CÂU CHUYỆN TOÁN HỌC -
PHẦN 1 .
Dưới đây là các bài viết trên https://sites.google.com/site/nguyentuthang/home
Xin phép tác giả được đăng lại trên Blog Toán - Cơ học Ứng dụng .
Trân trọng cám ơn .
NHỮNG PHÁT MINH TRONG TOÁN HỌC
LÝ THUYẾT SỐ
Hệ đếm (thiên kỷ III trước CN)
Như các bảng bằng đất sét tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Irac) hoặc muộn hơn nhiều, ở Nippur (Babilon, 2200-13550) cho thấy, hệ đếm đã được ghi chép lại vào thiên kỷ III trước CN. Hệ đếm Babilon thông minh là một hệ đếm cơ số 60. Cách tính thời gian của chúng ta là bắt nguồn từ đó. Không tồn tại số không, những đơn vị vắng mặt (thiếu), đơn giản được biểu thị bằng một chỗ khuyết.
Còn hệ đếm cổ của người Maya là một hệ thống cơ số 20 theo 10 ngón tay và 10 ngón chân. Hệ thống của họ đã là một hệ đếm theo vị trí và có một số không ở đầu cùng vốn không phải là một toán tử.
Vào thế kỷ V trước CN, người Hy lạp đã sử dụng các chữ trong bảng chữ cái. Đối với các số hàng nghìn người ta lấy lại chín chữ cái đầu tiên kèm theo một dấu phẩy bên trái các chữ cái đó (a có giá trị là 1 và ,a có giá trị là 1000). Hệ đếm này, vốn không có số không, đã được sử dụng suốt một thiên kỷ. Người Hêbrơ và người Arap đã làm cho hệ thống đếm này phù hợp với bảng chữ cái của họ. lúc bấy giờ các tính toán được thực hiện với các bàn tính, dụng cụ gảy bằng tay gồm nhiều hàng. Ở đó các chữ số biểu thị bằng những viên sỏi (từ “tính toán” bắt nguồn từ calculus, có nghĩa là viên sỏi).
Hệ đếm hiện nay (thế kỷ V)
Chính vào thế kỷ V sau CN, ở Ấn Độ đã xuất hiện hệ đếm thập phân, sử dụng mười chữ số từ 0 đến 9 như chúng ta đã biết hiện nay. Năm 829, nhà bác học M.ibn Musa Khwarizm’i (780-850) đã xuất bản một cuốn sách đại số, ở đó ông đã chấp nhận hệ đếm thập phân. Tu sĩ xứ Auvergne là Gorbert đã bắt đầu tìm hiểu các chữ số “Arap” trong chuyến du ngoạn (980) tới Cordoue ở Tây Ban Nha và đã có thể bắt đầu truyền bá những ký hiệu đó khi đã trở thành Giáo hoàng Sylvestre II vào tháng 4 năm 999.
Nhưng phải chờ tới L. Fibonacci, còn gọi là Léonard de Pise, mà nhờ có tác phẩm Liber Abaci của ông viết năm 1202, thì khoa học Arập mới được truyền bá ở châu Âu. Vào năm 1440, với ự phát minh ra nghề in thì mười chữ số mới có được hình dạng cố định cuối cùng.
Số không (thế kỷ IV trước CN)
Hệ đếm Babilon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước CN bở sự xuất hiện của số không trong các văn bản toán học, hoặc ở đầu một con số, hoặc ở giữa, nhưng không bao giờ ở cuối. Từ số không (zero) bắt nguồn từ từ Synya, có nghĩa là “không có gì” trong tiếng Phạn; nó trở thành sifr trong tiếng Arap và được L. Fibonacci La tinh hoa thành zephirum. Nó được gọi là số không (zero) vào năm 1491 trong một khảo luận ở Florence.
Số nguyên tố (thế kỷ II trước CN)
Sau Euclide, vốn vào thế kỷ II trước CN đã chứng minh rằng tập hợp số nguyên tố và vô hạn, thì sàng Ératosthène (khoảng 284-192) là phương pháp đầu tiên được sử dụng trong việc tìm các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó .
 |
| Euclide |
.
Nhưng chính từ “định lý nhỏ” của Fermat (1640) mà E. Lucas người Pháp, vào năm 1876 đã hiệu chỉnh một số phương pháp nghiên cứu tính số nguyên tố của một số số lớn. Số nguyên tố lớn nhất đã biết là (2 ^216091 – 1) - khoảng 65050 chữ số (đây là con số lớn nhất vào thời điểm cuốn sách này ra đời, hiện nay người ta đã tìm được những số nguyên tố lớn hơn thế nhiều – ngocson52), nó được một nhóm nhà kỹ thuật của hãng dầu mỏ Chevron ở Houston (Taxas), khám phá ra một cách ngẫu nhiên vào năm 1985. Trong khi thử một siêu máy tính họ đã phát hiện ra số nguyên tố mới đó: phải mất vài chục trang sách mowis viết hết con số đó.
 |
| Ératosthène |
Số thập phân (thế kỷ XVI)
Cho đến cuối thế kỷ XVI người ta mới chỉ phát triển cơ số 10 cho phần nguyên của một số, phần thập phân chỉ được biểu thị dưới dạng phân số hoặc trong hệ cơ số 60 trong các đơn vị thời gian và góc.
Năm 1579 F. Viète đã tuyên bố rằng trái với các phần nghìn, phầm trăm, phần chục, các phần sáu mươi chỉ được sử dụng ít và S. Stevin năm 1582 đã đề nghị sử dụng các số thập phân trong các tính toán; nhưng các cách viết vẫn rất khác nhau trong suốt thế kỷ XVII.
 |
Francois Viete (1540-1603), French mathematician
|
Nhà toán học và vật lý xứ Flandre là S. Stevin (1548-1620) cũng đã đề nghị sự phân chia thập phân các đơn vị đo lường. Nhưng phải chờ mãi tới Cách mạng Pháp mới có được hệ mét thập phân (20/12/1799).
Số vô tỉ (thế kỷ IV trước CN)
Aristotle. (Aristotle. Engraving of Aristotle (384-322BC), Greek philosopher and founder of logic. Born the son of the Macedonian court physician, Aristotle studied in Athens under Plato. After Plato's death he returned .
Trong khi chứng minh không thể viết sqrt(2) dưới dạng một phân số thì Aristote (thế kỷ IV trước CN) đã tìm ra các số vô tỉ (mà Pythagore đã linh cảm được), được gọi tạm là số “vô ước”.
Người ta đã phân biệt được số đại số như sqrt(2) và số siêu việt như pi và “e” vào thế kỷ XVII. Năm 1872 Ch. Hermite người Pháp đã chứng minh tính sieu việt của e và năm 1882 F. Lindemann người Đức đã chứng minh tính siêu việt của pi.
 |
Pythagoras, Greek philosopher
|
|
Số pi (thế kỷ II trước CN)
Sử dụng các đa giác 96 cạnh nội tiếp và bàng tiếp đường tròn, nhà bác học Hy lạp Archimède (287-212 trước CN) đã chứng minh rằng số pi nằm giữa (3 + 10/71) và (3 + 10/70).
 |
Ancient Greek mathematician Archimedes
|
Vậy nên khi Ptôlémée (nhà toán học Hy lạp thế kỷ II sau CN) lấy giá trị 3,1416 cho số pi, ông đã biện minh rằng nó gần với giá trị trung bình của hai giá trị cận của Archimède. Năm 1874, W. Schanks, người Anh, đã tính được 707 chữ số thập phân của số pi, đã được khắc ở Cung Phát Minh (Palais de Découverte) ở Paris. 527 chữ số đầu tiên là chính xác còn những chữ số tiếp theo là sai. Từ đó nhờ có các máy tính người ta đã tính được hàng nghìn chữ số thập phân của số pi.
