Phần 5 . Fe - Ka (22-32)
Lời nói đầu .
Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG " được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .
Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :
Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong
Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online) hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .
Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .
Trần hồng Cơ
Ngày 18 /05/ 2014 .
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Xin chào các bạn , trong phần 4 trước đây chúng ta đã khảo sát và thực hành đồ họa các đường cong từ Co đến Eq ( 11 - 21 ) bằng GP và GX . Cũng trong mục II của bài viết đó chúng ta đã nắm được một số lệnh và tùy chọn cho trình ứng dụng Maple V . Trong phần 5 này chúng ta sẽ tìm hiểu các khái niệm xây dựng đường cong , sử dụng GP , GX hoặc wxM vẽ đồ thị và bổ sung chi tiết các lệnh đồ họa của Maple V .
Đối với độc giả có ý thích nghiên cứu sâu thêm nền tảng toán học phần lưu trữ ở cuối mỗi tiểu mục chứa những tài liệu , hình ảnh minh họa và những tập tin multimedia về các đường cong .
I . Vẽ đồ thị các đường cong từ Fe - Ka [22 - 32] bằng trình ứng dụng .
1.1 Fermat’s Spiral (Đường xoắn ốc Fermat) [22]
A . Khái niệm .
Đường xoắn ốc Fermat còn có tên gọi là đường xoắn ốc parabolic , nó là dạng đặc biệt của đường cong xoắn ốc Archimedes có phương trình tổng quát là
$ r = \theta^m$
Các trường hợp đặc biệt ( xem hình )
m = -1 ta có đường xoắn ốc hyperbolic [xanh]
m = -1/2 ta có đường xoắn ốc lituus [đỏ]
m = 1/2 ta có đường xoắn ốc Fermat [xanh cây]
m = 1 ta có đường xoắn ốc Archimedes [tím]
Đối với đường xoắn ốc Fermat với giá trị θ > 0 , hàm có hai giá trị tương ứng của r, có cùng trị tuyệt đối và đối dấu . Đường xoắn ốc sẽ đối xứng qua đường phân giác thứ hai y = – x
Khi chọn cực là tâm nghịch đảo , đường nghịch đảo của Spiral Fermat, cũng là một đường xoắn ốc có phương trình $r^2=\frac{a^2}{ \theta }$
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/21036
Từ phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2 = θ.a^2$ với $ \theta > 0$ ta có $r = a. θ^{1/2}$ ( đồ thị màu đỏ ) và $r = - a. θ^{1/2}$ ( màu xanh ) như sau
+Chiều dài cung $S(\theta)=a \sqrt{\theta}_2F_1(-1/2,1/4,5/4,-4 \theta^2)$
với $_2F_1(a,b;c;x)$ là hàm siêu hình học .
Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho
+Độ cong $C(\theta)= 2/a . \sqrt{\theta}.(3+4\theta^2)/(1+4.\theta^2)^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/7YsdObdK9YE
B. Phương trình .
$r^2 = θ.a^2$
r^2 = θ*a^2
Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a. \sqrt{t}cost ; y = a. \sqrt{t}sint$
x = a*sqrt(t)*cos(t) ; y = a*sqrt(t)sin(t)
Phương trình dạng ẩn của đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y/x=tan\left ( \frac{x^2+y^2}{a^2} \right )$
Dùng GX nhập liệu r= a*sqrt(t)
Thực hành :
r= 1/2*sqrt(t)
r= 1*sqrt(t)
r= 2*sqrt(t)
r= 3*sqrt(t)
Lưu trữ :
1.2 Folium (Đường hình lá) [23]
A . Khái niệm .
