GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 11b . ĐẠI SỐ TỔ HỢP - Các bài toán về quy tắc cơ bản - hoán vị .

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 11b . ĐẠI SỐ TỔ HỢP - Các bài toán về quy tắc cơ bản - hoán vị .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

11.  ĐẠI SỐ TỔ HỢP - Phép đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp 

11.2.  Các bài toán về quy tắc cơ bản - hoán vị .

11.2.1  Quy tắc cộng - quy tắc nhân .

a.  Quy tắc cộng .

Ví dụ .

1. Một lớp học có 22 học sinh nam và 18 học sinh nữ.
Có bao nhiêu cách chọn một học sinh nam hoặc nữ dự trại hè của trường .

2. Trong hộp có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh , 5 viên bi vàng .
Cần chọn một viên bi tùy ý . Hỏi có mấy cách chọn?

3. Trên kệ sách thư viện có 8 cuốn sách toán , 6 cuốn lý và 11 cuốn hóa .
Một học sinh chỉ được chọn một cuốn trong ba loại sách nói trên . Hỏi có mấy cách chọn ?

Lời giải .
1.  SCC = 22 + 18 =40
2.  SCC = 4 + 3 + 5 = 12
3.  SCC = 8 + 6 + 11 = 25


b.  Quy tắc nhân .

Ví dụ .

1. Trong cuộc thi đấu có 16 vận động viên .
Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người đoạt huy chương : vàng , bạc , đồng

2. Trong tủ treo 7 cái áo sơ mi  trong đó có 4 áo sơ mi trắng  . Có 2 cà vạt đỏ và 3 cà vạt vảng .
Đã chọn áo sơ mi trắng thì không mang cà vạt vàng ?  Hỏi có bao nhiêu cách

3. Có mấy cách sắp xếp 4 người khách lên ba toa tàu biết mỗi toa có thể chứa được 4 người .

Lời giải .
1.
Để chọn người hạng 1 (HCV) có 16 cách
Để chọn người hạng 2 (HCB) có (16 -1 = 15)  cách
Để chọn người hạng 3 (HCĐ) có (15 -1 = 14)  cách
SCC = 16 (cách HCV) x 15 (cách HCB) x 14 (cách HCĐ)

2.
Chọn một bộ gồm {áo sơ mi trắng , cà vạt đỏ}  : 4 (AT) x 2 (CVđỏ) = 8
Số áo sơ mi khác ( không trắng) = 7 - 4 = 3
Chọn một bộ gồm {áo sơ mi khác , cà vạt tùy ý}  : 3 (AT) x 5 (CVđỏ) = 15
SCC = 8 + 15

3.
Người thứ I :  có 3 cách chọn (Toa 1,2,3)
Người thứ II :  có 3 cách chọn (Toa 1,2,3)
Người thứ III :  có 3 cách chọn (Toa 1,2,3)
Người thứ IV :  có 3 cách chọn (Toa 1,2,3)
SCC [cho người thứ I ,II,III và IV]  = 3  x 3  x 3 x 3

c. Phối hợp giữa  quy tắc cộng và nhân  

Ví dụ .

1. Có bao nhiêu số có 5 chữ số ?
2. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
3. Từ {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau ?

Lời giải .
1.
Từ X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ( 10 chữ số )
Số cần tìm có dạng  $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$
SCC =  9x10x10x10x10 = 90000 số

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - SO / CHU SO TUY Y (bt8)    http://goo.gl/Nluiav
Chon lua cho tap hop X : Tap X co chua so 0
So phan tu cua tap hop mau X la n = 10     [X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ( 10 chữ số )]
So phan tu cua so can tim (cac chu so TUY Y) la m = 5     [số có 5 chữ số]

2. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Từ X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ( 10 chữ số )
Số cần tìm có dạng  $\overline{a_1a_2a_3a_4}$
TH1. Tận cùng 0
SCC =  9x8x7x1 =  504 số
TH2. Tận cùng 2
SCC =  8x8x7x1 =  448 số
Tương tự cho tận cùng 4,6,8
SCC_KL = 504 + 448x4 = 2296 số

