VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC . 1.1.8 Động học và phép toán vi tích phân

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

VẬT LÝ TỔNG QUAN 

Chương 1. CƠ HỌC .

1.1  ĐỘNG HỌC .

1.1.8   Động học và phép toán vi tích phân    







Khi gia tốc là hằng số  

Phương trình chuyển động thứ 1.

Phép tính vi tích phân là một chủ đề toán học cao cấp và khá phức tạp , nhưng khi trích xuất các ý tưởng để thu được những phương trình chuyển động thì công việc này lại đơn giản hơn nhiều. Theo định nghĩa, gia tốc là đạo hàm cấp một của vận tốc theo thời gian.

$a = \frac{dv}{dt}$ ,

và trong bối cảnh này chúng ta sẽ xét đến trường hợp đặc biệt : khi gia tốc là hằng số . Thay vì đạo hàm vận tốc để tìm gia tốc , chúng ta sẽ tích phân gia tốc để tìm vận tốc. Điều này mang lại cho chúng ta phương trình vận tốc-thời gian.
Hãy xem các bước tính sau đây

$a = \frac{dv}{dt}$

$dv = a.dt$

$\int_{v_{0}}^{v}dv=\int_{t_{0}}^{t}adt$

$v-v_{0}=a(t-t_{0})=a.\Delta t$

Hay   $v=v_{0}+a.\Delta t$  đây chính là phương trình chuyển động thứ nhất

Khi  $t_{0} = 0 $  ta có    $v=v_{0}+a. t$


Phương trình chuyển động thứ 2.

Một lần nữa, theo định nghĩa, vận tốc là đạo hàm cấp một của dịch chuyển theo thời gian. Thay vì đạo hàm dịch chuyển để tìm vận tốc, ta tích phân vận tốc để tìm dịch chuyển .

$v = \frac{dx}{dt}$

$dx = v.dt = (v_{0}+at) dt $

$\int_{x_{0}}^{x}dx=\int_{t_{0}}^{t}(v_{0}+at) dt $

$x-x_{0}=v_{0}(t-t_{0})+1/2 a.(t-t_{0})^2$

Hay   $x=x_{0}+v_{0}\Delta t + 1/2 a.\Delta t^2$  đây chính là phương trình chuyển động thứ hai

Khi  $t_{0} = 0 $  ta có   $x=x_{0}+v_{0} t + 1/2 a. t^2$



Phương trình chuyển động thứ 3.

Quan hệ giữa vận tốc và dịch chuyển sẽ được tìm từ vi phân của vận tốc $v$ theo biến dịch chuyển $x$  .

Ta có  $\frac{dv}{dx}=\frac{dv}{dt}.\frac{dt}{dx}=a.\frac{1}{v}$

$v.dv=a.dx$

$\int_{v}^{v_{0}}v.dv = \int_{x}^{x_{0}}a.dx$

Hay $½ . (v^2-v_{0}^2)= a.(x-x_{0})$

Phương trình chuyển động thứ ba tìm được là

$2.a.(x - x_{0}) = v^2 - v_{0}^2$


Câu hỏi

1. Phương trình dịch chuyển của vật thể chuyển động theo thời gian t trong khoảng từ 0 đến 8 s  như sau
$ x = t^3 - 12.t^2 + 30.t $
Trong đó x có đơn vị là m .
Hãy tính :
a. Vận tốc của vật thể .
b. Gia tốc của vật thể .
c. Vận tốc cực đại và cực tiểu .
d.Thời gian vật chuyển động ngược hướng .
e.Thời gian đối tượng quay trở lại vị trí bắt đầu của nó
f. Vận tốc trung bình của đối tượng
g.Tốc độ trung bình của đối tượng

Lời giải
Đồ thị dịch chuyển-thời gian

a. b.  Vận tốc của vật thể :  $v = dx/dt = 3t^2 - 24t + 30  (m/s)$
         Gia  tốc của vật thể :  $a = dv/dt = 6t - 24t  (m/s^2) $

c. Vận tốc cực đại và cực tiểu .
Từ biểu thức vận tốc  $v = dx/dt = 3t^2 - 24t + 30  (m/s)$  đây là hàm số bậc hai , giải phương trình đạo hàm của vận tốc bằng 0 . Ta có
$v'(t) = 6t - 24 = 0 $
$ t = 4 $
Lập bảng biến thiên của hàm $v(t)$

Từ bảng này ta nhận được
Vận tốc cực đại  :  $v_{MAX} = 30 (m/s)$
Vận tốc cực tiểu :  $v_{MIN} = -18 (m/s)$

d.Thời gian vật chuyển động ngược hướng .
Hướng chuyển động phụ thuộc vào dấu của vận tốc . Ta lập bảng xét dấu  và khảo sát đồ thị vận tốc $v(t)$

Thời gian vật chuyển động ngược hướng :  $ t \in [1.55 , 6.45] $

e.Thời gian đối tượng quay trở lại vị trí bắt đầu của nó .
Vị trí ban đầu của vật thể tại $t=0$ là $x(0)=0$
Tìm thời gian trở về vị trí bắt đầu nghĩa là giải phương trình  $x(t)=x(0)=0$

$ t^3 - 12.t^2 + 30.t =0$

$t = 0 $ ; $ t = 6 - \sqrt{6} \approx{3.55}$ (nhận)  ;  $t = 6 + \sqrt{6} \approx{8.45}$ (loại)

f. Vận tốc trung bình của đối tượng

$\bar{v}=\frac{x(t)-x(t_{0})}{t-t_{0}}$  vì thời gian tính từ 0 đến 8 (s) nên

$\bar{v}=\frac{x(8)-x(0)}{8-0} = \frac{8^3-12.8^2+30.8 - 0}{8-0}= -2 (m/s)$


g.Tốc độ trung bình của đối tượng

Trên khoảng $t \in [0,1.55]$ : khoảng cách vật đi được là  $\Delta S_{1}= x(1.55)-x(0) = 21.39$

Trên khoảng $t \in [1.55 , 6.45]$ : khoảng cách vật đi được là  $\Delta S_{2}= x(6.45)-x(1.55) = -37.39-21.39 = -58,78 $

Trên khoảng $t \in [6.45 , 8]$ : khoảng cách vật đi được là  $\Delta S_{3}= x(8)-x(6.45) = -16 -(-58.78) = 42.78$

Tổng khoảng cách là $\Delta S =\Delta S_{1} + |\Delta S_{2}| + \Delta S_{3} = 21.39 + 58,78 +42.78 = 122,95 (m)$

Tốc độ trung bình của đối tượng :  $\bar{V} = \Delta S/ \Delta t  =  122,95 / 10  = 15,37 (m/s)$





Trần hồng Cơ 
Biên soạn 
Ngày 25/11/2014



Nguồn :
1. http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3. http://physics.info/
4. http://www.onlinephys.com/index.html
5. http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/
6. http://physics.tutorcircle.com/



Xem tiếp 
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2014/11/vat-ly-tong-quan-chuong-1-co-hoc-11-ong_29.html


  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.

VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC . 1.1.7 Đồ thị chuyển động

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

VẬT LÝ TỔNG QUAN 

Chương 1. CƠ HỌC .