Phương trình tổng quát của đường hình lá
$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + bx) = 4a.xy^2$
Ba dạng đặc biệt là đường lá đơn, lá đôi và lá ba, tương ứng với b = 4a, b = 0, b = a
( xem phần 4 -I- 1.5 )
Đường hình lá có bậc là 4 , diện tích được tính bởi công thức
$ S = \pi /4 (2a^2 - 2ab +b^2)$
Đường hình lá chính là đường pedal của đường cong deltoid ( xem hình dưới ) , với O là tâm của pedal và deltoid có tâm A(a,b) và đỉnh là B(a - 3r,b) trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp deltoid . Phương trình deltoid có dạng tham số
$x = a - r(cos2t+2cost) ; y = b + r(sin2t - 2sint)$
+ Đường lá đơn b = 4a , khi đó phương trình trong hệ tọa độ cực là
$r = -4a.cos^3θ$
Độ cong
$C(\theta) = -a/2 .cos^3θ(1+ 8sin^2θ)^{3/2}/(1+2sin^2θ)$
Diện tích
$ S =5 \pi .a^2 /2 $
Chiều dài cung
$L(\theta) =8a\int_{0}^{\pi}cos^2\theta \sqrt{1+8sin^2\theta }d\theta $
Công thức gần đúng $L \approx 5.161 a $
+ Đường lá đôi b = 0 , phương trình trong hệ tọa độ cực là
$ r = 4acosθ.sin^2θ$
Diện tích
$ S = \pi .a^2 /2 $
Chiều dài cung
Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho
Công thức gần đúng $L \approx 7.155 a $
Độ cong
$C(\theta)=\frac{[3+3cos2\theta +cos4\theta]csc\theta}{a\sqrt{2}[3+3cos2\theta +2cos4\theta]^{3/2}}$
+ Đường lá ba b = a , phương trình trong hệ tọa độ cực là
$ r = -acos3θ$
Diện tích
$ S = \pi .a^2 /4 $
Chiều dài cung
$ L = 2a.E(2 \sqrt{2}i)$
Công thức gần đúng $L \approx 6.682 a $
Độ cong
$C(\theta )=\frac{14-4cos6\theta}{a(5-4cos6\theta)^{3/2}}$
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/108437
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/107757
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/10873
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/KWvfvkj9DPI
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2 + bx) = 4a.xy^2$
(x^2 + y^2)*(x^2 + y^2 + b*x) = 4*a*x*y^2
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = cos^2t(4asin^2t - b) ; y = sintcost(4asin^2t - b)$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = − b.cosθ + 4acosθ.sin^2θ$
r = − b*cos(θ) + 4*a*cos(θ).sin(θ)^2
Dùng GP nhập liệu r = − b*cos(t) + 4*a*cos(t).sin(t)^2
Thực hành :
r = -4*cos(t) + 4*cos(t)*sin(t)^2 ( a = 1 , b = 4a = 4 ) [ folium đơn : xanh ]
r = 4*cos(t)*sin(t)^2 ( a = 1 , b = 0 ) [ folium đôi : đỏ ]
r = -cos(t) + 4*cos(t)*sin(t)^2 ( a = b = 1 ) [ folium ba : xanh cây ]
Lưu trữ :
1.3 Folium of Descartes (Đường hình lá Descartes) [24]
A . Khái niệm .
Phương trình đường cong dạng tham số :
$x = 3at/(1+t^3) ; y = 3at^2/(1+t^3) $
+Folium có một đường tiệm cận x + y + a = 0.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm $t = p$ là $p(p^3 − 2)x + (1 − 2p^3)y + 3ap^2 = 0$
Đường cong đi qua gốc O lần thứ nhất tại t = 0 và tiến về gốc O lần thứ hai khi t tiến ra vô cực .
+Độ cong $C(t )=\frac{2(1+t^3)^4}{3(t^8+4t^6-4t^5-4t^3+4t^2+1)^{3/2}}$
+Diện tích vòng lặp là
$S=\frac{1}{2}\int r^2d\theta$ hay $S = 3/2a^2$ ( xem hình )
+Chiều dài cung của vòng lặp $L \approx 4.917 a$
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/29539
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/113142
Các đường liên hợp :
Xem http://youtu.be/XxnhQBeI2a8
B. Phương trình .
$x^3 + y^3 = 3a.xy$
x^3 + y^3 = 3*a*x*y
Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = at/(1+t^3) ; y = 3at^2/(1+t^3)$
x = a*t/(1+t^3) ; y = 3*a*t^2/(1+t^3)
Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ cực
$r^2=(1+t^2)\left ( \frac{3at}{1+t^3} \right )^2$
$\theta=arctan(t)$
phương trình tiếp tuyến x + y + a = 0 [ với a = 1 , 2 , ... ]
Lưu trữ :
1.4 Freeth’s Nephroid (Đường cong Nephroid Freeths) [25]
Đường cong Freeth nephroid có thể xem là trường hợp đặc biệt của một Strophoid có phương trình trong hệ tọa độ cực tổng quát là
Tương ứng với đường cong khởi xuất $\Gamma_0$ là đường tròn tâm A , điểm O cố định và điểm P ( khác O ) trên đường tròn . Đường thẳng (d) di động qua A , quỹ tích những điểm M sao cho PO = PM chính là Freeth nephroid .
