GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 12a . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Khái niệm cơ bản .

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 12a . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Khái niệm cơ bản .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

12.  XÁC SUẤT - THỐNG KÊ  - Khái niệm xác suất .

12.1  Các khái niệm về xác suất .

12.1.1 Thực nghiệm và biến cố .
Thực nghiệm : Là việc sử dụng một số điều kiện xác định để quan sát một hiện tượng nào đó .
Biến cố : Kết quả của thực nghiệm được khảo sát .
 Ví dụ 1.   Tung một con súc sắc là thực nghiệm,
Súc sắc xuất hiện các mặt 1,2,3,4,5,6 là các biến cố .


*Dùng  widget  D11.I.4 X.SUAT-TUNG SUC SAC (bt2)     http://goo.gl/k496rV

a. Biến cố hiển nhiên .
Là biến cố chắc chắn xảy ra trong thực nghiệm . Ký hiệu là  W
Ví dụ 2.   Tung một con súc sắc.
Gọi A là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6.
A là biến cố chắc chắn .  A = W.
*Xem      https://goo.gl/PwVNk3         http://goo.gl/mlt2ao

b. Biến cố bất khả .
Là biến cố không thể xảy ra trong thực nghiệm . Ký hiệu là  $\phi $
Ví dụ 3.   Tung một đồng xu.
Gọi B là biến cố đồng xu xuất hiện 2 mặt hình , chữ đồng thời .
B là biến cố bất khả .  A = $\phi $

*Xem   http://goo.gl/ouACFa

c. Biến cố ngẫu nhiên .
Là biến cố có thể xảy ra cũng có thể không thể xảy ra trong thực nghiệm . Ký hiệu  A, B, C,..
Ví dụ 4.   Một người ngắm bắn vào một tấm bia .
Gọi C là biến cố người ấy bắn trúng bia,
C là biến cố ngẫu nhiên.

d. Biến cố thuận lợi .
Biến cố A được gọi là thuận lợi cho biến cố B khi A xảy ra thì B cũng xảy ra. Ký hiệu  A $\subset$ B .
Nếu A $\subset$ B và B $\subset$ A thì  A = B ( A tương đương B )
Ví dụ 5.    Một người ngắm bắn vào một tấm bia có số điểm từ 10 đến 100 (vòng 1-10) .
Gọi D là biến cố người ấy bắn trúng vòng 50 và C là biến cố người ấy bắn trúng bia,
Ta có  D $\subset$ C .

e . Biến cố sơ cấp .
Là biến cố không có biến cố nào thuận lợi cho nó (trừ chính nó ), có thể hiểu theo nghỉa là biến cố không thể phân tích được nữa.
Ví dụ 6.   Tung một con súc sắc.
Gọi Si là biến cố súc sắc xuất hiện mặt i chấm (i=1,..,6) thì Si là các biến cố sơ cấp.
Gọi C,L  là biến cố tương ứng thu được mặt súc sắc có số chấm chẵn , số chấm lẻ
Vì C = S2  $\vee$ S4  $\vee$  S6  nên C không phải là biến cố sơ cấp.
Vì L = S1  $\vee$  S3  $\vee$  S5  nên L không phải là biến cố sơ cấp.

Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp của thực nghiệm được gọi là không gian các biến cố sơ cấp
Ký hiệu   W
Ví dụ 7.   Không gian các mặt súc sắc  W = { S1, S2, S3, S4, S5, S6}.
Không gian các mặt đồng xu  W = { H , C }.

f. Biến cố tổng .
Là biến cố xảy ra ít nhất một trong hai biến cố thứ nhất và thứ hai  . Ký hiệu A + B hay A U B 
Ví dụ 8.   Hai người cùng bắn vào một tấm bia .
Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trúng,
Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trúng.
Khi đó biến cố tấm bia bị trúng đạn là C = A + B hay  C = A U B



Tổng của n biến cố A1, A2, .., An là một biến cố xảy ra ⇔ ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra
(i = 1,..,n).
Ký hiệu: A1+ A2+ .. + An  hay  A1 U A2 U ...  U An
Lưu ý :
Biến cố hiển nhiên W là tổng các biến cố sơ cấp khả dĩ .
Các biến cố sơ cấp đều là biến cố thuận lợi của W.

g. Biến cố hiệu .
Là biến cố xuất hiện khi có biến cố thứ nhất nhưng không có biến cố thứ hai . Ký hiệu A - B hay A \ B
Với A , B tương ứng là các biến cố thứ nhất , thứ hai .
Ví dụ 9.   Tung một con súc sắc.
Gọi C là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số chấm là số chẵn .
C1 là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số chấm chẵn lớn hơn 2.
C2 là biến cố súc sắc xuất hiện mặt có số chấm là 2 .
Ta có: C2 = C\C1

h. Biến cố tích .
Là một biến cố xảy ra khi cả hai biến cố thứ nhất và thứ hai đồng thời xảy ra .  Ký hiệu: A.B hay A∩B
Với A , B tương ứng là các biến cố thứ nhất , thứ hai .
Ví dụ 10.    Hai người đi săn cùng bắn vào một con thú.
Gọi A là biến cố người thứ nhất bắn trật .
Gọi B là biến cố người thứ hai bắn trật.
Khi đó biến cố con thú bị không bị trúng đạn là C = A.B hay C = A∩B