1.1  ĐỘNG HỌC .

1.1.7   Đồ thị chuyển động     




Ký hiệu và đồ thị 

Như chúng ta đã biết ở 1.1.6 , dùng các ký hiệu toán học hiện đại là một cách rất gọn và đơn giản để mã hóa các ý tưởng. Khi nói đến chiều sâu của ý tưởng vật lý , không gì tốt hơn là biểu diễn nó dưới dạng một hay nhiều phương trình. Những phương trình đó có thể dễ dàng chứa các thông tin tương đương với một số mệnh đề phức tạp và thậm chí là dài dòng . Mô tả của Galileo về một đối tượng di chuyển với tốc độ không đổi (có lẽ là ứng dụng đầu tiên của toán học đối với chuyển động) đã phải cần đến một định nghĩa, bốn tiên đề, và sáu ​​định lý . Tất cả những mối quan hệ đó có thể được viết bằng một phương trình duy nhất hết sức gọn gàng .
$\bar{v}= \frac{Δ s}{Δ t}$

Để mô tả hiện tượng vật thể chuyển động một chiều với gia tốc hằng - còn gọi là chuyển động đều , người ta biểu diễn bằng 3 phương trình chuyển động với các điều kiện cho trước bằng các ký hiệu toán học .


Điều kiện cho trước
 $t_{0}=0 ,  x_{0}=0 $   và   $u=v_{0}$
Phương trình thứ nhất  $v= u +a. t$ , nêu lên mối quan hệ giữa vận tốc-thời gian  ${v,u,a,t}$

Phương trình thứ hai
$x = u. t + ½ .a. t^2.$    ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$     ( tính theo vận tốc sau v )  chỉ ra mối quan hệ giữa dịch chuyển-thời gian ${x,u,v,a,t}$

Phương trình thứ ba
 $v^2 = u^2 + 2.a.x$  cho thấy liên hệ giữa vận tốc-dịch chuyển  ${v,u,a,x}$



Những phương trình chuyển động này nếu phải viết dưới dạng văn bản theo Galileo, có lẽ phải trình bày một cách rất rườm rà , phức tạp . May thay các ký hiệu toán học đã biểu diễn toàn bộ các ý tưởng quan trọng của vật thể chuyển động đều một cách rất đầy đủ và súc tích .

Những tiện ích của việc dùng ký hiệu toán học trong việc mô tả các hiện tượng khoa học tự nhiên nói chung và riêng ở môn vật lý  là không thể chối cãi . Tuy nhiên người ta còn sử dụng các phương pháp khác như  như phim ảnh , đồ thị  trong việc dẫn giải hoặc thuần túy chỉ là để quan sát những gì đang xẩy ra . Một cách tổng quát một hình ảnh có chức năng biểu diễn cho công thức hay một phương trình toán học được gọi là một đồ thị. Đồ thị thường đượcxem là cách tốt nhất để truyền tải các mô tả của các sự kiện , hiện tượng trong thế giới thực theo một hình thức nhỏ gọn.



Đồ thị của chuyển động thường có một số dạng phụ thuộc vào các đại lượng động học (thời gian, dịch chuyển , vận tốc, gia tốc) được gán cho một trục nào đó . Các ví dụ trong 1.1.5 cũng đã cho chúng ta thấy vài nét sơ lược về các tính năng của đồ thị vận tốc-thời gian và dịch chuyển -thời gian .

Đồ thị dịch chuyển-thời gian 

Để tìm hiểu về đồ thị dịch chuyển-thời gian chúng ta sẽ bắt đầu với công thức vận tốc của vật thể chuyển động . Từ  $\bar{v}=\frac{\Delta S}{\Delta t}$  , nếu $t_{0}=0$  ta sẽ viết lại như sau
$x - x_{0} =\bar{v}. t $
hay  $S = S_{0} + \bar{v}.t$
Khi đó biểu thức $S=S(t)=  S_{0} + \bar{v}.t$  mô tả quan hệ bậc nhất dịch chuyển - thời gian .

Để khảo sát đồ thị hàm $S=S(t)$ , với trục tung được gán cho dịch chuyển $S$ , chúng ta dễ dàng liên hệ đến đồ thị của hàm số bậc nhất $y = b + ax$  có dạng là một đường thẳng . Hệ số a và b tương ứng chỉ về độ dốc ( hay hệ số góc ) và tung độ gốc ( giao điểm của đồ thị và trục tung ) .

Trong hàm dịch chuyển bậc nhất   $S = S_{0} + \bar{v}.t$
- Độ dốc là $\bar{v}$ : vận tốc - chỉ mức độ nhanh chậm của đối tượng chuyển động . Độ dốc dương ( hoặc âm ) mô tả chuyển động của đối tượng theo hướng dương ( hoặc hướng âm ) .
- Tung độ gốc là  $S_{0}$ : dịch chuyển ban đầu - xác định vị trí trước khi khảo sát chuyển động .
- Đồ thị hàm số  $S=S(t)$ là đường thẳng - chỉ ra rằng vận tốc không đổi , gia tốc bằng 0 .

Tuy nhiên , biểu thức dịch chuyển-thời gian $S=S(t)$  có thể là một hàm số bậc hai , như các bạn đã biết phương trình chuyển động đều thứ hai có dạng
$x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$  
Trong đó $ x_{0}$  là dịch chuyển ban đầu , nếu $t_{0}=0$  ta sẽ viết lại như sau
$x = x_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$  
hay $S = S_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$  mô tả quan hệ bậc hai  dịch chuyển - thời gian .

Đồ thị hàm $S=S(t)$ là một parabola có dạng tổng quát  $y= c + bx + ax^2$ .
Hệ số $a<0$  chỉ độ cong lồi ( đồ thị có điểm cực đại ) , trong khi  $a>0$ chỉ độ cong lõm của parabola  ( đồ thị có điểm cực tiểu ) .
Hệ số b chỉ về vị trí của điểm cực trị và sự nâng của đường parabola , Nếu $b<0$ ( hoặc $b>0$ ) điểm cực trị nằm về phía bên phải (hoặc bên trái ) trục tung .
Nếu $a>0$  thi khi  $|b|$ càng lớn ( hoặc nhỏ ) đồ thị càng có khuynh hướng hạ xuống (hoặc nâng lên ) .
Ngược lại , nếu  $a<0$  thì khi  $|b|$ càng lớn ( hoặc nhỏ ) đồ thị càng có khuynh hướng nâng lên (hoặc hạ xuống  ) .
Hệ số c là  tung độ gốc ( giao điểm của đồ thị và trục tung ) .

Trong hàm dịch chuyển bậc hai  $S = S_{0} +v_{0}.t + ½ .a. t^2.$
- Hệ số a  :  Gia tốc  $a<0$  ( hay $a>0$ ) chỉ độ cong lồi ( hay lõm )  - cho biết giá trị cực đại ( hoặc cực tiểu ) của dịch chuyển của đối tượng chuyển động .
- Tung độ gốc là  $S_{0}$ : dịch chuyển ban đầu - xác định vị trí trước khi khảo sát chuyển động .
- Đồ thị hàm số  $S=S(t)$ là đường parabola - chỉ ra rằng gia tốc không đổi .