 |
Ptolemy, an Egyptian astronomer
|
Số hoàng kim (thế kỷ III trước CN)
Số hoàng kim, nghiệm của phương trình 1/x = x/(1+x), bằng (1+sqrt(5))/2 ~ 1,618 và tồn tại trong phép phân chia không đối xứng mà tỷ số giữa phần lớn và phần nhỏ bằng tỷ số giữa hai phần và phần lớn. Người ta tìm thấy số đó trước Euclide, nhưng chính Euclide vào thế kỷ III trước CN đã biến nó thành bài toán nổi tiếng khi tìm cách chia một đoạn thẳng sao cho phàn lớn là trung bình tỉ lệ của phần nhỏ và đoạn thẳng hoặc “phép chia hoàng kim”. Tính hài hòa dựa trên số hoàng kim đã được nghiên cứu ở nhiều bộ môn nghệ thuật: trong kiến trúc (Phidias với nhà thờ Parthénon ở thế kỷ V trước CN, Alberti ở thế kỷ XV, Le Corbusier ở thế kỷ XX); trong âm nhạc (sự nghiên cứu theo thuyết Pythagore về quãng âm); trong hội họa (L. de Vinci, Raphael).
Số Fractan (1962)
Được B. Mandelbrot, một người Pháp gốc Ba Lan, phát minh ra ra năm 1962. Các số fractan có khả năng trở thành một công cụ toán học để rút ra những quy luật tổ chức của tự nhiên.
Khái niệm fractan đặc biệt có ích trong việc mô tả những cấu trúc mà mỗi bộ phận của nó cho dù kích thước như thế nào đi nữa thì vẫn tương tự với toàn cấu trúc. Ví dụ: phải chăng mỗi cành của một cái cây không đại diện cho toàn bộ cả cái cây?
 |
| B. Mandelbrot |
Các số fractan mới xuất hiện trong toán học có cơ sở ở hai định luật: định luật tương tự (autosimilarité), bộ phận tương tự với toàn thể); định luật số chiều fractan nói rằng các tập hợp số fractan có số chiều phân đoạn (không nguyên) và mảnh nọ tương ứng với mảnh kia. Một trong những áp dụng gây ấn tượng mạnh nhất của các số fractan liên quan đến sự tổng hợp các hình ảnh nhờ máy tính.
Số “không thể có” (thế kỷ XVIII)
Chính nhờ có nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) mà ta có định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số “không thể có” hoặc “số ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai c]ủa -1.
Cho tới năm 1746 người ta đã sử dụng các số ảo mà không biết nhiều về cấu trúc của chúng. Nhưng chính nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm đó đã xác định được dạng tổng quát “a+b*sqrt(-1) của chúng, đông thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu “i” để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu đó.
Tập hợp số thực (thế kỷ XIX)
Vào thế kỷ VI trước CN, nhà toán học và thiên văn học Hy lạp Eudoxe đã thử viết ra một tập hợp không chỉ gồm số hữu tỷ mà ông cảm thấy chưa đủ. Nhưng ông đã không thành công cũng như một số nhà toán học thời cổ vốn tỏ thái độ rất ngập ngừng đối với số vô tỷ. mãi vào thế kỷ XIX, nhà toán học Nga G. Cantor (1845-1918) mới nghiên cứu các đại lượng vô tỷ và “tính liên tục”, khái niệm giải thích cái vẻ liên tục của đoạn thẳng được tạo nên bởi vô hạn các điểm phân biệt, mỗi điểm biểu thị một số. Chính khi đó đã xuất hiện nhiều nghịch lý đặt lại vấn đề về các khái niệm trực giác.
 |
| Georg Cantor |
Cantor ý thức được sự đối đầu với lương tri truyền thống, đã phải tiến hành một cuộc đấu tranh nhiều năm để thuyết phục những người cùng thời với mình. Khi ông mất vào 6/1/1918, sự nghiệp của ông trở nên phổ cập rộng.
HÌNH HỌC
Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)
Trước Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những “kỹ xảo” để đo các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường phái Ioni là Thales de Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều cao nhờ dùng bóng vaod lúc mà “bóng bằng với vật”, nghĩa là vào lúc các tia nắng chiếu xuyên một góc 450.
 |
| Thales de Milet . |
Để đo chiều cao của Đại Kim tự tháp ông đã cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào. Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị cồn việc của ông là muốn xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một địng lý mà từ đó được gọi là Định lý Thales: “Các đường thẳng song song chiếu những đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật băng cách đưa vào đó quan điểm suy diễn và chứng minh của toán học.
Định lý Pythagore (thế ky VI trước CN)
Xuất phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy lạp ở thế kỷ VI trước CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.
 |
| Định lý Pythagore . |
Tiên đề Euclide (thế kỷ III trước CN)
Nhà toán học Hy lạp là Euclide (thế kỷ III trước CN) chủ yếu đã tổng hợp các công trình của người đi trước trong tác phẩm “Nguyên lý” ông đã hệ thống các kiến thức của thời đại mình, đồng thời chứng minh lại toàn bộ xuất phát từ năm tiên đề được coi như đúng dù rằng không được chứng minh. Tiên đề cơ bản và quen thuộc nhất là: “Qua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đó”. Điều trái ngược với tiên đề này đã được Aristote xem xét trong tác phẩm “Những phép phân tích khác”, song với một quan điểm hoàn toàn mang tính chất giáo huấn.
 |
| Trường phái toán học cổ Hy lạp . |
Cho đến thế kỷ XIX, các nhà toán học vẫn nghĩ rằng có thể chứng minh được tiên đề đó. Bởi vậy ở thế kỷ thứ XVIII nhiều nhà toán học đã uổng công thử chứng minh nó bằng phản chứng; đã xuất hiện hai điều phủ định khả dĩ: “Tồn tại ít nhất một điểm qua đó không có một đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho đi qua” và “Tồn tại ít nhất một điểm qua đó ít nhất có hai đường thẳng song song khác nhau đi qua”. Việc giải thích rõ ràng hai điều ngược lại đó đã làm nảy sing hai loại hình học mới ở thế kỷ sau đó.
Lượng giác (thế kỷ III-II trước CN)
Trong thời Cổ Đại lượng giác đã phát triển như một kỹ thuật phụ của thiên văn học. vậy nên chính những nhà thiên văn Hy Lạp Asistarque de Samos (thế kỷ III trước CN) và Hipparque de Nicée (thế kỷ II trước CN) là những nhà lượng giác học tiên phong. Người Hy Lạp ở thành Alexandria là C. Ptolémée (khoảng 80-160 sau CN) đã tập hợp tất cả các tri thức của thời đó trong khảo luận gọi là “Sách thiên văn” (Almageste) của mình.
 |
| Asistarque de Samos |
Chính nhờ người Arập ở thế kỷ IX mà lượng giác đã phát triển thành một bộ môn khoa học tách riêng hoàn toàn. Al Khwârizmi (780-850) đã lập được các bảng số sin đầu tiên, Habasch và al Hasib đã lập được các bảng tang. Sách thiên văn hoàn thiện (Perfectionnement de l’Almageste) của al Bâttâmi (877-925) là một công trình thực sự về lượng giác hiện đại, hoàn hảo hơn nhiều so với Sách thiên văn của Ptolémée. Những công trình đó được những nhà toán học Đức J. Muller (1436-1476) và G. Rhaeticus (1514-1576) sửa lại và phát triển. A. de Moivre (1667-1754) và L. Euler (1707-1783) đã gắn mỗi số phức tương ứng với một tia và một góc; bởi vậy cho phép khảo sát lượng giác nhờ hàm phức; nhờ thế chính lượng giác biến thành một lý thuyết đại số.
 |
| A. de Moivre |
Mặt cônic (thế kỷ III trước CN)
Các mặt cônic đã được nghiên cứu theo những cách rất khác nhau qua các thời đại, chính điều đó cho thấy roc hình học đã tiến triển từ thời cổ đại đến thời chúng ta như thế nào. Trong khảo luận của mình về các tiết diện cônic, A. de Perga (khoảng 262-130 trước CN) đã nghiên cứu những mặt cắt khác nhau của một hình nón. Khi đó ông đã chứng minh rằng có thể thu được các hình Parabol, Hypecbol và Elip.