*Dùng   widget  D11.I.3 H.VI - SO CHAN / KHAC NHAU (bt9)   http://goo.gl/q3dUKm
Chon lua cho tap hop X : Tap X co chua so 0
So phan tu cua tap hop mau X la n = 10     [X= {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ( 10 chữ số )]
So phan tu cua so can tim (cac chu so KHAC NHAU) la m = 4    [4 chữ số đôi một khác nhau]
Trong X (n so) , so cac chu so chan la k = 5     [gồm có {0,2,4,6,8}]

3. Từ {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau ?
Từ X= {0,1,2,3,4,5} ( 6 chữ số )
Số cần tìm có dạng  $\overline{a_1a_2a_3}$
SCC = 5x5x4 = 100 số

*Dùng   widget  D11.I.3 H.VI - SO / CHU SO KHAC NHAU (bt7)    http://goo.gl/4yxGKH
Chon lua cho tap hop X : Tap X co chua so 0
So phan tu cua tap hop mau X la n = 6     [X= {0,1,2,3,4,5} ( 6 chữ số )]
So phan tu cua so can tim (cac chu so KHAC NHAU) la m = 3    [3 chữ số khác nhau]

11.2.2  Hoán vị .

a.  Ví dụ minh họa .

Ví dụ .

1.  8 học sinh nam xếp hàng ngang chụp hình lưu niệm . Có bao nhiêu cách xếp như vậy?
2.  4 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi trên ghế dài . Có mấy cách xếp nếu
+ Tùy ý
+ Nam nữ ngồi thành 2 nhóm .
3. Có bao nhiêu cách xâu 10 vỏ sò khác nhau thành :
+ Một sợi dài
+ Một vòng chuỗi

Lời giải .
1.
8 phần tử xếp hàng ngang => có 8! hoán vị => SCC = 8!
2.
+ Tùy ý : Có 4 + 3 = 7 phần tử xếp hàng ngang => có 7! => SCC = 7!
+ Nam nữ ngồi thành 2 nhóm : $[NAM_1NAM_2NAM_3NAM_4][NU_1NU_2NU_3]$
Có 2 nhóm => có 2! hoán vị
Cho 4 nam hoán vị => có 4! hoán vị
Cho 3 nữ hoán vị => có 3! hoán vị
Vậy  SCC = 2!x4!x3!
3.
+ Một sợi dài : 10 vỏ sò => có 10! hoán vị => SCC = 10!
+ Một vòng chuỗi ( hoán vị tròn ) :  10 vỏ sò => có (10-1)! hoán vị => SCC = 9!

b.  Một số bài toán về hoán vị .

- Tìm số hoán vị của tập hợp A có số phần tử n cho trước (bt1) 

Ví dụ :  Có mấy cách xếp 6 người khách ngồi vào
- Một bàn dài
- Một bàn tròn .

*Dùng  widget  D11.I.3 HOAN VI (bt1)       http://goo.gl/xwhil7

- Tìm số hoán vị của tập hợp A có số phần tử n cho trước , m phần tử gần nhau (bt2)

Ví dụ :  Có mấy cách xếp 5 bạn sinh viên thành hàng ngang trong đó có 2 bạn luôn đứng gần nhau .

*Dùng   widget  D11.I.3 H.VI - MOT SO P.TU GAN NHAU (bt2)    http://goo.gl/6zSGNZ

-Tìm số hoán vị của tập hợp A có số phần tử n cho trước, các phần tử gần nhau theo khối (bt3)

Ví dụ :  Có mấy cách xếp 5 cuốn sách văn , 3 cuốn sử , 4 cuốn địa trên kệ theo từng môn .

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - P.T GAN NHAU TUNG KHOI (bt3)    http://goo.gl/oWWNrg

-Tìm số hoán vị của tập hợp A có số phần tử n cho trước, các phần tử xuất hiện một số lần (bt4) .