Trường hợp tổng quát biểu thức dịch chuyển-thời gian $S=S(t)$  là một hàm số tùy ý , đồ thị dịch chuyển -thời gian không cho chúng ta biết vận tốc cụ thể của vật thể chuyển động , nhưng vận tốc trung bình có thể tính được bằng độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong $S(t)$.
Hình dưới đây chỉ ra cách tính vận tốc trung bình $\bar{v}$ trong khoảng thời gian 10s .

$\bar{v}= \frac{\Delta  S}{\Delta t}= \frac{9.5}{10}= 0.95 m/s$
Vận tốc tức thời tại một điểm trên đường cong $S(t)$  là giới hạn của vận tốc trung bình khi khoảng thời gian $\Delta t $ tiến về 0 .

$v(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta S}{\Delta t}=\frac{dS}{dt}$

Như vậy vận tốc tức thời  $v(t)$   là đạo hàm bậc nhất của hàm khoảng cách $S(t)$ đối với thời gian t.

Bảng số liệu vận tốc tức thời của chuyển động cho trong bảng sau đây chỉ ra sự thay đổi độ dốc ( giá trị đạo hàm của $S(t)$ ) của các tiếp tuyến  tại các điểm trên đồ thị $S(t)$

Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị dịch chuyển-thời gian .
- Độ dốc tại một điểm trên đồ thị là vận tốc .
- Độ dốc dương (âm) biểu thị cho chuyển động theo hướng dương (âm) .
- Độ dốc bằng 0 biểu thị cho chuyển động ở trạng thái nghỉ .
- Tung độ gốc là dịch chuyển ban đầu .
- Đường thẳng biểu diễn chuyển động có vận tốc hằng .
- Đường cong biểu diễn chuyển động có gia tốc .
- Một phần của parabola biểu diễn chuyển động có gia tốc hằng (đều) .
- Vận tốc trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong S(t) .
- Vận tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên đường cong S(t) .
- Diện tích giới hạn bởi S(t) và trục thời gian không có ý nghĩa .

Đồ thị vận tốc-thời gian 

Điều cần thiết nhất khi khảo sát một đồ thị vận tốc -thời gian là phân biệt sự khác nhau giữa đồ thị dịch chuyển-thời gian và đồ thị vận tốc thời gian . Lúc này trục tung biểu thị số liệu vận tốc của vật thể chuyển động . Trong đồ thị này giá trị v nào lớn hơn mô tả trạng thái chuyển động có vận tốc nhanh hơn .  Xét phương trình chuyển động đều thứ nhất $v= u +a. t$ , mô tả quan hệ giữa vận tốc-thời gian  ${v,u,a,t}$ .

Hàm vận tốc $v =u +a. t$ như trên có dạng hàm số bậc nhất $y = b + ax$  và đồ thị là một đường thẳng . Các tính chất đặc trưng của hàm vận tốc bậc nhất này có những điểm tương tự như đã khảo sát ở hàm dịch chuyển bậc nhất ở phần trên .
Trong hàm vận tốc bậc nhất   $v = v_{0} + \bar{a}.t$

- Độ dốc là $\bar{a}$ : gia tốc - chỉ mức độ gia tốc của đối tượng chuyển động . Độ dốc dương ( hoặc âm ) mô tả sự tăng ( hoặc giảm ) vận tốc của đối tượng .
- Tung độ gốc là  $v_{0}$ : vận tốc ban đầu - xác định vận tốc của đối tượng trước khi khảo sát chuyển động .
- Đồ thị hàm số  $v=v(t)$ là đường thẳng - chỉ ra rằng gia tốc không đổi  (đều) .

Trường hợp tổng quát biểu thức vận tốc-thời gian $v=v(t)$  là một hàm số tùy ý , tương tự như trường hợp dịch chuyển-thời gian , đồ thị vận tốc -thời gian không cho chúng ta biết gia tốc cụ thể của vật thể chuyển động , nhưng gia tốc trung bình có thể tính được bằng độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong $v(t)$.
Hình dưới đây chỉ ra cách tính gia tốc trung bình $\bar{a}$ trong khoảng thời gian 10s .

Gia tốc tức thời tại một điểm trên đường cong $v(t)$  là giới hạn của gia tốc trung bình khi khoảng thời gian $\Delta t $ tiến về 0 .

$a(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{dv}{dt}$

Như vậy gia tốc tức thời  $a(t)$   là đạo hàm bậc nhất của hàm vận tốc $v(t)$ đối với thời gian t.
Hình động dưới đây mô tả gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến (màu xanh dương) với đường cong $v(t)$  (màu đỏ) . Đồ thị gia tốc $a(t)$ có màu xanh lá cây .

Hãy xét ví dụ dưới đây minh họa các tham số động học từ đồ thị vận tốc-thời gian  .
Một vận động viên trượt tuyết thực hiện cự ly thi đấu với các số liệu đo được như sau

Hãy tính :
- Gia tốc trung bình trong khoảng 8s đầu tiên .
- Gia tốc trung bình từ 8s đến 20 s .
- Cự ly đã trượt trong 8s đầu tiên .
- Tổng cự ly đã trượt .

- Gia tốc trung bình trong khoảng 8s đầu tiên : $\bar{a}_{[0,8]}= \frac{v_{A}-v_{0}}{\Delta t}=(16-0)/8=2 m/s^2$
- Gia tốc trung bình từ 8s đến 20 s  : $\bar{a}_{[8,20]}= \frac{v_{C}-v_{A}}{\Delta t}=(20-16)/12=0.33m/s^2$
- Cự ly đã trượt trong 8s đầu tiên : $S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t =  ½ ( v_{0}+v_{A}) . (8-0) = ½ (0+16) .8 =64 m$
- Tổng cự ly đã trượt : $S_{đỏ}+S_{xanh dương}+S_{xanh cây}$
$S_{đỏ}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t =  ½ ( v_{0}+v_{A}) . (8-0) = ½ (0+16) .8 =64 m$
$S_{xanh dương}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t =  ½ ( v_{A}+v_{B}) . (16-8) = ½ (16+20) .8 =144 m$
$S_{xanh cây}=\Delta S = \bar{v}. \Delta t =  ½ ( v_{B}+v_{C}) . (20-16) = ½ (20+20) .4 =80 m$
Vậy
$S_{đỏ}+S_{xanh dương}+S_{xanh cây}= 64m+144m+80m= 288m$

Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị vận tốc-thời gian .
- Độ dốc tại một điểm trên đồ thị là gia tốc .
- Độ dốc dương (âm) biểu thị cho sự tăng tốc theo hướng dương (âm) .
- Độ dốc bằng 0 biểu thị cho chuyển động có vận tốc hằng .
- Tung độ gốc là vận tốc ban đầu .
- Đường thẳng biểu diễn chuyển động có gia tốc đều .
- Đường cong biểu diễn chuyển động có gia tốc không đều .
- Gia tốc trung bình là độ dốc của đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối trên đường cong v(t) .
- Gia tốc tức thời là độ dốc của tiếp tuyến tại điểm trên đường cong v(t) .
- Diện tích giới hạn bởi v(t) và trục thời gian biểu thị sự thay đổi dịch chuyển .



