thế giới thực theo một hình thức nhỏ gọn.
Đồ thị của chuyển động thường có một số dạng phụ thuộc vào các đại lượng động học (thời gian, dịch chuyển , vận tốc, gia tốc) được gán cho một trục nào đó . Các ví dụ trong 1.1.5 cũng đã cho chúng ta thấy vài nét sơ lược về các tính năng của đồ thị vận tốc-thời gian và dịch chuyển -thời gian .
Đồ thị dịch chuyển-thời gian
Để tìm hiểu về đồ thị dịch chuyển-thời gian chúng ta sẽ bắt đầu với công thức vận tốc của vật thể chuyển động . Từ $\bar{v}=\frac{\Delta S}{\Delta t}$ , nếu $t_{0}=0$ ta sẽ viết lại như sau
$x - x_{0} =\bar{v}. t $
hay $S = S_{0} + \bar{v}.t$
Khi đó biểu thức $S=S(t)= S_{0} + \bar{v}.t$ mô tả quan hệ bậc nhất dịch chuyển - thời gian .
Để khảo sát đồ thị hàm $S=S(t)$ , với trục tung được gán cho dịch chuyển $S$ , chúng ta dễ dàng liên hệ đến đồ thị của hàm số bậc nhất $y = b + ax$ có dạng là một đường thẳng . Hệ số a và b tương ứng chỉ về độ dốc ( hay hệ số góc ) và tung độ gốc ( giao điểm của đồ thị và trục tung ) .
Trong hàm dịch chuyển bậc nhất $S = S_{0} + \bar{v}.t$
-
Độ dốc là $\bar{v}$ : vận tốc -
chỉ mức độ nhanh chậm của đối tượng chuyển động . Độ dốc dương ( hoặc âm ) mô tả chuyển động của đối tượng theo hướng dương ( hoặc hướng âm ) .
-
Tung độ gốc là $S_{0}$ : dịch chuyển ban đầu -
xác định vị trí trước khi khảo sát chuyển động .
-
Đồ thị hàm số $S=S(t)$ là đường thẳng -
chỉ ra rằng vận tốc không đổi , gia tốc bằng 0 .
Tuy nhiên , biểu thức dịch chuyển-thời gian $S=S(t)$ có thể là một hàm số bậc hai , như các bạn đã biết phương trình chuyển động đều thứ hai có dạng
$x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$
Trong đó $ x_{0}$ là dịch chuyển ban đầu , nếu $t_{0}=0$ ta sẽ viết lại như sau
$x = x_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$
hay $S = S_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$ mô tả quan hệ bậc hai dịch chuyển - thời gian .
Đồ thị hàm $S=S(t)$ là một parabola có dạng tổng quát $y= c + bx + ax^2$ .
Hệ số $a<0$ chỉ độ cong lồi ( đồ thị có điểm cực đại ) , trong khi $a>0$ chỉ độ cong lõm của parabola ( đồ thị có điểm cực tiểu ) .
Hệ số b chỉ về vị trí của điểm cực trị và sự nâng của đường parabola , Nếu $b<0$ ( hoặc $b>0$ ) điểm cực trị nằm về phía bên phải (hoặc bên trái ) trục tung .
Nếu $a>0$ thi khi $|b|$ càng lớn ( hoặc nhỏ ) đồ thị càng có khuynh hướng hạ xuống (hoặc nâng lên ) .
Ngược lại , nếu $a<0$ thì khi $|b|$ càng lớn ( hoặc nhỏ ) đồ thị càng có khuynh hướng nâng lên (hoặc hạ xuống ) .
Hệ số c là tung độ gốc ( giao điểm của đồ thị và trục tung ) .
Trong hàm dịch chuyển bậc hai $S = S_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$
-
Hệ số a : Gia tốc $a<0$ ( hay $a>0$ )
chỉ độ cong lồi ( hay lõm ) - cho biết giá trị cực đại ( hoặc cực tiểu ) của dịch chuyển của đối tượng chuyển động .
-
Tung độ gốc là $S_{0}$ : dịch chuyển ban đầu -
xác định vị trí trước khi khảo sát chuyển động .
-
Đồ thị hàm số $S=S(t)$ là đường parabola -
chỉ ra rằng gia tốc không đổi .
Trường hợp tổng quát biểu thức dịch chuyển-thời gian $S=S(t)$ là một hàm số tùy ý , đồ thị dịch chuyển -thời gian không cho chúng ta biết vận tốc cụ thể của vật thể chuyển động , nhưng vận tốc trung bình có thể tính được bằng độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong $S(t)$.
Hình dưới đây chỉ ra cách tính vận tốc trung bình $\bar{v}$ trong khoảng thời gian 10s .
$\bar{v}= \frac{\Delta S}{\Delta t}= \frac{9.5}{10}= 0.95 m/s$
Vận tốc tức thời tại một điểm trên đường cong $S(t)$ là giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian $\Delta t $ tiến về 0 .