Vào thế kỷ thứ XVII, Descartes đã thể hiện các mặt cônic dưới dạng các phương trình và chỉ ra rằng có thể thu được các mặt cônic từ các phương trình bậc hai.
B. Pascal (1623-1662) đã tạo nên quan niệm hiện đại bằng cách tiếp cận mặt cônic theo quan điểm giải tích. Ở thế kỷ XX, các mặt cônic là một phần của lý thuyết tổng quát hơn về các dạng toàn phương.
Tọa độ (thế kỷ XVII)
Việc sử dụng các số để xác định một cách đơn tính vị trí của một điểm trên một bề mặt đã được biết đến từ thời Archimede (thế kỷ III trước CN). Nhưng mãi tới thế kỷ XVII thì tọa độ mới được sử dụng một cách có hệ thống đối với các bài toán hình học. Có truyền thuyết rằng nhà triết học và toán học người Pháp R. Descartes (1596-1650) đã nảy ra ý tưởng về tọa độ khi ông nhìn thấy một con côn trùng bay trước những ô kính cửa sổ của mình. Khám phá đó đã cho phép khảo sát các bài toán hình học theo phương pháp đại số; rồi nhờ có nhà toán học Pháp P. de Fermat (1601-1665) đã bắt đầu xuất hiện hình học giải tích trong đó các phương trình và đường cong có liên quan với nhau.
 |
| Pierre de Fermat |
Vectơ (1798)
Nhà hình học Đan Mạch C. Wessel, năm 1798 và J. R. Argand, năm 1806 đã viết hai báo cáo về các số phức. Cả hai người đều có ý tưởng không chỉ biểu diễn các số phức thông qua một điểm A trên mặt phẳng mà còn đồng nhất chúng với vectơ gốc ở O và điểm mút A trong một hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Vậy là nảy sinh khái niệm vectơ , như vậy tìm tổng của hai số phức tức là dựng tổng của hai vectơ là những đối tượng hình học mà đối với chúng tồn tại các phép toán rất gần với các phép toán quen thuộc trong tập hợp các số.
Cấu trúc không gian của vectơ (1844)
Vào thế kỷ XIX, khi nghiên cứu cấu trúc của các tập hợp vận dụng được các phép toán thì người ta mới rõ rằng cấu trúc của tập hợp các vectơ trong mặt phẳng có thể áp dụng được cho những tập hợp khác, như tập hợp các ma trận chẳng hạn. Vậy nên trong “Lý thuyết mở rộng” của mình vào năm 1844, nhà toán học Đức H. Grassmann (1809-1877) đã định nghĩa các không gian vectơ có số chiều lớn hơn ba. Trong khi nghiên cứu các quatecnion, W. Hamilton (1805-1865) cũng đã xây dựng nên những hệ thống vectơ đầu tiên. Những định nghĩa đã rất có ích cho vật lý học khi xây dựng lý thuyết tương đối trong đó không thời gian được xem như một không gian vectơ bốn chiều.
Hình học phi Euclide (thế kỷ XVIII)
Vào thế kỷ XVIII, G. G. Saccheri, J. H. Lambert, Taurinus, Reid và nhiều nhà toán học khác đã thử gán các hệ quả logic cho những sự phủ định tiên đề Euclide, nhưng họ đã không thực sự tin vào chuyện đó và đã không đi đến những lý thuyết hoàn hảo. Vào đầu thế kỷ XIX, những lý thuyết đó bắt đầu hình thành và quy về hai loại hình học khác nhau song đều khả dĩ và có thể xem xét cụ thể được.
Hình học Hypecbolic (thế kỷ XIX)
Nhà toán học Hungari J. Bolyai (1802-1860) và nhà toán học Nga N. I. Lobatchevski (1792-1856) đã xây dựng nên một loại hình học trong đó mặt phẳng là một bề mặt Hypecbolic; để hình dung một bề mặt như thế, ta có thể so sánh nó với một mặt yên ngựa.
Hình học Eliptic (thế kỷ XIX)
 |
| Carl Friedrich Gauss |
Nhà vật lý và toán học Đức C. F. Gauss (1777-1855) đã xây dựng một hình học, trong đó mặt phẳng được xác định như bề mặt một hình cầu có bán kính vô hạn; có thể hình dung được khái niệm đó khi so sánh với mặt nước, bởi vì Trái Đất là hình cầu chứ không phải như Euclide đã tưởng. B. Riemann (1828-1866), người Đức, là học trò của Gauss ở Gottingen, đã tiếp tục các công trình của Gauss và đã đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic như một trường hợp của một lý thuyết tổng quát hơn.
Định nghĩa hình học (1872)
Những công trình khác nhau ở đầu thế kỷ XIX về các loại hình học phi Euclide đã làm nảy sinh những sự ham mê và những cuộc bút chiến rất mạnh mẽ; thực tế chúng đã cách mạng hóa triết ký về các tri thức nhiều hơn là bản thân môn hình học.
 |
| RIEMANN Bernhard | 1826-1866 |
Bởi thế cần phải thống nhất và sáng tạo ra một lý thuyết rộng hơn, trong đó những thế giới hình học khác nhau có thể cùng tồn tại. Nhà toán học Đức Ch. F. Klein (1849-1925) trong bài phát biểu mở dầu Đại hội Erlangen (“Chương trình Erlangen” năm 1872) của mình đã định nghĩa hình học như bộ môn nghiên cứu các nhóm phép biến đổi khiến cho một số đối tượng hình học như đường trung tuyến hoặc đường cao trở nên bất biến. Chú ý đến cấu trúc của những nhóm đó, Ch. F. Klein đã gộp các loại hình học vào một lý thuyết đại số. Như vậy, là vào đầu thế kỷ XX không còn “những toán học” nữa, mà chỉ có “toán học” trong đó đại số và hình học chỉ là một.
 |
| F. Klein (1849-1925) |
Phỏng đoán bốn màu (1976)
Năm 1976, K. Appel, W. Haken và J. Koch ở Đại học Illisois (Mỹ) đã đưa ra sự chứng minh về sự phỏng đoán bốn màu. Phỏng đoán này khẳng định rằng, toàn bộ bản đồ địa lý được vẽ trên một mặt phẳng hay một mặt cầu, mà mỗi lớp chiếm riêng một khoảnh (không có thuộc địa cũng không có nước khác lọt vào giữa), có thể được tô chỉ bằng bồn màu sao cho hai nước khác nhau có các màu khác nhau.
Việc chứng minh điều phỏng đoán đó đã được thực hiện nhờ tính toán 12000 giờ trên các máy tính mạnh nhất; vậy nên đầu óc con người không thể kiểm chứng được nó và nó đặt ra những câu hỏi về “tính toán học” của nó. Nhất là nó đã kích thích các nghiên cứu về các lý thuyết đồ thị hiện đang chiếm một vị trí lớn trong giải tích tổ hợp.