Đồ thị gia tốc-thời gian 

Trong đồ thị gia tốc-thời gian trục tung biểu diễn gia tốc ($m/s^2$) và trục hoành biểu diễn thời gian (s) . Để ý rằng biểu đồ gia tốc-thời gian của bất kỳ đối tượng nào dịch chuyển với một vận tốc không đổi là như nhau. Điều này đúng bất kể vận tốc của các đối tượng như thế nào . Một chiếc xe hơi chạy với vận tốc hằng 60 mph (27 m / s), một người đi bộ với một tốc độ hằng 8 km/h  tất cả đều có cùng đồ thị gia tốc-thời gian - biểu diễn bởi một đường thẳng ngang trùng với trục hoành ( trục thời gian t ). Vì tốc độ của mỗi đối tượng trên là không đổi nên các gia tốc này bằng không .

 Gia tốc và vận tốc là hai đại lượng khác nhau . Đi nhanh không hàm ý tăng tốc nhanh . Một vật thể chuyển động có gia tốc lớn tương ứng với một sự thay đổi nhanh chóng về vận tốc, nhưng nó không cho bạn biết gì về giá trị của vận tốc của riêng vật thể đó . Khi gia tốc là hằng số, đồ thị gia tốc-thời gian là một đường thẳng song song với trục hoành . Mức độ thay đổi của gia tốc theo thời gian là một đại lượng vô nghĩa nên độ dốc của đường cong trên đồ thị này không có ý nghĩa.  Gia tốc có thể thay đổi và không cần phải là đại lượng liên tục, nhưng mức độ của sự thay đổi của gia tốc theo thời gian là khái niệm không có trong vật lý .

Hình động dưới đây mô tả mối liên hệ giữa dịch chuyển - vận tốc - gia tốc theo biến thời gian .
Từ trái sang phải biểu thị phép toán đạo hàm - độ dốc của tiếp tuyến (derivative) , từ phải sang trái biểu thị phép toán tích phân -diện tích giới hạn bởi đường cong (integral) .

Để làm rõ sự liên hệ này chúng ta xét một ví dụ hình học dưới đây .

Xét chuyển động của một vật thể với vận tốc từ 165 m /s đến mức tối đa là 250 m / s, biểu diễn bởi đồ thị (a) , (b) , (c) . Đồ thị (a) minh họa dịch chuyển S ( km ) - thời gian t (s)

Thời gian đầu là   $t_{0}=0 $ tương ứng với dịch chuyển ban đầu và vận tốc là 2.9 km và 165 m / s . Độ dốc của S theo thời gian  t chính là vận tốc $v$ ( xem hình (b) ) .

Biểu đồ vận tốc tăng cho đến khi t = 55 s , sau đó, độ dốc không đổi . Gia tốc $a$ giảm dần từ $5.0 m /s^2$  đến  $0 m/s^2$   khi vận tốc máy bay chạm mốc 250 m /s ( xem hình (c) ) .

Tóm tắt .
Các tính chất của đồ thị gia tốc-thời gian .
- Độ dốc tại một điểm trên đồ thị không có ý nghĩa .
- Độ dốc bằng 0 chuyển động có gia tốc không đổi .
- Tung độ gốc là gia tốc ban đầu .
- Đường thẳng ngang biểu diễn chuyển động có gia tốc đều .
- Diện tích giới hạn bởi a(t) và trục thời gian biểu thị sự thay đổi vận tốc .

Trần hồng Cơ 
Biên soạn 
Ngày 10/11/2014



Nguồn :
1. http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3. http://physics.info/
4. http://www.onlinephys.com/index.html
5. http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/
6. http://physics.tutorcircle.com/



Xem tiếp 


http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2014/11/vat-ly-tong-quan-chuong-1-co-hoc-11-ong_10.html



  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.

VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC . 1.1.6 Vật thể rơi

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

VẬT LÝ TỔNG QUAN 

Chương 1. CƠ HỌC .

1.1  ĐỘNG HỌC .

1.1.6   Vật thể rơi    


Gia tốc do trọng lực  

Trong phần 1.1.4 và 1.1.5 trước đây chúng ta đã tìm hiểu về gia tốc đồng thời đưa ra các phương trình chuyển động đều . Một trường hợp đáng lưu ý trong chuyển động có gia tốc là hiện tượng rơi tự do .
Bạn hãy khảo sát một đối tượng mang gia tốc bằng một thí nghiệm sau .
Nhặt một vật gì đó : viên sỏi hay quả bóng tròn với bàn tay của bạn và thả nó xuống đất. Khi thả vật này từ bàn tay của bạn, tốc độ ban đầu của nó là 0. Trên đường rơi xuống tốc độ của nó tăng dần lên . Thời gian rơi càng rơi lâu tốc độ của vật càng nhanh hơn . Điều này chỉ cho ta thấy vật thể rơi có gia tốc .

Nhưng gia tốc thì nhiều ý nghĩa hơn là chỉ có tăng tốc độ . Hãy giữ cùng vật thể này trong tay và tung nó lên theo chiều thẳng đứng vào không trung . Trên đường tung lên tốc độ của vật sẽ giảm dần cho đến khi nó dừng lại và đảo ngược hướng. Tốc độ khi giảm dần đi cũng được coi là có gia tốc.



Nhưng gia tốc thì cũng đã như nói ở phần trên , nó mang nhiều ý nghĩa hơn là chỉ có giảm tốc độ . Chúng ta sẽ xét đến hiện tượng vật thể của bạn được ném theo chiều ngang và để ý xem vận tốc ngang của nó dần dần trở thành vận tốc dọc. Vì gia tốc là mức độ thay đổi của vận tốc theo thời gian và vận tốc là một đại lượng vector nên sự thay đổi theo hướng này cũng được coi là gia tốc.
Trong mỗi ví dụ đã xét đến ở trên gia tốc đều là kết quả của lực hấp dẫn. Vật thể của bạn đã có gia tốc bởi vì lực hấp dẫn đã kéo nó xuống đất . Ngay cả các đối tượng khi được tung lên cũng sẽ rơi xuống - và nó bắt đầu rơi vào phút nó rời khỏi bàn tay của bạn . Đây là gia tốc do trọng lực - còn gọi là gia tốc trọng trường ( được ký hiệu bằng chữ g - nghiêng)  .
Nhưng các yếu tố nào ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường ? Nếu bạn đưa ra câu hỏi này cho một người tiêu biểu nào đó , họ rất có thể sẽ nói là "trọng lượng" bởi đó thực sự có nghĩa là "khối lượng" ( chúng ta sẽ bàn nhiều hơn về điều này sau) . Rất dễ lập luận rằng : các vật nặng rơi nhanh và các đối tượng nhẹ rơi chậm hơn . Mặc dù điều này có vẻ đúng khi kiểm tra lần đầu tiên, nhưng nó vẫn không trả lời được câu hỏi .  "Các yếu tố nào ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường ? " Khối lượng không ảnh hưởng đến gia tốc trọng trường theo bất kỳ cách đo lường khả dĩ nào . Hai đại lượng này độc lập với nhau.