$v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{dS}{dt}$
Như vậy vận tốc tức thời $v(t)$
là đạo hàm bậc nhất của hàm khoảng cách $S(t)$ đối với thời gian t.
Bảng số liệu vận tốc tức thời của chuyển động cho trong bảng sau đây chỉ ra sự thay đổi độ dốc ( giá trị đạo hàm của $S(t)$ ) của các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị $S(t)$
Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị dịch chuyển-thời gian .
- Độ dốc tại một điểm trên đồ thị là vận tốc .
- Độ dốc dương (âm) biểu thị cho chuyển động theo hướng dương (âm) .
- Độ dốc bằng 0 biểu thị cho chuyển động ở trạng thái nghỉ .
- Tung độ gốc là dịch chuyển ban đầu .
- Đường thẳng biểu diễn chuyển động có vận tốc hằng .
- Đường cong biểu diễn chuyển động có gia tốc .
- Một phần của parabola biểu diễn chuyển động có gia tốc hằng (đều) .
- Vận tốc trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong S(t) .
- Vận tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên đường cong S(t) .
- Diện tích giới hạn bởi S(t) và trục thời gian không có ý nghĩa .
Đồ thị vận tốc-thời gian
Điều cần thiết nhất khi khảo sát một đồ thị vận tốc -thời gian là phân biệt sự khác nhau giữa đồ thị dịch chuyển-thời gian và đồ thị vận tốc thời gian . Lúc này trục tung biểu thị số liệu vận tốc của vật thể chuyển động . Trong đồ thị này giá trị v nào lớn hơn mô tả trạng thái chuyển động có vận tốc nhanh hơn . Xét phương trình chuyển động đều thứ nhất $v= u +a. t$ , mô tả quan hệ giữa vận tốc-thời gian ${v,u,a,t}$ .
Hàm vận tốc $v =u +a. t$ như trên có dạng hàm số bậc nhất $y = b + ax$ và đồ thị là một đường thẳng . Các tính chất đặc trưng của hàm vận tốc bậc nhất này có những điểm tương tự như đã khảo sát ở hàm dịch chuyển bậc nhất ở phần trên .
Trong hàm vận tốc bậc nhất $v = v_{0} + \bar{a}.t$
-
Độ dốc là $\bar{a}$ : gia tốc -
chỉ mức độ gia tốc của đối tượng chuyển động . Độ dốc dương ( hoặc âm ) mô tả sự tăng ( hoặc giảm ) vận tốc của đối tượng .
-
Tung độ gốc là $v_{0}$ : vận tốc ban đầu -
xác định vận tốc của đối tượng trước khi khảo sát chuyển động .
-
Đồ thị hàm số $v=v(t)$ là đường thẳng -
chỉ ra rằng gia tốc không đổi (đều) .
Trường hợp tổng quát biểu thức vận tốc-thời gian $v=v(t)$ là một hàm số tùy ý , tương tự như trường hợp dịch chuyển-thời gian , đồ thị vận tốc -thời gian không cho chúng ta biết gia tốc cụ thể của vật thể chuyển động , nhưng gia tốc trung bình có thể tính được bằng độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong $v(t)$.
Hình dưới đây chỉ ra cách tính gia tốc trung bình $\bar{a}$ trong khoảng thời gian 10s .
Gia tốc tức thời tại một điểm trên đường cong $v(t)$ là giới hạn của gia tốc trung bình khi khoảng thời gian $\Delta t $ tiến về 0 .
$a(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}$
Như vậy gia tốc tức thời $a(t)$
là đạo hàm bậc nhất của hàm vận tốc $v(t)$ đối với thời gian t.
Hình động dưới đây mô tả gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến (màu xanh dương) với đường cong $v(t)$ (màu đỏ) . Đồ thị gia tốc $a(t)$ có màu xanh lá cây .
Hãy xét ví dụ dưới đây minh họa các tham số động học từ đồ thị vận tốc-thời gian .
Một vận động viên trượt tuyết thực hiện cự ly thi đấu với các số liệu đo được như sau
Hãy tính :
- Gia tốc trung bình trong khoảng 8s đầu tiên .
- Gia tốc trung bình từ 8s đến 20 s .
- Cự ly đã trượt trong 8s đầu tiên .
- Tổng cự ly đã trượt .
- Gia tốc trung bình trong khoảng 8s đầu tiên : $\bar{a}_{[0,8]}= \frac{v_{A}-v_{0}}{\Delta t}=(16-0)/8=2 m/s^2$
- Gia tốc trung bình từ 8s đến 20 s : $\bar{a}_{[8,20]}= \frac{v_{C}-v_{A}}{\Delta t}=(20-16)/12=0.33m/s^2$
- Cự ly đã trượt trong 8s đầu tiên : $S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{0}+v_{A}) . (8-0) = ½ (0+16) .8 =64 m$
- Tổng cự ly đã trượt : $S_{đỏ}+S_{xanh dương}+S_{xanh cây}$
$S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{0}+v_{A}) . (8-0) = ½ (0+16) .8 =64 m$
$S_{xanh dương}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{A}+v_{B}) . (16-8) = ½ (16+20) .8 =144 m$
$S_{xanh cây}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t = ½ ( v_{B}+v_{C}) . (20-16) = ½ (20+20) .4 =80 m$
Vậy
$S_{đỏ}+S_{xanh dương}+S_{xanh cây}= 64m+144m+80m= 288m$
Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị vận tốc-thời gian .
