GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 11a . ĐẠI SỐ TỔ HỢP .

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 11a . ĐẠI SỐ TỔ HỢP - Phép đếm - Hoán vị  .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

11.  ĐẠI SỐ TỔ HỢP - Phép đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 

11.1.  Logic - Tập hợp - Phép đếm .

11.1.1 Tập hợp - Phép toán tập hợp

a. Tập hợp – tập hợp con .

1. TẬP HỢP .
- Một tập hợp là một bộ sưu tập các đối tượng hoặc sự vật có cùng tính chất . Những đối tượng hoặc sự vật đó gọi là phần tử của tập hợp .
Ví dụ   A = { a , b , c , 1 , 2 , x , y }
- Bản số của tập hợp  A  là số phần tử của A ký hiệu là card(A)  hoặc  n(A) .
Ví dụ   A = { a , b , c , 1 , 2 , x , y }    ,  n(A)  =  7
- Tập hợp có thể được biểu diễn bởi giản đồ Venn như sau ( Venn diagram  )

b. Các ví dụ về phép toán tập hợp .

Ví dụ 1 .  Lập đội điền kinh . 

Có 148 sinh viên tham gia tập luyện thể dục thể thao trong đó có 76 người thích chạy bộ , 112 người thích nhảy sào và 28 người không thích cả hai bộ môn này . Hỏi số sinh viên vừa thích cả hai môn này là bao nhiêu người để từ đó lập ra một đội tuyển thi đấu điền kinh .


Lời giải .

Gọi tổng số sinh viên tập luyện thể thao là  n(T)  =  148 người
Số sinh viên thích chạy bộ là  n(B)  =  76 người
Số sinh viên thích nhảy sào là  n(S)  =   112 người
Số sinh viên không thích chạy bộ và nhảy sào là  n(~BUS)  = 28 người
Tập hợp những nsinh viên thích cả hai môn ký hiệu là  B^S .
Vậy số người thích chạy bộ hoặc nhảy sào hoặc cả hai môn này là
n(BUS)   =  n(T)  \  n(~BUS)  =  148  -  28  =  120 ( người )
n(BUS)  =  n(B)  +  n(S)  -  n(B^S)
hay  120  =  76  +  112  -   n(B^S)
Khi đó   n(B^S)   =   76  +  112  -  120  =  68 ( người )

Ví dụ 2 .  Lựa chọn ngoại ngữ .

Khoa quản trị có 60 sinh viên trong đó có 40 chọn ngoại ngữ Anh , 30 chọn ngoại ngữ Pháp và 20 người chọn cả hai bộ môn này . Hỏi số sinh viên
a. Chỉ chọn ngoại ngữ Anh .
b. Chỉ chọn ngoại ngữ Pháp .
c. Không chọn cả hai ngoại ngữ Anh và Pháp .
d. Chọn một trong hai  hoặc cả hai ngoại ngữ .

Lời giải .

Gọi tổng số sinh viên của khoa là  n(K)  =  60
Số sinh viên chọn Anh văn là  n(A)  =  40 người
Số sinh viên chọn Pháp văn là  n(P)  =  30 người
Số sinh viên chọn cả hai Anh văn và Pháp văn là n(A^P)  =  20 người .
a. Như vậy số sinh viên chỉ chọn Anh văn là :  n(A~P)  =  40  -  20  =  20 (người)
b. Số sinh viên chỉ chọn Pháp văn là :  n(P~A)  =  30  -  20  =  10 (người)
Như vậy  n(AUP)  =  n(A\P)  +   n(P)  =  ( 40 - 20 ) + 30  = 50 (người)
c. Số sinh viên không chọn cả hai ngoại ngữ là
n(~A^~P) =  n(K)  -  n(AUP)  =  60  -  50  =  10 ( người)
d. Số sinh viên chọn một trong hai  hoặc cả hai ngoại ngữ là
n(AUP)  =  50 (người)

11.1.2  Logic hình thức - Song điều kiện 

a. Logic hình thức

b. Song điều kiện 

Bảng so sánh các thành phần và ký hiệu dùng trong lý‎ thuyết tập hợp và logic mệnh đề .