Vật thể nhẹ tăng tốc chậm hơn so với các vật nặng chỉ khi có các lực khác cùng tác động với trọng lực  . Khi điều này xảy ra, một đối tượng có thể rơi xuống, nhưng nó không phải là rơi tự do. Sự rơi tự do xảy ra bất cứ khi nào một đối tượng chỉ duy nhất chịu tác động của trọng lực .

Các thí nghiệm về sự rơi tự do

Hãy quay về quá khứ một chút.  Trong thế giới phương Tây trước thế kỷ XVI, người ta thường cho rằng gia tốc của một vật thể rơi sẽ tỉ lệ với khối lượng của nó - Ví dụ  một đối tượng nặng 10 kg đã được dự kiến rằng sẽ tăng tốc nhanh hơn mười lần so với một đối tượng nặng 1 kg . Triết gia Hy Lạp cổ đại Aristotle  (384-322 TCN), cũng đã đưa ra quy tắc này trong những gì ông đã viết có lẽ là cuốn sách đầu tiên về cơ học . Đó là một công trình vô cùng phổ biến trong số các học giả và trải qua nhiều thế kỷ  nó đã được xem là những lý luận kinh điển .

Giáo điều vật lý này của Aristotle cuối cùng đã được nhà khoa học Ý Galileo Galilei (1564-1642) đưa ra thử nghiệm. Không giống như mọi nhà vật lý thời điểm đó, Galileo đã thực sự cố gắng để xác minh lý thuyết của riêng mình thông qua thực nghiệm và quan sát một cách cẩn thận. Sau đó, ông kết hợp kết quả của các thí nghiệm với  phân tích toán học theo một phương pháp được xem là hoàn toàn mới mẻ vào thời điểm đó, nhưng bây giờ được công nhận là cách thức thực hiện nghiên cứu khoa học . Chỉ riêng đối với việc phát minh ra phương pháp này, Galileo nói chung được coi là nhà khoa học đầu tiên trên thế giới.

Trong thí nghiệm về sự rơi , Galileo thả hai vật có khối lượng khác nhau từ Tháp nghiêng Pisa. Hoàn toàn trái ngược với những lời dạy của Aristotle trước kia , hai vật thể này đều chạm mặt đất hầu như cùng một lúc. Với tốc độ mà tại đó sự rơi như vậy xảy ra, chúng ta có thể nghi ngờ rằng Galileo làm sao đã có thể trích ra được nhiều thông tin từ thí nghiệm này. Thực ra hầu hết các quan sát của ông về vật rơi  là hiện tượng các vật thể lăn xuống dốc. Sự lăn theo một độ dốc đó đã được làm chậm xuống đến thời điểm mà Galileo có thể đo khoảng thời gian bằng đồng hồ nước và mạch tim của mình . Thí nghiệm này được thực hiện lặp đi lặp lại rất nhiều lần cho đến khi đạt đến , theo ông viết , " mức chính xác khá chuẩn mà độ lệch giữa hai quan sát không bao giờ vượt quá một phần mười của một nhịp tim " .



Với kết quả như vậy, chắc bạn nghĩ rằng các trường đại học của châu Âu sẽ ban cho Galileo vinh dự cao nhất của họ, nhưng tiếc thay trường hợp đó đã không xẩy ra . Các giáo sư lúc ấy thật sự kinh hoàng với các kết quả thu được bằng các phương pháp tương đối thô sơ của Galileo , thậm chí còn đi xa hơn vậy họ từ chối thừa nhận rằng có ai đó có thể nhìn thấy thí nghiệm này bằng mắt của mình.

Trong một động thái mà bất kỳ người nào có tư duy cũng sẽ tìm thấy những sự vô lý trong giáo điều Aristotle , nhưng phương pháp của Galileo kiểm soát các quan sát thực nghiệm lúc ấy lại được xem là thấp hơn lý trí thuần túy. Hãy tưởng tượng rằng ở vào thời kỳ đó như sau :  Nếu bạn có thể nói rằng chim đại bàng sống dưới đáy đại dương và miễn là bạn đã trình bày một luận cứ tốt hơn so với bất kỳ người nào , nó sẽ được chấp nhận như một thực tế trái ngược với những quan sát của hầu hết mọi người sáng mắt khác trên hành tinh này ! Lý luận kinh điển thuần túy của Aristotle đã chà đạp trên quan sát thực nghiệm của Galileo .

Galileo gọi tên phương pháp của mình là "mới" và đã viết cuốn sách " Bài​​ giảng về Hai khoa học mới " trong đó ông đã sử dụng sự kết hợp của các quan sát thực nghiệm và lý luận toán học để giải thích những các hiện tượng vật lý như chuyển động một chiều với gia tốc hằng , gia tốc trọng trường, đặc trưng của vật phóng , tốc độ ánh sáng, bản chất vô cùng, tính chất vật lý của âm nhạc, và sức bền vật liệu.

Từ những kết quả thực nghiệm về sự rơi , Galileo đưa ra kết luận của ông về gia tốc do trọng lực rằng   : " ... trong một môi trường hoàn toàn không có sức đề kháng của vật thể tất cả sẽ rơi với cùng một tốc độ ". Đó là một phát biểu rất quan trọng trong nghiên cứu sự rơi tự do và cũng là sự mở đầu cho vật lý thực nghiệm hậu Galileo vẫn còn nguyên giá trị cho khoa học đương đại .

Tiếp sau sự kiện này nhà khoa học người Anh Issac Newton (1642- 1727) đầu tiên nghiên cứu sự rơi và ảnh hưởng của không khí lên các vật thể rơi . Trong thí nghiệm Newton dùng một ống thuỷ tinh kín trong có chứa hòn bi chì và một cái lông chim . Khi trong ống chứa không khí thì viên bi rơi nhanh hơn cái lông chim. Nhưng khi hút hết không khí trong ống ra, hai vật trên lại rơi nhanh như nhau.
Hình dưới đây mô tả thí nghiệm Newton về sự rơi trong chân không .



Từ các thí nghiệm của Galileo và Newton chúng ta có thể đưa ra kết luận về sự rơi tự do như sau :
-Nếu loại bỏ được ảnh hưởng của không khí và của các tác nhân khác ( như điện trường , từ trường , sóng bức xạ ... )  thì mọi vật rơi nhanh như nhau. Sự rơi của các vật trong trường hợp này gọi là sự rơi tự do.
Các thí nghiệm này được lặp lại trên mặt trăng bởi các phi hành gia Apollo 15 với hai vật thể rơi là cái lông chim và chiếc búa - được ghi lại trong videoclip dưới đây .




Giá trị của gia tốc trọng trường 

Galileo tiến hành nhiều phép đo liên quan đến gia tốc trọng trường nhưng chưa một lần tính toán giá trị của nó (hoặc nếu ông đã làm  thì chúng ta cũng vẫn chưa bao giờ nhìn thấy số liệu đó được công bố trong bất cứ báo cáo nào ). Thay vào đó, ông tuyên bố phát hiện của mình như là một tập hợp các mối quan hệ tỷ lệ và hình học . Mô tả của ông về tốc độ không đổi cần đến một định nghĩa, bốn tiên đề, ​​và sáu định lý . Tất cả những mối quan hệ có thể được viết như là phương trình duy nhất $ \bar{v}  = Δ s / Δ t $ theo ký hiệu hiện đại. Các ký hiệu có thể chứa nhiều thông tin như một số câu trong văn bản khi nó tạo thành một mệnh đề toán học , đó là lý do tại sao chúng được sử dụng rộng rãi để mô tả hiện tượng tự nhiên .