Tích của n biến cố A1, A2, .., An là một biến cố xảy ra ⇔ tất cả các biến cố Ai (i = 1,..,n). đều xảy ra.
Ký hiệu  A1.A2 ... An  hay  A1∩A2∩ .. ∩ An

i. Biến cố đồng khả năng .
Là các biến cố có cùng một khả năng xuất hiện như nhau trong thực nghiệm .
Ví dụ 11.
-Trong một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án A,B,C,D .
Các biến cố xuất hiện chọn phương án là đồng khả năng .
-Tung một đồng xu .
Gọi H là biến cố đồng xu xuất hiện mặt hình .
Gọi C là biến cố đồng xu xuất hiện mặt chữ ⇒ H, C là hai biến cố đồng khả năng.

k. Biến cố xung khắc .
Hai biến cố được gọi là xung khắc nếu chúng không cùng lúc xảy ra trong thực nghiệm .
Ký hiệu  A >< B 
Ví dụ 12.
-Tung một con súc sắc .
Gọi A là biến cố súc sắc xuất hiện các mặt có nút chẵn lớn hơn 2 .
Gọi B là biến cố súc sắc xuất hiện các mặt có nút nhỏ hơn 3 .
 ⇒ A, B là hai biến cố xung khắc  A >< B .

 Lưu ý rằng hợp của hai biến cố xung khắc chưa hẳn là biến cố hiển nhiên W .
Trong ví dụ trên A + B  $\neq$  W    vì  {4,6}  U  {1,2}   $\subset$  W

l. Biến cố đối lập .
Biến cố  đối lập của A là biến cố không xảy ra biến cố A .
Ký hiệu ~A

Ví dụ 13.
-Một chiếc máy bay chạy trên phi đạo .
Gọi A là biến cố máy bay ấy cất cánh .
Khi đó biến cố máy bay không bay lên là ~A 

-Tung một đồng xu .
Gọi H là biến cố đồng xu xuất hiện mặt hình .
Gọi C là biến cố đồng xu xuất hiện mặt chữ ⇒ H, C là hai biến cố xung khắc  H >< C đồng thời là biến cố đối lập .

Lưu ý rằng hợp của hai biến cố đối lập phải là biến cố hiển nhiên W .
Trong ví dụ trên A + ~A  =  W  và  H + C = {H,C} = W
Hai biến cố đối lập thì xung khắc nhưng ngược lại hai biến cố xung khắc thì chưa chắc đối lập.

*Xem  widget  D11.I.4 X.SUAT-TUNG S.SAC-D.XU (bt1)     http://goo.gl/tF7M7x

12.1.2  Liên hệ giữa biến cố và tập hợp .
Các biến cố tổng, hiệu, tích, đối lập tương ứng với các phép hợp, hiệu , giao , phần bù trong lý thuyết tập hợp. Dưới đây là một số phép toán trên các biến cố viết dưới dạng đại số .
Cần nhớ  A + B hay A U B , A - B hay A \ B  , A.B hay A∩B ,  ~A : phần bù của A 

1. A + (B + C) = (A + B) + C  (tính kết hợp)
2. A + B + B + A  (tính giao hoán)
3. A +  $\phi$ = A  (phần tử trung hòa)
4. A + A = A
5. A + W = W
6. ~(~A) = A 
8. A +(~A) = W

9. A.(B.C) = (A.B).C  (tính kết hợp)
10. A.B = B.A  (tính giao hoán)
11. A.$\phi$ = $\phi$
12. A.A = A
13. A.W = A
14. ~(A + B) = (~A). (~B)   (luật De Morgan)
15. ~(A.B) =( ~A) + (~B)   (luật De Morgan)


12.1.3  Định nghĩa xác suất .

Thực nghiệm W có n(W) biến cố sơ cấp đồng khả năng .
Gọi  n(A) là số lần xuất hiện biến cố sơ cấp đồng khả năng thuận lợi cho biến cố A.
Xác suất của biến cố A  ký hiệu  $P(A) =$ $  \frac{n(A)}{n(W)}$ 
Ví dụ 14.
Tung một con súc sắc . Tính xác suất xuất hiện biến cố A : có số nút nhỏ hơn 5 .
Ta có  n(W) = 6 , A = {1,2,3,4} ;  n(A) = 4 ⇒ $P(A) =$ $  \frac{n(A)}{n(W)}$  = 4/6

*Dùng  widget  D11.I.4 X.S-TONG NUT S.SAC NHO/LON HON (bt4)      http://goo.gl/0htxZJ

Ví dụ 15.
Tung hai con súc sắc . Tính xác suất xuất hiện biến cố B : có tổng số nút bằng 5 .
Ta có  n(W) = 6^2 , A = {14,41,23,32} ;  n(A) = 4 ⇒ $P(A) =$ $  \frac{n(A)}{n(W)}$  = 4/36
*Dùng  widget  D11.I.4 X.SUAT-TONG NUT SUC SAC (bt3)     http://goo.gl/RRpZKO

Trần hồng Cơ
Ngày 16/12/2015




------------------------------------------------------------------------------------------- -

Bậc thềm tiến vào thánh đường của trí tuệ là biết sự ngu dốt của chính mình. 

The doorstep to the temple of wisdom is a knowledge of our own ignorance. 

Benjamin Franklin