- Độ dốc tại một điểm trên đồ thị là gia tốc .
- Độ dốc dương (âm) biểu thị cho sự tăng tốc theo hướng dương (âm) .
- Độ dốc bằng 0 biểu thị cho chuyển động có vận tốc hằng .
- Tung độ gốc là vận tốc ban đầu .
- Đường thẳng biểu diễn chuyển động có gia tốc đều .
- Đường cong biểu diễn chuyển động có gia tốc không đều .
- Gia tốc trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong v(t) .
- Gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên đường cong v(t) .
- Diện tích giới hạn bởi v(t) và trục thời gian biểu thị sự thay đổi dịch chuyển .
Đồ thị gia tốc-thời gian
Trong đồ thị gia tốc-thời gian trục tung biểu diễn gia tốc ($m/s^2$) và trục hoành biểu diễn thời gian (s) . Để ý rằng biểu đồ gia tốc-thời gian của bất kỳ đối tượng nào dịch chuyển với một vận tốc không đổi là như nhau. Điều này đúng bất kể vận tốc của các đối tượng như thế nào . Một chiếc xe hơi chạy với vận tốc hằng 60 mph (27 m / s), một người đi bộ với một tốc độ hằng 8 km/h tất cả đều có cùng đồ thị gia tốc-thời gian - biểu diễn bởi một đường thẳng ngang trùng với trục hoành ( trục thời gian t ). Vì tốc độ của mỗi đối tượng trên là không đổi nên các gia tốc này bằng không .
Gia tốc và vận tốc là hai đại lượng khác nhau . Đi nhanh không hàm ý tăng tốc nhanh . Một vật thể chuyển động có gia tốc lớn tương ứng với một sự thay đổi nhanh chóng về vận tốc, nhưng nó không cho bạn biết gì về giá trị của vận tốc của riêng vật thể đó . Khi gia tốc là hằng số, đồ thị gia tốc-thời gian là một đường thẳng song song với trục hoành . Mức độ thay đổi của gia tốc theo thời gian là một đại lượng vô nghĩa nên độ dốc của đường cong trên đồ thị này không có ý nghĩa. Gia tốc có thể thay đổi và không cần phải là đại lượng liên tục, nhưng mức độ của sự thay đổi của gia tốc theo thời gian là khái niệm không có trong vật lý .
Hình động dưới đây mô tả mối liên hệ giữa dịch chuyển - vận tốc - gia tốc theo biến thời gian .
Từ trái sang phải biểu thị phép toán đạo hàm - độ dốc của tiếp tuyến (derivative) , từ phải sang trái biểu thị phép toán tích phân -diện tích giới hạn bởi đường cong (integral) .
Để làm rõ sự liên hệ này chúng ta xét một ví dụ hình học dưới đây .
Xét chuyển động của một vật thể với vận tốc từ 165 m /s đến mức tối đa là 250 m / s, biểu diễn bởi đồ thị (a) , (b) , (c) . Đồ thị (a) minh họa dịch chuyển S ( km ) - thời gian t (s)
Thời gian đầu là $t_{0}=0 $ tương ứng với dịch chuyển ban đầu và vận tốc là 2.9 km và 165 m / s . Độ dốc của S theo thời gian t chính là vận tốc $v$ ( xem hình (b) ) .
Biểu đồ vận tốc tăng cho đến khi t = 55 s , sau đó, độ dốc không đổi . Gia tốc $a$ giảm dần từ $5.0 m /s^2$ đến $0 m/s^2$ khi vận tốc máy bay chạm mốc 250 m /s ( xem hình (c) ) .
Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị gia tốc-thời gian .
- Độ dốc tại một điểm trên đồ thị không có ý nghĩa .
- Độ dốc bằng 0 chuyển động có gia tốc không đổi .
- Tung độ gốc là gia tốc ban đầu .
- Đường thẳng ngang biểu diễn chuyển động có gia tốc đều .
- Diện tích giới hạn bởi a(t) và trục thời gian biểu thị sự thay đổi vận tốc .
Trần hồng Cơ
Biên soạn
Ngày 10/11/2014
Nguồn :
1.
http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2.
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3.
http://physics.info/
4.
http://www.onlinephys.com/index.html
5.
http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/
6.
http://physics.tutorcircle.com/
Xem tiếp
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2014/11/vat-ly-tong-quan-chuong-1-co-hoc-11-ong_10.html
This work is licensed under a
Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.
Victor Hugo.