Gia tốc do trọng lực g là gia tốc thực nghiệm của một đối tượng trong trạng rơi tự do trên bề mặt của Trái đất với giả thiết ma sát không khí có thể được bỏ qua. Nó có giá trị xấp xỉ $ 9.80 m / s^2$ , mặc dù số liệu này có thể thay đổi theo độ cao và vị trí. Có nhiều cách để xác định giá trị của gia tốc trọng trường g .

1. Giá trị của g có thể thu được từ lý thuyết bằng cách áp dụng  định luật vạn vật hấp dẫn của Newton để tìm lực giữa Trái đất và một đối tượng ở bề mặt của nó , được phát biểu như sau
$F=G.\frac{m_{1}m_{2}}{r_{12}^2}$
Trong đó $m_{1},m_{2}$ là khối lượng của 2 vật thể , $r_{12}$ là khoảng cách nối tâm giữa 2 vật thể , $G$  là hằng số hấp dẫn vũ trụ có giá trị  $6,673 × 10^{-11} Nm^2 / kg^2$
Nếu $m_{1},m_{2}$  tương ứng là khối lượng của trái đất và vật thể trên mặt đất ,  $r_{12}$  là bán kính trái đất  , $m_{1}=5.97219.10^{24}$ (kg)  , $r_{12} = 6.37.10^{6}$ (m)
khi đó lực hấp dẫn
$F=m_{2}[G.\frac{m_{1}}{r_{12}^2}]= m_{2}.g$
Ta thu được $g = G.\frac{m_{1}}{r_{12}^2}$
Đơn vị của gia tốc trọng trường g là $m/s^2$ , tuy nhiên trong một số trường hợp người ta cũng sử dụng các đơn vị khác như Gal $(cm/s^2)$ , $ft/s^2$ .

2. Giá trị của g có thể thu được từ lý thuyết bằng cách áp dụng phương trình chuyển động thứ hai và lập bảng thống kê kết quả thực nghiệm
Từ  $x(t) = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$  với  $t_{0} = 0$  thì $\Delta t = t-0 =t$
Khi đó   $x(t) = x_{0} +v_{0}.t + ½ .a.  t^2.$
Tại thời điểm $t=0$ thì $x_{0}=0 , v_{0}=0$ , đặt $a = -g$ và thay vào phương trình trên ta có
$h-1/2.gt^2=0$   hay  $g=2h/t^2$

Bằng cách chụp ảnh hoạt nghiệm người ta có thể ghi lại hiện tượng rơi của vật thể dưới tác dụng trọng lực và tính toán giá trị của gia tốc trọng trường g . Phương pháp chụp ảnh hoạt nghiệm được mô tả trong clip dưới đây 

*Mô tả phương pháp .

Thả rơi một viên bi trắng trước một bảng đen có vạch đặt thẳng đứng trong một phòng tối có gắn máy ảnh chụp lại các vị trí của bi trong suốt thời gian rơi. Với những khoảng thời gian bằng nhau , máy ảnh sẽ chụp lại ảnh viên bi được chiếu sáng và ghi lại vị trí trên bảng đen .

*Kết quả thực nghiệm .

Máy chụp thu được ảnh của viên bi trắng ở những vị trí tương ứng với những khoảng thời gian bằng nhau , từ đó ta có được số liệu về khoảng cách rơi và tính được giá trị của gia tốc trọng trường g  ( xem hình động)

Như đã trình bày ở trên ,  $g=2h/t^2$  nên giá trị tương đối của g là  $9.8m/s^2$  . Các bạn có thể tham khảo bảng số liệu thời gian , vận tốc và khoảng cách rơi trích từ nguồn http://www.engineeringtoolbox.com/accelaration-gravity-d_340.html
Với các số liệu trong bảng này giá trị của gia tốc trọng trường $g = 9,8 m / s^2$ hoặc trong các đơn vị khác SI là  $g = 35.3 kph / s = 21.9 mph / s = 32.2 feet / s^2$

Cũng cần lưu ý rằng ngay cả trên trái đất , giá trị  g này thay đổi theo vĩ độ và độ cao (sẽ được thảo luận trong chương sau). Gia tốc do trọng lực ở các địa cực thì lớn hơn ở xích đạo và  ở mực nước biển thì lớn hơn trên đỉnh núi Everest . Ngoài ra cũng có những sự thay đổi về giá trị  g địa phương phụ thuộc vào địa chất , $g = 9.8 m / s^2$ chỉ đơn thuần là một giá trị trung bình thuận tiện cho việc tính toán trên toàn bộ bề mặt của trái đất. Giá trị này cũng chính xác ( đến hai chữ số ) đáng kể ở độ cao mà tại đó các máy bay thương mại thường bay qua ( khoảng 18 km, 29.000 feet, hoặc 5.5 dặm).

Để tìm giá trị của gia tốc trọng trường ở một vị trí trên trái đất người ta thường dùng công thức sau
$g=g_{45}-1/2.(g_{cực}-g_{xích đạo}).cos(2 \pi.\lambda /180)$
Trong đó
$g_{45}= 9.806 m (32.17 ft) / s^2$
$g_{cực}= 9.832 m (32.26 ft) / s^2$
$g_{xích đạo}= 9.780 m (32.09 ft) / s^2$
$\lambda$ là vĩ độ , giữa −90 và 90 độ

Bảng sau cho biết các giá trị gia tốc trọng trường đo được ở một số địa điểm . Để tìm các giá trị g ở vị trí khác nhau ta có thể sử dụng widget trực tuyến WA dưới đây . Nhập tên thành phố , tên quốc gia vào ô Location  và nhấn ' Get g '

 Các phương trình động học của sự rơi tự do 




Trần hồng Cơ 
Biên soạn 
Ngày 06/11/2014



Nguồn :
1. http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3. http://physics.info/
4. http://www.onlinephys.com/index.html
5. http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/
6. http://www.famousscientists.org/galileo-galilei/
7. http://www.heritage-history.com/index.php?c=academy&s=char-dir&f=galileo
8. http://en.wikipedia.org/wiki/Gravitational_acceleration#cite_note-Stevens.26Lewis-3
9. http://physics.tutorcircle.com/



Xem tiếp 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2015/01/vat-ly-tong-quan-chuong-1-co-hoc-11-ong.html




  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.

VẬT LÝ TỔNG QUAN Chương 1. CƠ HỌC . 1.1 ĐỘNG HỌC . 1.1.5 Phương trình chuyển động

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

VẬT LÝ TỔNG QUAN 

Chương 1. CƠ HỌC .

1.1  ĐỘNG HỌC .