ĐẠI SỐ
Nguồn gốc (thế kỷ III)
Từ đại số (algebra) xuất phát từ từ al-jabr trong tiếng Ảrập, có nghĩa là rút gọn. Nói chung người ta coi Diophante d’Alexandrie (thế kỷ III) giữ vai trò hàng đầu trong lịch sử đại số.
 |
| Diophante d'Alexandrie |
Chính trong tác phẩm Mười ba quyển số học của ông, các nhà toán học Pháp P. de Fermat (1601-1665) và F. Viète (1540-1603) đã tìm thấy điểm xuất phát cho các công trìng của mình. Nhưng lại chính nhờ có F. Viète mà ta có được một phát minh đại số theo quan niệm hiện đại. Chính ông vào năm 1591 đã sáng tạo ra ngôn ngữ đại số ngày nay. Ông đã dùng các chữ cái để biểu thị không chỉ các ẩn mà cả các lượng bất định và với các chữ cái đó, ông đã tạo ra các từ, nghĩa là các biểu thức đại số mà ông vận dụng các phép toán với chúng.
Dấu đại số (thế kỷ XV-XVII)
Người Ai Cập vào năm 1700 trước CN đã sử dụng các dấu đại số, phép cộng được đánh dấu bằng hai cẳng chân nằm cùng chiều, còn phép trừ thì bằng hai cẳng chân nằm ngược chiều. Trái lại, người Hy Lạp lại chẳng dùng hệ ký hiệu nào, mỗi lập luận lại được diễn đạt toàn bằng lời, chính các nhà toán học vào thế kỷ XV, XVI và XVII đã đưa ra cách tính toán dùng các dấu.
Các dấu + và – của chúng ta, vốn xuất hiện năm 1489 trong một cuốn sách số học của J. W. d’Egr, người Đức, đã được M. Stifel người Đức, truyền bá trong một công trình về đại số của ông vào năm 1544. Dấu : do C. Rudoff, người Đức, đưa ra năm 1526. Dấu x do W. Oughtred người Anh, sử dụng đầu tiên (1637). Các dấu “lớn hơn”( >) và “nhỏ hơn” (<) đều là của người Anh là T. Harriot đưa ra (1631).
Cuối cùng, vào năm 1637 nhà triết học Pháp R. Descartes đã sử dụng các chữ số ở số mũ để biểu thi lũy thừa và vào năm 1656 J. Vallis đã đưa ra ý tưởng về các số mũ âm.
 |
| Rene Descartes |
Phương trình
Phương trình bậc nhất và bậc hai (năm 1700 trước CN)
Vào khoảng năm 1700 trước CN, trong một tác phẩm của người Ai Cập về các bài toán cụ thể đã có những ví dụ về giải phương trình bậc nhất và bậc hai. Ở Trung Quốc, trong tác phẩm “Chín chương về nghệ thuật tính toán” (khoảng năm 200 trước CN) đã có những ví dụ về giải hệ phương trình hai ẩn.
Lịch sử về các phương trình bậc hai bắt nguồn từ nền văn minh Babilon từ thiên kỷ II (năm 1800 trước CN). Người Babilon đã biết cách giải tất cả các phương trình bậc hai nhưng không diễn đạt trong tập hợp số thực. Người Hy Lạp ở thế kỷ III trước CN đã biến việc giải phương trình bậc hai thành cơ sở cho toàn bộ hình học của họ và để có thể làm việc trong tập hợp số thực, họ đã thay thế các tính toán của người Babilon bằng các phép dựng hình bằng thước và compa. Tuy nhiên, những nhà đại số Hy Lạp đã tính toán trong tập hợp số hữu tỷ dương, điều đó khiến cho nhiều phương trình không có lời giải. Phải chờ tới thế kỷ XVI khi xuất hiện các số phức mới giải được tất cả các phương trình bậc hai .
Phương trình bậc ba và bậc bốn thế kỷ XVI
Chính trường phái Italia thế kỷ XVI đã tìm ra cách giải phương trình bậc ba và bậc bốn. Ba người đi tiên phong lần lượt là S. del Ferro, N. Fontana (khoảng 1500-1557) và G. Cardano (1501-1576). Lúc đó họ chạm trán nhau trong các cuộc thi toán học thường kết thúc bằng những cuộc chè chén.
 |
| G. Cardano |
Logarithm (1614)
Archimède (thế kỷ II trước CN) trong công trình Nghiên cứu về các hạt cát (tính số hạt cát cần thiết để lấp đầy vũ trụ), đã gần đi tới phát minh ra loga, N. Chuquet (1445-1500), người Pháp, đã phát minh ra cấp số cộng và cấp số nhân cũng như số mũ âm, nhưng chính J. Napier (1550-1617) trong khi tìm kiếm các phương pháp tính toán mới về số đã phát minh ra loga vào năm 1614. Hệ thống của ông đã cho phép thay thế các phép nhân bằng phép cộng và phép chia bằng phép trừ bằng cách sử dụng những số rất nhỏ. Nhưng các kết quả thu được đã không làm ông thỏa mãn, cùng với người bạn là H. Briggs, người Anh, ông đã phát minh ra loga thập phân.
 |
| John Napier |
Hàm số (thế kỷ XVII)
G. V. Leibniz (1646-1716) nhà triết học và toán học Đức, đã có ý tưởng khảo sát các bài toán nhờ phép tương tự; thực ra ông đã quan tâm đến những “sự đồng dạng” của các bài toán khác nhau. Đặc biệt là trong những trao đổi thư từ với J. Bernoulli (xem thêm bài dưới đây), ông đã nhận xét rằng, một số biến số, chẳng hạn như khoảng cách và thời gian, có thể có liên quan và được biểu diễn qua nhau. Vậy nên ông đã sử dụng các hàm để biểu diễn chúng dưới dạng . Khám phá đó đã được thực hiện trong các nghiên cứu nhằm tìm những phương pháp tính toán mới phát triển ở thế kỷ tiếp sau dưới cái tên phép tính vi phân.
 |
| G. Leibniz |
Phép tính vi phân (thế kỷ XVIII)
J. Bernoulli (1667-1748), giáo sư toán học ở Bâle, đã giải thích và giới thiệu các phương pháp tính toán của Leibniz và phổ biến chúng ở Pháp trong những năm 1691-1692. Đặc biệt ông đã là giáo sư của L. Euler (1707-1783), người đã sắp xếp lại và phát triển các công trình của những người đi trước ông. Euler đã đưa ra lý thuyết tổng quát đầu tiên về phép tính biến phân, làm chính xác thêm khái niệm hàm và tập hợp tất cả các kết quả trong các tác phẩm Mở đầu phép tính vi phân (1755) và Mở đầu phép tính tích phân (1768-1770).
Độc lập vơi Leibniz và Euler, nhà Vật lý và toán học Anh I. Newton (1643-1727) đã xây dựng được lý thuyết về phép tính các “fluction” vốn giải quyết chính xác cùng những bài toán đó. Như vậy, thực ra phéo tính vi phân đã xuất hiện đồng thời ở những cộng đồng khoa học khác nhau. Ở thế kỷ XIX, với các công trình của B. Riemann (1826-1866) thì phép tính tích phân đã phát triển mạnh.
 |
| L . Euler . |
Phép tính xác suất (1656)
Phép tính xác suất đã nảy sinh trong việc nghiên cứu các trò trơi may rủi (hasard) bắt nguồn từ az-zahr trong tiếng Ảrập nghĩa là “chơi súc sắc”. Pascal và Fermat là những người đầu tiên trong các thư từ trao đổi của mình đã muốn “toán học hóa” các trò chơi may rủi.
 |
| C. Huygens |
Nhà bác học Hà Lan Ch. Huygens (1629-1695), người đã biết được về các cuộc trao đổi thư từ đó, đã công bố vào năm 1656 bản thuyết trình đầy đủ đầu tiên về phép tính xác suất. Sau đó J. Bernoulli (1654-1705) đã viết một công trình trình bày môn xác suất một cách sâu sắc hơn nhiều so với Huygens. Cuối cùng, nhà toán học Pháp P. S. de Laplace (1749-1827) đã viết một công trình lớn về việc áp dụng giải tích toán học trong lý thuyết xác suất và nó còn mang tính chất triết học nữa.