Ví dụ :  Từ {1,2,3,4,5 } lập một số gồm 10 chữ số , trong đó số 1 và 4 xuất hiện 3 lần , số 5 xuất hiện 2 lần , số 2 và 3 mỗi số xuất hiện 1 lần . Có mấy số như vậy ? ( ví dụ  5114214534 )

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - P.TU X.HIEN MOT SO LAN (bt4)    http://goo.gl/Kyzd8s

-Tìm số hoán vị của tập hợp A có số phần tử n cho trước , m phần tử không gần nhau (bt5) .

Ví dụ :  Có mấy cách sắp xếp 5 người theo hàng ngang trong đó có 2 người không thích đứng gần nhau .

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - MOT SO P.TU Ko GAN NHAU (bt5)     http://goo.gl/KF6bNS

-Tìm số hoán vị của tập hợp A có số phần tử n cho trước, k , h phần tử luôn xuất hiện ở đầu dãy (bt6) .

Ví dụ :  Có mấy cách sắp xếp 10 học sinh theo hàng ngang trong đó biết nhóm 3 bạn An ,Bình ,Cường luôn đứng ờ đầu dãy ;  nhóm 2 bạn Dũng , Đạt luôn đứng ở cuối dãy và hai nhóm này không đổi chỗ cho nhau .

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - CAC P.TU LUON O DAU DAY (bt6)     http://goo.gl/Bpuh26

-Tìm các số có m chữ số KHÁC NHAU từ tập hợp X có n chữ số cho trước (bt7) .
 
 Ví dụ :  Có mấy số gồm 4 chữ số khác nhau từng đôi được lập từ 0,1,2,3,4,5,6 .

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - SO / CHU SO KHAC NHAU (bt7)     http://goo.gl/LcJdhj

-Tìm các số có m chữ số TÙY Ý từ tập hợp X có n chữ số cho trước (bt8) .

Ví dụ :  Có mấy số gồm 4 chữ số được lập từ 0,1,2,3,4,5,6 .

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - SO / CHU SO TUY Y (bt8)    http://goo.gl/418qHc

 -Tìm các số CHẴN có m chữ số KHÁC NHAU từ tập hợp X có n chữ số ( k số chẵn) cho trước (bt9) .

Ví dụ :  Có mấy số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ {0,1,2,4,6} 

*Dùng   widget  D11.I.3 H.VI - SO CHAN / KHAC NHAU (bt9)    http://goo.gl/QzBqBn

-Tìm các số CHẴN có m chữ số TÙY Ý từ tập hợp X có n chữ số ( k số chẵn) cho trước (bt10) .

Ví dụ :  Có mấy số chẵn gồm 4 chữ số được lập từ {0,1,2,3,4,6,7} 

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - SO CHAN / TUY Y (bt10)    http://goo.gl/hvUZHP

-Tìm các số LẺ có m chữ số KHÁC NHAU từ tập hợp X có n chữ số ( k số chẵn) cho trước (bt11) .

Ví dụ :  Có mấy số lẻ gồm 4 chữ số khác nhau được lập từ {0,2,3,4,6} 

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - SO LE / KHAC NHAU (bt11)     http://goo.gl/cs9VYT

-Tìm các số LẺ có m chữ số TÙY Ý từ tập hợp X có n chữ số ( k số chẵn) cho trước (bt12) .

Ví dụ :  Có mấy số lẻ gồm 4 chữ số được lập từ {0,4,5,6,8} 

*Dùng  widget  D11.I.3 H.VI - SO LE / TUY Y (bt12)    http://goo.gl/ZX89XC

Trần hồng Cơ
Ngày 08/12/2015

 -------------------------------------------------------------------------------------------

 Trên đời không gì vĩ đại bằng con người. Trong con người không gì vĩ đại bằng trí tuệ.

 A.Hamillton