1.1.5   Phương trình chuyển động một chiều   




Gia tốc hằng 


Nội dung của phần này nói về phương trình chuyển động một chiều với tính chất đặc trưng là có gia tốc hằng  ( còn gọi là chuyển động đều )  .Các phương trình chuyển động này chỉ có giá trị khi gia tốc là không đổi và chuyển động vật thể được giới hạn trên một đường thẳng , mặc dù điều này hoàn toàn lý tưởng và có tính chất phi thực tế . Chúng ta đang sống trong không gian ba chiều chuyển động nên thật là chính xác khi phát biểu rằng : không bao giờ có đối tượng nào đã chuyển động chỉ theo một đường thẳng với gia tốc không đổi ở bất cứ nơi nào đó trong vũ trụ vào bất cứ thời điểm nào từ quá khứ , hiện tại và ngay cả đến tương lai -



Như vậy những vấn đề được đưa ra trong phần này có cần thiết không ?  Thật ra trong nhiều trường hợp, rất hữu ích khi giả định rằng một đối tượng đã hoặc sẽ chuyển động dọc theo một con đường thẳng nào đó ( một cách cơ bản )  và với một gia tốc nào đó là gần như không đổi.  Điều đó có nghĩa là , bất kỳ độ lệch nào ra khỏi chuyển động lý tưởng này đều có thể được bỏ qua . Chuyển động dọc theo một con đường cong cũng có thể xem là một chiều một cách hiệu quả , nếu chỉ có một bậc tự do cho các đối tượng liên quan.

Một con đường có thể xoắn lượn theo mọi hướng, nhưng những chiếc xe lái xe trên đó chỉ có một bậc tự do - tự do lái xe theo một hướng hoặc hướng ngược lại. Điều này không phải là không tương đồng với chuyển động giới hạn trên một đường thẳng. Việc xấp xỉ tình huống thực tế với các mô hình dựa trên các tình huống lý tưởng là phương thức thường được thực hiện trong vật lý . Cũng cần lưu ý rằng với các kỹ thuật xấp xỉ hữu ích như vậy chúng ta sẽ sử dụng nó nhiều lần hơn nữa cho các phần sau này  .



Mục tiêu của chúng ta trong phần này là thu được những phương trình mới có thể được sử dụng để mô tả chuyển động của một đối tượng theo ba biến động học của nó: vận tốc, chuyển vị, và thời gian. Các biến này có thể ghép từng cặp  : vận tốc-thời gian, dịch chuyển-thời gian và vận tốc-dịch chuyển , và cũng theo thứ tự đó , chúng ta sẽ gọi là phương trình thứ nhất , thứ hai và thứ ba của chuyển động .

Với chuyển động đang xét trên một đường thẳng, ký hiệu x sẽ được dùng để chỉ về dịch chuyển và dấu + hay  - sẽ quy định về hướng (những đại lượng dương chỉ theo hướng  + x  trong khi đại lượng âm chỉ theo hướng  - x ).  Do các định luật vật lý là đẳng hướng ; nghĩa là, chúng độc lập với cách định hướng của hệ tọa độ , nên việc chọn hướng nào để phù hợp là tùy ý , điều này không quan trọng.



Phương trình chuyển động thứ nhất  : vận tốc-thời gian

Mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian là một trong những quan hệ đơn giản trong quá trình chuyển động thẳng gia tốc hằng ( chuyển động thẳng đều ) . Gia tốc không đổi kéo theo của sự thay đổi đều của vận tốc.
Bắt đầu từ định nghĩa của gia tốc, ta tìm vận tốc v là hàm số theo biến thời gian t .
$a= \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_{0}}{\Delta t}$
Ta thu được  $v= v_{0}+a.\Delta t$   [ phương trình thứ nhất ]
Ký hiệu $v_{0}$ được gọi là vận tốc ban đầu của đối tượng chuyển động .

Dạng rút gọn :

Nếu $t_{0}=0 $ thì phương trình thứ nhất có dạng
 $v= v_{0}+a. t$  hay   $v= u +a. t$  với  $u=v_{0}$

Nhưng khái niệm về vận tốc ban đầu có vẻ không được rõ lắm . Thật là ngây thơ khi xét đến vận tốc đầu của trường hợp một thiên thạch di chuyển trong vũ trụ . Vận tốc ban đầu của nó là bao nhiêu ? Và nếu $v_{0}$  là vận tốc đầu tiên thì bài toán đặt ra trước khi nó bắt đầu lại  càng khó khăn  . Ta có thể nói gì về vận tốc của một thiên thạch khi mới phát sinh ? Không có cách nào để trả lời câu hỏi này.

Một định nghĩa tốt hơn về vận tốc ban đầu mà chúng ta có thể đưa ra là vận tốc mà một đối tượng di chuyển có được khi nó bắt đầu trở nên quan trọng trong một vấn đề nào đó . Nếu cho rằng thiên thạch được phát hiện trong không gian và vấn đề là đã xác định quỹ đạo của nó, thì vận tốc ban đầu sẽ là vận tốc tại thời điểm nó được quan sát thấy. Nhưng nếu vấn đề là để xác định vận tốc của nó vào các tác động, thì vận tốc ban đầu của nó nhiều khả năng sẽ là tốc độ nó có khi nó đi vào bầu khí quyển của trái đất. Trong trường hợp này, câu trả lời cho "vận tốc ban đầu là gì?" là "Nó phụ thuộc khi xem xét ". Điều này hóa ra lại là câu trả lời cho rất nhiều câu hỏi.

Ký hiệu $v$ là vận tốc tại thời điểm sau vận tốc ban đầu một khoảng thời gian $Δ t$ . Nó thường được gọi là vận tốc cuối nhưng điều này không làm cho nó thành "vận tốc cuối cùng" của một đối tượng chuyển động . Lấy trường hợp của thiên thạch mà ta đã nói đến ở trên . Vận tốc gì sẽ được thể hiện bằng các ký hiệu $v$ ? Nếu bạn đã từng chú ý, thì nên hình dung trước những câu trả lời : Đó cũng là sự phụ thuộc. $v$ có thể là vận tốc của thiên thạch khi nó đi qua mặt trăng, khi thiên thạch đi vào bầu khí quyển của trái đất, hoặc là khi nó va chạm bề mặt trái đất. $v$ cũng có thể là vận tốc của thiên thạch khi nó nằm ở dưới đáy của một miệng núi lửa . Nhưng $v$  có phải là vận tốc cuối cùng hay không ? Đây cũng là một vấn đề tùy thuộc vào người quan sát .




Thành phần cuối của phương trình này $a. Δ t$  là sự thay đổi của vận tốc từ giá trị ban đầu. Gia tốc $a$ chỉ ra mức độ thay đổi của vận tốc và $Δ t$ là khoảng thời gian kể từ khi đối tượng đã có vận tốc ban đầu của nó $v _{0}$ . Mức độ này nhân với thời gian bằng với sự thay đổi. Vì vậy, nếu một đối tượng đã được đẩy mạnh ở mức $a  (m / s ^2)$ , sau  $Δ t (s)$  nó sẽ được di chuyển  $a. Δ t ( m / s)$  nhanh hơn so với ban đầu. Nếu nó bắt đầu với vận tốc $v_{0}( m / s)$ , vận tốc của nó sau $Δ t (s)$ tăng tốc sẽ là ...