Ví dụ 1 .  Lập bảng chân trị của biểu diễn hình thức   $(A\vee B)\Rightarrow (A\wedge B)$ .
Lời giải

Ví dụ 2 .  Chứng tỏ rằng  $(A\wedge B)\Rightarrow (A \vee B)$
 là mệnh đề lặp thừa  tautology . ( i.e  luôn luôn đúng )

Hệ thống logic mệnh đề theo trường phái khắc kỷ được trình bày dưới dạng lý thuyết diễn dịch với 5 qui tắc diễn dịch cơ bản được coi như những tiên đề sau :

(1) Nếu có A thì có B, mà có A vậy có B.

  (  A = > B  )

(2) Nếu có A thì có B, mà không có B vậy không có A.

 ( A = > B  < = >  ~B  => ~A )

(3) Không có đồng thời A và B, mà có A vậy không có B.

 (  ~ ( A ^ B ) ^ A  => ~B )

(4) Hoặc A hoặc B, mà có A vậy không có B. 

[ ( ~A ^ B ) V ( ~B ^ A ) ]^ A => ~B

(5) Hoặc A hoặc B, mà không có B vậy có A.

[ (~A ^ B ) V ( ~B ^ A ) ] ^ ~B => A


11.1.3  Phép đếm - Logic tổ hợp .

a. Nguyên lý cơ bản của phép đếm .

* Phép cộng - Addition Rule .  Giả sử rằng ta phải giải quyết một việc gì đó với 2 phương án A hoặc B và có m , n cách quyết định tương ứng cho các phương án đó , khi đó ta có thể chọn được m+n   cách để đạt được kết quả .

Ví dụ 1 .  Có mấy cách đi vào trường học nếu có 5 cổng chính và 3 cổng phụ .

Lời giải

* Phép nhân -  Multiplication Rule . Giả sử rằng ta phải giải quyết một việc gì đó với 2 phương án A và B và có m , n cách quyết định tương ứng cho các phương án đó , khi đó ta có thể chọn được m . n  cách để đạt được kết quả .

Ví dụ 2 .  Một số serial gồm 2 phụ âm theo sau bởi 3 chữ số khác 0 và tiếp theo là 1 nguyên âm { A , E , I , O , U } . Hãy xác định xem có bao nhiêu số serial được tạo thành biết
a.    Chữ và số không được lập lại trong một serial .
b.   Chữ và số có thể được lập lại trong một serial .

Lời giải .
a.    Mẫu của một số serial với  “ Chữ và số không được lập lại ” có dạng như sau

b. Mẫu của một số serial với  “ Chữ và số có thể được lập lại ” có dạng như sau

                                  

 
b. Logic tổ hợp .

- Giai thừa (factorial) của số nguyên dương n (read n  factorial)  kí hiệu  n !  xác  định bởi

     n !  = n (n − 1) (n − 2) . . .3 2 1 .

Ví dụ  .  4! = 4 .3. 2. 1 = 24.    Quy ước     0! = 1.

Từ các chữ số { 1,2,3,4,5,6 } có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau .

Lời giải .

- Chỉnh hợp (Permutation)  là một sự sắp xếp có thứ tự  gồm một số đặc biệt các phần tử được chọn từ 1 tập hợp . Số các chỉnh hợp gồm  r  phần tử từ  n  phần tử  là  n!/(n-r)!    thường viết [n]P[r]  hay   ^(n )P[r].

 

-Tổ hợp  (Combination)  là một sự sắp xếp không có thứ tự  gồm một số đặc biệt các phần tử được chọn từ 1 tập hợp . Số các tổ hợp gồm  r  phần tử từ n phần tử  là  n!/ [ r!(n-r)!]    thường viết [n]C[r]  hay   ^(n)C[r].

 

Trần hồng Cơ
Ngày 30/11/2015



-------------------------------------------------------------------------------------------

Trên đời không gì vĩ đại bằng con người.

Trong con người không gì vĩ đại bằng trí tuệ.

A.Hamillton