Thống kê (1746)
 |
| G. Achenwall |
Chính G. Achenwall, nhà kinh tế Đức, vào năm 1746 đã đưa ra thuật ngữ thống kê. Thực ra hoạt động thu nhập các dữ liệu đã có nguồn gốc từ thời Cổ đại xa xưa. Chẳng hạn, hoàng đế Trung Quốc Yao (hình như là vua Ngu Thuấn –) vào năm 2238 trước CN đã tổ chức việc thống kê các sản phẩm nông nghiệp. Năm 1853, A. Quetelet, người Bỉ, là người đầu tiên đã nhận thức được rằng thống kê có thể được xây dựng dựa trên phép tính xác suất.
Việc xuất hiện các máy tính mạnh đã làm nảy sinh các phương pháp phân tích dữ liệu nhiều chiều hiện đang rất thịnh hành.
Ma trận (1858)
Việc nghiên cứu các hệ phương trình và các phép biến đổi tuyến tính đã dẫn nhà toán học Anh A. Cayley (1821-1895) tới việc thiết lập các bảng số, gọi là ma trận và định nghĩa các phép toán trên những bảng đó. Vậy là chính ông đã phát triển phép tính ma trận mà ông đã công bố trong một báo cáo khoa học vào năm 1858. Các công trình của ông đã cho phep nghiên cứu một cách sâu sắc hơn về các cấu trúc của nhóm các biến đổi tuyến tính và cung cấp các ý tưởng dẫn dắt F. Klein đến chương trình Erlangen của mình (xem định nghĩa hình học ở trên).
 |
| A. Cayley |
Cấu trúc nhóm (thế kỷ XIX)
Ở thế kỷ XIX, nhiều kiểu nhóm đã được nghiên cứu nhân các công trình về các phương trình khác nhau.
Nhà toán học Pháp A. Cauchy (1789-1857) cũng đã nghiên cứu các nhóm hoán vị nghiệm của các phương trình đại số.
 |
| E. Galois |
E. Galois (1811-1832) khi đào sâu các công trình đó đã phác họa nên lý thuyết nhóm song tiếc rằng chưa được hoàn thành. Thực ra ông đã bị giết trong một cuộc đọ súng ở tuổi 21. Mặc dù chỉ dưới những nét phác thảo, lý thuyết của ông đã có tác dụng hướng dẫn cho những nghiên cứu về sau này.
Trong thời kỳ 1870-1880, nhà toán học Na Uy S. Lie (1842-1899) đã xây dựng nên lý thuyết nhóm liên tục các phép biến đổi hay “nhóm Lie”, nhất là để nghiên cứu các phương trình vi phân. Các nhóm đó đã được Klein sử dụng trong chương trình Erlangen của mình (1872), chính điều đó đã quy hình học về lý thuyết nhóm.
Từ đấy, cấu trúc nhóm này đã được sử dụng trong bộ môn toán học hiện đại cũng như vật lý ở các lĩnh vực nghiên cứu cấu trúc nguyên tử.
 |
| S. Lie |
Lôgic toán (1854)
Người Anh tự học G. Boole (1815-1864) là người sáng tạo ra logic ký hiệu. Năm 1847, ông đã công bố một cuốn sách nhỏ trong đó ông đã khẳng định rằng, logic phải gắn với toán học chứ không phải với triết học. Năm 1854, trong khảo luận “Nghiên cứu về các quy luật của tư duy”, ông đã trình bày những ý tưởng của mình. Như vậy là đã xuất hiện cái mà ngay nay ta gọi là đại số Boole, chỉ chấp nhận các giá trị bằng số 0 và 1. Nhờ có G. Frege, mà logic hiện đại đã bắt đầu hình thành vào năm 1879, song mãi năm 1903 các công trình của ông mới được nhà triết học B. Russell phát hiện và công bố.
 |
| G. Boole |
Lý thuyết tập hợp (thế kỷ XIX-XX)
Từ thời Leibniz đã có nhu cầu xây dựng các ký pháp và ký hiệu để hệ thống hóa logic học. Trong đại số của mình, G. Boole đã đặt phép hợp và phép giao các tập hợp, một mặt tương ứng với phép cộng và phép nhân; và mặt khác với phép “hoặc” và phép “và”; vậy là song song với ký hiệu logic đã xuất hiện các ký hiệu (dấu) và một lý thuyết về các tập hợp. Vào năm 1895 nhà toán học và logic học Italia G. Pean (1858-1932) đã đưa ra ký hiệu để chỉ “thuộc”,U để chỉ phép hợp hai tập hợp và ^ để chỉ phép giao tập hợp. Năm 1877, Schroder, người Đức, đã đưa ra ký hiệu ( để chỉ sự bao hàm. Cùng với các công trình của Canto về tập hợp các số thực đã xuất hiện các nghịch lý khiến cho Peano phải định nghĩa bản số của một tập hợp. Nhà toán học Pháp E. Borel (1871-1956) đã đưa ra khái niệm về phép hợp đếm được, vốn đã dẫn đến các nghiên cứu về topo và lý thuyết về độ đo ở thế kỷ XX.
 |
| E. Borel |
Topo (thế kỷ XIX-XX)
Topo là một phần toán học vốn nghiên cứu các khái niệm, thoạt đầu mang tính trực giác về tính liên tục và giới hạn. Cho tới đầu thế kỷ XIX, các nhà toán học sử dụng những khái niệm đó mà không định nghĩa chúng một cách chính xác. Nhà toán học Đức. D. Hilbert (1862-1943) đã tìm cách tiên đề hóa chúng và đưa ra khái niệm “lân cận”. Ở đầu thế kỷ XX M. Fréchet, người Pháp, và F. Riesz, người Hungari đã định nghĩa lần lượt các khái niệm “metric” và “topo”. Cuối cung, khoảng năm 1940, định nghĩa các “bộ lọc” của nhà toán học Pháp H. Cartan đã kết thúc lịch sử khái niêm giới hạn. H. Poincaré (1854-1912), người anh em họ của tổng thống Pháp R. Poincaré, được coi như người phát minh ra topo đại số và topo vi phân.
 |
| H. Poincare |
Lý thuyết độ đo (1931-1935)
Mặc dù theo kinh nghiệm thì khái niệm độ đo tồn tại từ những buổi đầu của các nền văn minh, nhưng phải tới thế kỷ XX người ta mới diễn đạt được một lý thuyết phù hợp về độ đo. Sử dụng các tiến bộ của thế kỷ trước về tập hợp số thực, tích phân Riemann và về đại số của các tập hợp, nhà toán học Pháp H. Lebesgue (1875-1941) đã xây dựng nên độ đo Lebesgue, vốn chấp nhận sự tồn tại có vẻ nghịch lý các tập hợp chứa vô hạn điểm và tuy vậy vẫn có độ đo bằng không. Ông đã công bố các kết quả của mình “về độ đo các đại lượng” trong tác phầm “Dạy toán” (1931-1935).
 |
| H. Lebesgue |
Trường phái Bourbaki (1939-1960)
Với cùng tinh thần như Euclide đã soạn thảo tác phẩm “Nguyên lý”, nhóm các cựu sinh viên Đại học Sư phạm (Pháp) đã tập hợp lại vào năm 1933 để soạn thảo tập thể công trình tổng hợp các kiến thức của thế kỷ XX. Sau khi trình bày các tiên đề mà xuất phát từ đó có thể chứng minh được tất cả, họ đã thống nhất lại để tạo ra kiến thức của thế kỷ này. Các tài liệu xuất bản của họ - Các nguyên lý của toán học (1939) và Các nguyên lý của lịch sử toán học (1960) – đã được ký tên là Nicolas Bourbaki. Cái tên đó xuất phát từ một lời nói đùa của họ khi còn học tập ở Đại học Sư phạm, đồng thời tạo nên một Bourbaki tưởng tượng chung.
 |
| N. Bourbaki |
Thuật toán Karmarkar (1984)
Nhà toán học Ấn Độ N. Karmarkar lúc 28 tuổi đã thực hiện một bước đột phá đáng chú ý trong việc giải các hệ phương trình thường là rất phức tạp đối với những máy tính mạnh nhất.