Freeth nephroid cũng là đường cong pedal của một cardioid có phương trình
hoặc bằng phương pháp tham số hóa Freeth nephroid cũng là đường cong thuộc họ tritrochoid .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a[1+2sin(θ/2)]$
+Diện tích giới hạn bởi đường biên ngoài là
$S=(3 \pi +8) a^2$
+Chiều dài cung là
$L= 8/3 \sqrt{3}a . [3E(k)-3K(k)+4 \Pi(-1/3,k)]$
với $ k = \sqrt{2/3}$ , $E(k)$ và $K(k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 1 và 2 . $ \Pi(-1/3,k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 3 .
( xem HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho )
+Công thức gần đúng $L \approx 21.203 a $
+Độ cong
$C(\theta )=\sqrt{2}\frac{[9-3cos \theta + 9sin(\theta/2)]}{[7-3cos\theta +8sin(\theta/2)]^{3/2}}$
Các đường liên hợp :
Xem http://youtu.be/BghxtYpYaJ4
B. Phương trình .
$r = a[1+2sin(θ/2)]$
r = a*(1+2*sin(θ/2))
Nhập liệu bằng Maple V r = a*(1+2*sin(t/2))
plot(1*(1+2*sin(t/2)),t=-4*Pi..4*Pi,coords=polar);
Thực hành với a = 1,2,3
plot([1*(1+2*sin(t/2)),2*(1+2*sin(t/2)),3*(1+2*sin(t/2))],t=-4*Pi..4*Pi,coords=polar);
Lưu trữ :
1.5 Frequency Curve (Đường cong tần số) [26]
A . Khái niệm .
Đường cong tần số minh họa một trong những hàm phân phối phổ biến nhất , đặc biệt trong lý thuyết sai số , còn được gọi là đường cong chuẩn tắc , sai số chuẩn tắc , đường cong tần số .
Nhà toán học de Moivre phát hiện ra đường cong này năm 1733 tuy nhiên nó cũng đã được Laplace và Gauss tìm thấy khi nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau về lý thuyết xác suất và phép tính sai số .
Trong xác suất , các phân phối tương ứng với đường cong tần số còn có tên là
-Phân phối de Moivre
-Phân phối Gauss
-Phân phối Gauss-Laplace .
Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn với trung bình $\mu$ và độ lệch chuẩn $\sigma$ ( là một ví dụ về hàm Gauss ) , có biểu diễn như sau
$f(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi }}exp[-(x-\mu)^2/{2\sigma^2}]$
Khi $\mu =0$ và $\sigma = 1$ , phân phối được gọi là phân phối chuẩn và hàm mật độ xác suất rút gọn thành $f(x;0,1)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}exp[-x^2/{2}]$
 |
| Nguồn : http://vi.wikipedia.org/wiki/Phân_phối_chuẩn |
Hàm phân phối tích lũy (cdf) chính là xác suất để một biến ngẫu nhiên X có giá trị nhỏ hơn hay bằng x , được biểu diễn bởi :
$F(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi }}\int_{-\infty}^{x}exp[-(t-\mu)^2/{2\sigma^2}]dt$
$f(x;0,1) \approx \sqrt{2}.[1-x^2/2+x^4/8-x^6/48+...-...]$
+Chiều dài cung
$ L(x) \approx -1.1486+1.3183.x+0.0008541(x-1)^2-0.1863(x-1)^3+0.0459(x-1)^4 $
với $x \in (0,1) $
+Độ cong $C(x) = \sqrt{2}.e^{-x^2/2}. |x^2-1|/[1+2.x^2.e^{-x^2}]^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và 2 cận $a= -m ,b= m $ là
$S =2 \sqrt{\pi}.erf(m \sqrt{2}/2)$
Khi m tiến ra vô cực ta có$ L(x) \approx -1.1486+1.3183.x+0.0008541(x-1)^2-0.1863(x-1)^3+0.0459(x-1)^4 $
với $x \in (0,1) $
+Độ cong $C(x) = \sqrt{2}.e^{-x^2/2}. |x^2-1|/[1+2.x^2.e^{-x^2}]^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và 2 cận $a= -m ,b= m $ là
$S =2 \sqrt{\pi}.erf(m \sqrt{2}/2)$
Các đường liên hợp :
Xem http://youtu.be/A4gS_y4AQdw
B. Phương trình .
$y = \sqrt{2}exp(-x^2/2)$
y = sqrt(2)*exp(-x^2/2)
Nhập liệu bằng Maple V
plot(sqrt(2)*exp(-x^2/2),x=-infinity..infinity);
Nhập liệu bằng GP
y = sqrt(2)*exp(-x^2/2)
1.6 Hyperbola (Đường cong Hyperbole) [27]
A . Khái niệm .