$v_{0}( m / s)$  + $a. Δ t ( m / s)$ = $v ( m / s)$

Quan hệ giữa vận tốc và thời gian được biểu diễn qua phương trình thứ nhất rút gọn
  $v= u +a. t$ hoặc biểu đồ vận tốc-thời gian . Việc đọc thông tin từ các biểu đồ này để biết được đặc tính chuyển động và tính toán các yếu tố vật lý là điều rất cần thiết .

Biểu đồ trên đây mô tả quan hệ vận tốc-thời gian chỉ rõ trạng thái tăng , giảm tốc và không gia tốc  . Một ví dụ nhỏ như sau : trên biểu đồ ABCDEFGH , bạn hãy chỉ ra những đoạn nào chỉ về :
- Tăng tốc , giảm tốc và không gia tốc .
- Thời gian tăng tốc .
- Vận tốc lúc 3s , 7s , 9s .
- Vận tốc cuối là bao nhiêu ?



Phương trình chuyển động thứ hai  : dịch chuyển-thời gian

Dịch chuyển của một đối tượng chuyển động tỷ lệ thuận với cả vận tốc và thời gian. Di chuyển nhanh hơn - vận tốc lớn hơn ( hoặc di chuyển lâu hơn-thời gian nhiều hơn ) thì sẽ đi xa hơn . Gia tốc kết hợp hai tình huống đơn giản này. Bắt đầu từ định nghĩa của vận tốc
$\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x-x_{0}}{\Delta t}$
Vậy  $x-x_{0}=\bar{v}.\Delta t$  hay  $x = x_{0} + \bar{v}.\Delta t$
Khi gia tốc là không đổi, vận tốc sẽ thay đổi đều từ giá trị ban đầu đến giá trị cuối cùng của nó và vận tốc trung bình sẽ là.
$\bar{v}  = ½ .( v  +  v_{0} )$    [ vận tốc trung bình ]
Mặt khác từ phương trình chuyển động thứ nhất $v= v_{0}+a. \Delta t$
Thay vào vận tốc trung bình ta sẽ có
$\bar{v}  = ½ .( v_{0}+a. \Delta t +  v_{0} ) = v_{0} + ½. a. \Delta t  $
Công thức dịch chuyển $x = x_{0} + \bar{v}.\Delta t$  thành
$x = x_{0} +(v_{0} + ½ .a. \Delta t).\Delta t$
Hay
$x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$    [ phương trình thứ hai  ]
Trong đó $ x_{0}$  là dịch chuyển ban đầu

Dạng rút gọn :

Nếu $t_{0}=0 ,  x_{0}=0 $   và   $u=v_{0}$  thì phương trình thứ hai có dạng
$x = u. t + ½ .a. t^2.$    ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$     ( tính theo vận tốc sau v )
$x = (u+v).t /2$

Mặc dù những ký hiệu vận tốc trong hai phương trình có thể trông khác nhau, nhưng chúng thực sự biểu diễn cho cùng một đại lượng. Trường hợp đặc biệt , nếu không có gia tốc, thì vận tốc là hằng , có nghĩa là vận tốc ban đầu , vận tốc cuối bằng với vận tốc trung bình . Thành phần chứa gia tốc trong phương trình thứ nhất và thứ hai là một sự điều chỉnh đối với các phương trình có vận tốc hằng một đại lượng bổ sung mô tả thực nghiệm là vận tốc thay đổi. Gia tốc dương sẽ làm tăng dịch chuyển và ngược lại gia tốc âm sẽ làm giảm dịch chuyển .

Tương tự mối quan hệ giữa dịch chuyển và thời gian được biểu diễn qua phương trình thứ hai rút gọn
$x = u. t + ½ .a. t^2.$    ( tính theo vận tốc đầu u )
$x = v. t - ½ .a. t^2.$     ( tính theo vận tốc sau v )
$x = (u+v).t /2$
 hoặc biểu đồ vận tốc-thời gian .

Biểu đồ trên đây mô tả quan hệ dịch chuyển-thời gian chỉ rõ sự tăng giảm hoặc không dịch chuyển của đối tượng được quan sát . Một ví dụ nhỏ như sau : trên biểu đồ ABCDE , bạn hãy cho biết những thông tin  :
- Dịch chuyển của đối tượng trên đoạn AB , BC , CD , DE .
- Dịch chuyển của đối tượng trên đoạn AC , BD , AD , BE .
- Vận tốc trung bình trong  1 phút , 3phút , 4 phút , 5 phút .
- Vận tốc trung bình trên đoạn AC , AD , BC , BD .
- Thời gian nghỉ của đối tượng .
- Trên đoạn nào đối tượng  có chuyển động ngược chiều .
- Trên đoạn nào đối tượng có tốc độ lớn nhất , nhỏ nhất .


Phương trình chuyển động thứ ba  : vận tóc-dịch chuyển

Hai phương trình chuyển động đầu tiên mô tả một biến động học như là một hàm của thời gian. Về bản chất chúng ta cần lưu ý các quan hệ sau
- Vận tốc tỷ lệ thuận với thời gian khi gia tốc là hằng số  $v= v_{0}+a.\Delta t$ .
- Dịch chuyển  tỷ lệ thuận với bình phương thời gian khi gia tốc là hằng số $x = x_{0} +v_{0}.\Delta t + ½ .a. \Delta t^2.$  .
Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ xây dựng một mối quan hệ giữa dịch chuyển và vận tốc . Có thể phát biểu rằng :
- Dịch chuyển tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc khi gia tốc là hằng số .

Để thực hiện điều này ta kết hợp hai phương trình đầu tiên với nhau bằng cách khử đi đại lượng thời gian $\Delta t$. Từ phương trình chuyển động thứ nhất $v= v_{0}+a.\Delta t$  tìm được
$\Delta t =( v - v_{0})/a$ . thay vào phương trình chuyển động thứ hai , ta sẽ có
$x = x_{0} +v_{0}.( v - v_{0})/a + ½ .a. ( v - v_{0})^2/a^2$  .
hay  $2.a.(x - x_{0}) = 2.v_{0}.( v - v_{0})+ ( v - v_{0})^2$
Rút gọn vế phải đẳng thức trên
$2.a.(x - x_{0}) = v^2 - v_{0}^2$   [ phương trình thứ ba  ]

Dạng rút gọn :

Nếu $t_{0}=0 ,  x_{0}=0 $   và   $u=v_{0}$  thì phương trình thứ ba có dạng
$2.a.x = v^2 - u^2$
hay   $v^2 = u^2 + 2.a.x$

Thiết lập phương trình chuyển động từ phép tính vi tích phân



Trần hồng Cơ 
Biên soạn 
Ngày 02/11/2014



Nguồn :
1. http://tap.iop.org/mechanics/kinematics/index.html
2. http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/HFrame.html
3. http://physics.info/
4. http://www.onlinephys.com/index.html
5. http://www.stmary.ws/highschool/physics/home/notes/kinematics/


Xem chi tiết 


http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2014/11/vat-ly-tong-quan-chuong-1-co-hoc-11-ong.html




  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Người có học biết mình ngu dốt.
The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.