Các nhà toán học đã làm sáng tỏ được những bài toán như những bài toán về hình học không gian. Cho đến nay, thuật toán “Simplexe” do nhà toán học J. B. Dantzig nghĩ ra năm 1947, đã vượt ra khỏi khuôn khổ của cố thể để hướng tới giải pháp tối ưu mà không cần phải thăm dò kỹ tất cả các khả năng. Phương pháp này đã thành công khi số biến không quá 20 000. Thuật toán Karmarkar mà ý tưởng chung của nó là uốn cong cố thể một cách liên tục, dẫn đến giải pháp tối ưu nhanh hơn. Các biến đổi đó dựa trên một kỹ thuật hình học xạ ảnh. Phương pháp của N. Karmarkar có thể áp dụng cho những bài toán quy hoạch tuyến tính trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau.
 |
| N. Karmarkar |
Nguồn : https://sites.google.com/site/nguyentuthang/toan-hoc/phat-minh-toan-hoc
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐÔI ĐIỀU VỀ ĐỊNH LÝ LỚN FERMAT
Định lý cuối của Fermat (hay còn gọi là Định lý lớn Fermat) là một trong những định lý nổi tiếng trong lịch sử toán học. Định lý này phát biểu như sau:
Không tồn tại các nghiệm nguyên khác không x, y, và z thoả x^n + y^n = z^n trong đó n là một số nguyên lớn hơn 2.
Định lý này đã làm hao mòn không biết bao bộ óc vĩ đại của các nhà toán học lừng danh trong gần 4 thế kỉ. Cuối cùng nó được chứng minh bởi Andrew Wiles năm 1993 sau gần 8 năm ròng nghiên cứu, phát triển chứng minh các giả thiết có liên quan.
Lịch sử chứng minh định lý
Cho tới đầu thế kỷ 20 các nhà toán học chỉ chứng minh định lý này là dúng với n=3, 4, 5, 7 và các bội số của nó. Nhà toán học người Đức Ernst Kummer đã chứng minh định lý này là đúng với mọi số nguyên tố tới 100 (trừ 3 Số nguyên tố phi chính quy là 37, 59, 67).
Quá trình giải của Andrew Wiles
* Tháng 5 năm 1993, "crucial breakthrough", Wiles khoe với phu nhân là đã giải được rồi.
* Tháng 6 năm 1993, "Elliptic Curves and Modular Forms", Wiles lần đầu tiên công bố là ông đã giải được Định lý lớn Fermat.
 |
| Đường cong elliptic |
* Tháng 7-8 năm 1993, Nick Katz (đồng nghiệp) trao đổi email với Wiles về những điểm chưa hiểu rõ, trong đó nhắc rằng trong chứng minh của ông có 1 sai lầm căn bản.
* Tháng 9 năm 1993, Wiles nhận ra chỗ sai và cố gắng sửa. Sinh nhật phu nhân ngày 6 tháng 10, bà nói chỉ cần quà sinh nhật là một chứng minh đúng. Wiles cố hết sức nhưng không làm được.
* Tháng 11 năm 1993, ông gởi email công bố là có trục trặc trong phần đó của chứng minh.
* Sau nhiều tháng thất bại, Wiles sắp chịu thua. Trong tuyệt vọng, ông yêu cầu giúp đỡ. Richard Taylor, một sinh viên cũ của ông, tới Princeton cùng nghiên cứu với ông.
* Ba tháng đầu 1994, ông cùng Taylor tìm mọi cách sửa chữa vấn đề nhưng vô hiệu.
* Tháng 9 năm 1994, ông quay lại nghiên cứu một vấn đề căn bản mà chứng minh của ông được dựa trên đó
 |
| Một ví dụ về dạng modular . |
* Ngày 19 tháng 9 năm 1994 phát hiện cách sửa chữa chỗ trục trặc đơn giản và đẹp, dựa trên một cố gắng chứng minh đã làm 3 năm trước. Sau khi coi lại cẩn thận, ông mừng rỡ nói với phu nhân là đã làm được.
* Tháng 5 năm 1995 đăng lời giải trên Annals of Mathematics (Đại học Princeton).
* Tháng 8 năm 1995 hội thảo ở Đại học Boston, giới toán học công nhận chứng minh là đúng.
Helen G. Grundman, giáo sư toán trường Bryn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau:
"Tôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh Định lý lớn Fermat đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. Thật ra chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng Định lý lớn Fermat."
 |
| Giáo sư Wiles trình bày chứng minh định lý . |
"Chứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh Định lý lớn Fermat mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy."
Nguồn : https://sites.google.com/site/nguyentuthang/toan-hoc/dhinh-ly-lon-fermat
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
PHỎNG VẤN ANDREW WILES
Người dịch: Alligator
Andrew Wiles đã cống hiến phần lớn sự nghiệp của ông cho việc chứng minh định lý Fermat cuối cùng (Fermat's Last Theorem - viết tắt là FLT), bài toán nổi tiếng nhất thế giới. Vào năm 1993, ông đã trở nên nổi tiếng khi công bố một cách chứng minh bài toán, nhưng câu chuyện chưa chấm dứt ở đó; một lỗi sai trong tính toán đã làm lung lay công trình cả đời của ông. Andrew Wiles đã nói chuyện với NOVA và kể lại cách ông đã xử lý chỗ sai lầm, và cuối cùng tiến tới để đạt được hoài bão của đời ông như thế nào.
NOVA: Nhiều khám phá khoa học vĩ đại là kết quả của sự ám ảnh, nhưng trong trường hợp của ông, nỗi ám ảnh đó đã bám lấy ông từ lúc ông còn là một đứa bé.
ANDREW WILES: Tôi lớn lên ở Cambridge, Anh quốc, và tình yêu toán học của tôi đã chớm từ những ngày đầu của thời thơ ấu. Tôi yêu thích giải toán ở trường. Tôi thường đem bài về nhà và tự nghĩ ra những đề bài mới. Nhưng bài toán hay nhất mà tôi đã từng tìm thấy, tôi tìm thấy trong thư viện công cộng trong vùng. Tôi lúc đó chỉ đang xem lướt qua khu vực để các sách toán và tôi tìm thấy một cuốn sách này, toàn bộ nói về một bài toán mà thôi -- Định lý Fermat cuối cùng. Các nhà toán học đã không giải được bài toán này trong 300 năm. Nhìn qua, nó rất đơn giản, vậy mà tất cả các nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đã không thể giải được. Đó là một bài toán, mà tôi, một đứa bé 10 tuổi, đã có thể hiểu và tôi đã biết ngay lúc đó rằng tôi không bao giờ bỏ qua được. Tôi phải giải nó.
NOVA: Fermat là ai và định lý cuối cùng của ông ta là gì?
AW: Fermat là một nhà toán học ở thế kỷ 17, người đã viết ghi chú bên lề cuốn sách của ông đưa ra một mệnh đề cụ thể và khẳng định rằng đã chứng minh được. Mệnh đề của ông nói về một phương trình liên quan rất gần với phương trình Pythagoras . Phương trình Pythagoras cho ta: 3^2 + 4^2 = 5^2 .
NOVA: Ông đã bắng đầu tìm kiếm cách chứng minh như thế nào?
AW: Trong thời niên thiếu, tôi cố gắng giải quyết bài toán theo cách mà tôi nghĩ Fermat có lẽ đã làm. Tôi ước đoán là ông ta không biết quá nhiều toán hơn cậu thiếu niên là tôi. Sau đó tôi vào đại học, tôi nhận ra rằng có nhiều người đã nghĩ về bài toán trong suốt thế kỷ 18 và 19 và vì vậy tôi học các phương pháp đó. Nhưng tôi vẫn chẳng đi tới đâu cả. Rồi khi tôi trở thành nhà nghiên cứu, tôi quyết định là tôi nên gác bài toán đó qua một bên. Không phải là tôi quên nó -- bài toán vẫn luôn còn đó -- nhưng tôi nhận ra là những kỹ thuật sẵn có để giải quyết bài toán đã có từ trong vòng 130 năm nay. Không có vẻ gì là những kỹ thuật đó tiếp cận được cốt lõi của bài toán. Vấn đề khi giải FLT là ở chỗ bạn có thể tốn nhiều năm trời không đi tới đâu. Giải bất cứ bài toán nào cũng tốt, miễn là nó sinh ra những vấn đề toán lý thú kèm theo -- cho dù bạn không giải được nội trong ngày đi nữa. Một bài toán được đánh giá là hay dựa trên các vấn đề toán sinh ra hơn là dựa trên bản thân bài toán.
NOVA: Có vẻ như FLT đã được coi là không thể giải được, và các nhà toán học không thể mạo hiểm hao phí để rồi không đi tới đâu. Nhưng rồi vào năm 1986 mọi thứ đã thay đổi. Một bước đột phá bởi Ken Ribet ở University of California at Berkeley đã liên kết FLT với một bài toán chưa giải được khác, đó là giả thuyết Taniyama-Shimura (Taniyama-Shimura conjecture). Ông có nhớ đã phản ứng thế nào trước tin này không?
AW: Đó là một buổi tối cuối mùa hè 1986 khi tôi đang nhấm nháp trà đá (iced tea) ở nhà một người bạn. Trong khi nói chuyện, một cách không chủ ý, người bạn cho tôi hay là Ken Ribet đã chứng minh mối liên hệ giữa Taniyama-Shimura và FLT. Tôi sửng sốt. Ngay lúc đó tôi biết rằng hành trình của đời tôi đã chuyển hướng bởi vì điều đó có nghĩa là để chứng minh FLT, tôi chỉ cần chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura. Điều đó có nghĩa là giấc mơ thời thơ ấu của tôi nay đã là thứ đáng để lao vào. Tôi chỉ biết rằng tôi không thể để điều đó trôi qua.
NOVA: Vậy là, bởi vì Taniyama-Shimura là một bài toán hiện đại, điều này có nghĩa là giải nó, cũng có nghĩa là cố gắng chứng minh FLT, là việc đáng làm.
AW: Đúng vậy. Chưa ai có đường hướng để tiếp cận Taniyama-Shimura nhưng ít nhất nó cũng thuộc toán học dòng chính. Tôi có thể thử và chứng minh các kết quả, mà, cho dù chúng không giải quyết được toàn bộ, cũng có giá trị toán học. Vậy là sự lãng mạn của FLT, điều đeo đẳng cả đời tôi, nay đã kết hợp với một bài toán được chấp nhận một cách chuyên nghiệp.
NOVA: Tại thời điểm đó ông đã quyết định làm việc biệt lập hoàn toàn. Ông đã không nói với bất cứ ai là ông đang tiến hành tìm chứng minh FLT. Tại sao vậy?
AW: Tôi nhận ra rằng bất cứ điều gì liên quan tới FLT tạo ra quá nhiều sự chú ý. Bạn không thể thật sự chuyên tâm hàng năm trời trừ khi bạn có sự tập trung trọn vẹn, quá nhiều khán giả sẽ phá hủy điều đó.
NOVA: Nhưng chừng như ông đã nói cho vợ ông biết ông đang làm gì?
AW: Vợ tôi chỉ quen tôi khi tôi đã đang giải FLT. Tôi nói cho nàng hay trong tuần trăng mật, chỉ vài ngày sau hôn lễ. Vợ tôi đã từng nghe nói tới FLT, nhưng vào lúc đó nàng không biết gì về ý nghĩa lãng mạn của FLT đối với các nhà toán học, rằng nó đã là cái gai trong da thịt chúng tôi nhiều năm đến thế.
NOVA: Hàng ngày, ông đã xây dựng cách chứng minh của ông như thế nào?
AW: Tôi thường đến với nghiên cứu của tôi, và bắt đầu cố gắng tìm kiếm các quy luật. Tôi thử làm các tính toán giải thích một vài khía cạnh toán học nhỏ. Tôi cố thử ép bài toán vào những hiểu biết trừu tượng rộng hơn sẵn có trong vài phần của toán học có thể làm cho bài toán đang làm rõ ràng sáng sủa hơn. Đôi khi phải đi tìm trong sách coi thử người ta đã làm như thế nào. Đôi khi là câu hỏi để sửa đổi các thứ đi một chút, làm thêm vài phép toán. Và có lúc tôi nhận ra rằng không có điều gì đã làm trước đây có chút ích lợi nào cả. Vậy rồi tôi phải tìm cái gì hoàn toàn mới; những cái đó tới từ đâu quả là điều bí ẩn. Tôi đem bài toán theo trong đầu hầu như luôn luôn. Tôi có thể nghĩ tới nó đầu tiên khi thức dậy buổi sáng, tôi có thể nghĩ về nó suốt ngày, và tôi có thể đang nghĩ về nó khi đi ngủ. Nếu không bị phân tâm, cùng một thứ có thể xoay tới xoay lui trong trí của tôi. Cách duy nhất để thư giãn là khi tôi cùng với các con. Bọn trẻ đơn giản là chẳng hề quan tâm tới Fermat. Chúng chỉ muốn nghe kể chuyện và sẽ chẳng để bạn làm gì khác.
NOVA: Thường thường người ta làm việc theo nhóm và được hỗ trợ bởi những người trong nhóm. Ông đã làm gì khi bị bế tắc?
AW: Khi tôi bị kẹt và không biết phải làm gì tiếp theo, tôi sẽ ra ngoài đi dạo. Tôi thường đi dạo xuống gần hồ. Dạo chơi có một tác dụng rất tốt giúp bạn ở trạng thái thư giãn, nhưng cùng lúc đó cho phép tiềm thức hoạt động. Và thường thường nếu bạn có cái gì đó loé lên trong đầu thì lại không có cái gì để viết hay bàn viết. Tôi luôn có sẵn viết chì và giấy và, nếu tôi thật sự có một ý tưởng, tôi sẽ ngồi xuống một băng ghế và viết vội ra.
NOVA: Vậy là trong 7 năm trời ông đã theo đuổi chứng minh này. Chắc là có những khi thoái chí xen lẫn với những lúc thành công.
AW: Có lẽ tôi có thể mô tả tốt nhất kinh nghiệm nghiên cứu toán học của tôi theo hình ảnh của một chuyến hành trình qua một lâu đài tối tăm chưa được thám hiểm. Bạn bước vào căn phòng đầu tiên của tòa nhà và nó tối mịt mùng. Bạn dò dẫm xung quanh vấp đụng vào bàn ghế, nhưng dần dần bạn biết đuợc từng món tủ giường bàn ghế nằm đâu. Cuối cùng, sau 6 tháng hay cỡ đó, bạn tìm ra cái công-tắc đèn, bạn bật lên, và bỗng nhiên mọi thứ đều sáng rõ. Bạn có thể thấy chính xác bạn đang ở chỗ nào. Thế rồi bạn đi vô căn phòng kế tiếp và mất 6 tháng nữa trong bóng tối. Như vậy mỗi một bước đột phá, mặc dù đôi khi chỉ trong thoáng chốc, đôi khi mất một hai ngày, chúng là những đỉnh điểm của -- và không thể tồn tại nếu không có -- thời gian nhiều tháng trời mò mẫm loanh quanh trong bóng tối dẫn tới những đột phá đó.
NOVA: Và trong suốt 7 năm, ông đã không bao giờ có thể chắc chắn việc tìm được một chứng minh trọn vẹn.
AW: Tôi thật sự tin rằng tôi đã đi đúng hướng, nhưng điều đó không có nghĩa là tôi nhất thiết có thể đạt được mục đích. Vẫn có thể là các phương pháp cần thiết để tiến hành bước tiếp theo đơn giản là ngoài tầm toán học hiện thời. Cũng có thể các phương pháp tôi cần để hoàn tất chứng minh vẫn chưa được phát minh trong vòng trăm năm nữa. Như vậy cho dù tôi đi đúng hướng chăng nữa, tôi vẫn có thể sinh lầm thế kỷ.
NOVA: Vậy rồi cuối cùng vào năm 1993, ông đã làm được bước đột phá quyết định.
AW: Phải, đó là một buổi sáng cuối tháng 5. Vợ tôi, Nada, ở ngoài với bọn trẻ và tôi ngồi nơi bàn làm việc suy nghĩ về bước cuối cùng của chứng minh. Tôi lúc đó đang ngó lướt qua bài nghiên cứu của tôi và có một câu làm tôi chú ý. Câu đó nhắc tới một công trình vào thế kỷ 19, và tôi bỗng nhiên nhận ra là tôi có thể dùng điều đó để hoàn tất chứng minh. Tôi tiếp tục cho tới chiều và tôi quên đi xuống ăn trưa, và vào khoảng 3 hay 4 giờ chiều, tôi đã thật sự tin tưởng là điều đó giải quyết được vấn đề còn lại. Lúc đó vào cữ trà chiều và tôi xuống nhà và Nada rất ngạc nhiên vì tôi xuống trễ vậy. Thế rồi tôi nói với nàng là tôi đã giải được FLT.
NOVA: Báo New York Times kêu lên "At Last Shout of 'Eureka!' in Age-Old Math Mystery," nhưng họ không biết, và ông cũng chưa biết, đã có chỗ sai trong chứng minh của ông. Chỗ sai đó là gì?
AW: Đó là chỗ sai trong một phần lý luận quan trọng, nhưng nó tinh tế tới nỗi tôi đã hoàn toàn bỏ sót cho tới lúc đó. Lỗi sai rất trừu tượng khó có thể mô tả bằng cách diễn đạt thông thường. Ngay cả việc giải thích nó cho một nhà toán học cũng đòi hỏi người đó phải bỏ ra hai ba tháng nghiên cứu rất kỹ lưỡng phần đó trong bản thảo.
NOVA: Cuối cùng, sau một năm làm việc, và sau khi mời nhà toán học Richard Taylor ở Cambridge tới cùng làm việc với ông về chỗ sai, ông đã sửa chữa ổn thoả chứng minh. Mọi người muốn hỏi điều này: chứng minh của ông có giống như chứng minh của Fermat không?
AW: Không có chút khả năng nào. Fermat không bao giờ có thể có chứng minh này. Nó dài 150 trang. Nó là một chứng minh của thế kỷ 20. Nó không thể được làm thậm chí ở thế kỷ 19, chứ chưa nói là thế kỷ 17. Các kỹ thuật dùng ở đây đơn giản là không hề có ở thời Fermat.
NOVA: Vậy thì chứng minh nguyên thuỷ của Fermat vẫn còn đâu đó chưa tìm ra.
AW: Tôi không tin Fermat có cách chứng minh. Tôi nghĩ ông tự dối lòng khi nghĩ rắng ông có cách chứng minh. Nhưng điều làm cho bài toán này đặc biệt đối với dân không chuyên là có một khả năng rất nhỏ rằng thật sự có tồn tại một chứng minh đẹp thời thế kỷ 17.
NOVA: Như vậy một số nhà toán học sẽ tiếp tục tìm kiếm chứng minh nguyên thuỷ. Còn ông sẽ làm gì tiếp theo?
AW: Không có bài toán nào sẽ mang cùng ý nghĩa như vậy đối với tôi nữa. Fermat là niềm đam mê thời thơ ấu của tôi. Không gì thay thế được. Tôi sẽ thử các bài toán khác. Tôi chắc rằng một số bài sẽ rất khó và tôi sẽ lại có được cảm giác thành tựu, nhưng không gì sẽ có ý nghĩa như thế nữa. Không có bài toán nào khác có thể bám chặt lấy tôi như bài này. Có cảm giác u sầu. Ta đã mất điều gì đó đã ở bên ta quá lâu, và điều gì đó đã cuốn hút nhiều người vào toán học. Nhưng có lẽ điều đó luôn xảy ra với các bài toán, và ta chỉ phải tìm những bài mới để lôi cuốn sự chú ý của chúng ta. Người ta nói với tôi rằng tôi đã lấy mất bài toán của họ -- tôi có gì khác để trả lại không? Tôi cảm thấy có trách nhiệm. Tôi hy vọng rằng khi nhìn thấy sự phấn khích của việc giải bài toán này sẽ làm cho các nhà toán học trẻ nhận ra rằng có rất nhiều và rất nhiều những bài khác trong toán học cũng sẽ đầy thách thức trong tương lai.
NOVA: Thách thức chính hiện nay là gì?
AW: Bài toán lớn nhất đối với các nhà toán học hiện nay có lẽ là Giả Thuyết Riemann (Riemann Hypothesis). Nhưng bài toán này không thể trình bày một cách đơn giản.
NOVA: Và giờ đây FLT đã được giải quyết, ông có suy nghĩ gì?
AW: Chắc chắn một điều tôi đã học được là chọn một bài toán dựa trên mức độ quan tâm của bạn rất quan trọng. Dù cho nó có vẻ khó xuyên thủng đến thế nào, nếu bạn không thử làm, thì bạn chẳng bao giờ làm được. Hãy luôn thử làm những bài toán có nhiều ý nghĩa nhất với bạn. Tôi đã có đặc ân hiếm hoi này để có thể theo đuổi trong đời tôi khi trưởng thành, cái đã là giấc mơ thời thơ ấu. Tôi biết rằng nó là một đặc ân hiếm hoi, nhưng nếu ai đó có thể thật sự đạt được điều gì đó trong cuộc đời trưởng thành mà có ý nghĩa đến thế, thì nó đáng làm hơn bất cứ điều gì tôi có thể tưởng tượng.
NOVA: Và bây giờ cuộc hành trình đã chấm dứt, chắc là có nỗi buồn nào đó?
AW: Có một cảm giác buồn buồn, nhưng cùng lúc đó có một cảm giác lớn lao về sự thành tựu. Cũng có cảm giác tự do. Tôi đã bị ám ảnh bởi bài toán này khiến tôi phải nghĩ về nó mọi lúc -- sáng khi thức dậy, tối khi đi ngủ -- và điều đó tiếp diễn trong 8 năm trời. Thật là một thời gian dài để suy nghĩ về chỉ một thứ. Cuộc phiêu lưu đó giờ đã hết. Tâm trí tôi bây giờ đuợc nghỉ ngơi.
Nguồn : https://sites.google.com/site/nguyentuthang/toan-hoc/noi-chuyen-wiles
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