Cho hai điểm cố định F1 , F2 trong mặt phẳng Oxy , quỹ tích các điểm M trong mặp phẳng Oxy thỏa mãn
$MF1-MF2=2a$ là đường hyperbola
Cho đường thẳng (D) và điểm F cố định trong mặt phẳng , quỹ tích các điểm M chạy trong mặt phẳng sao cho $\frac{MF}{MH}=e$ là một hyperbola , trong đó $MH= d[M,(D)]$ là khoảng cách từ M đến (D) .
Hyperbola cũng là một đường cong trong họ conic , là giao tuyến của một hình nón đôi và mặt phẳng song song với trục chính đi qua đỉnh .
$(x-x_{0})^2/a^2 - (y-y_{0})^2/b^2 = 1$ với $b^2 = c^2 - a^2$
Đường pháp bao ngoài của hyperbola với phương trình chính tắc trên là đường cong Lame :
$(ax)^{2 / 3} − (by)^{2 / 3} = (a + b)^{2 / 3}$
Tham số hóa đường hyperbola có dạng $x = a.sect ; y = b.tant$ , khi đó
+Chiều dài cung $L(t)=-ib.E(it,c/b)$ với $E(\phi,k)$ là tích phân elliptic loại 2 .
+Độ cong $C(t)=-ab/(a^2sinh^2t+b^2cosh^2t)^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/46702
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/70902
Các đường liên hợp :
Xem http://youtu.be/r6RyGBdrJ4U
B. Phương trình .
$x^2/a^2 - y^2/b^2=1$
x^2/a^2 - y^2/b^2=1
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a.sect ; y = b.tant$
x = a*sec(t) ; y = b*tan(t)
Nhập liệu bằng GX với a = 5 , b = 3
plotimplicit(x^2/25-y^2/9=1,[x=-5..5,y=-5..5],xstep=0.25,ystep=0.25,display=magenta+filled)
hoặc
plotparam([5*sec(t),3*tan(t)]
,t=-3.14..3.14,tstep=0.1,display=magenta+filled)
1.7 Hyperbolic Spiral (Đường xoắn ốc Hyperbolic) [28]
A . Khái niệm .
Đường xoắn ốc hyperbolic mô tả quan hệ tỷ lệ nghịch giữa bán kính cong r và góc quay θ .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực $r = a/ θ$
Bằng cách tham số hóa ta có được phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes
Nếu điểm cực là tâm của phép nghịch đảo, thì đường xoắn ốc hyperbolic r = a / θ đảo ngược thành đường xoắn ốc Archimedes r = aθ.
+Chiều dài cung
$L(\theta) = a/ \theta. [- \sqrt{\theta^2+a^2}+ \theta.ln(\theta+ \sqrt{\theta^2+a^2})]+a. \sqrt{2} - a.ln(a+a. \sqrt{2})$
+Độ cong $C(\theta)=\theta^4/[a.(1+\theta^2)^{3/2}]$
+Chu vi
+Diện tích
Xem chi tiết https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/53500
Xem chi tiết https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/47337
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/Gx9Bbq-7B-U
B. Phương trình .
$r = a/ θ$
r = a/ θ
Nhập liệu bằng GX với a = 1
plotpolar(1/t,t=0..10*3.14,tstep=0.1,display=red+filled)
hoặc
plotparam([cos(t)/t,sin(t)/t]
,t=0..10*3.14,tstep=0.1,display=blue+filled)
1.8 Hypocycloid (Đường cong Hypocycloid) [29]
A . Khái niệm .
Họ gồm 4 đường cong epicycloid, epitrochoid, hypocycloid và hypotrochoid và đều được vẽ từ một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính cố định a. Đối với các hypocycloid , có đồ thị như trên tương ứng với tỷ số a/b , đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong vòng tròn bán kính a. P là điểm trên chu vi của vòng tròn bán kính b .
Trong hệ tọa độ Descartes phương trình hypocycloid có dạng :
$x = (a-b)cost + b.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sint - b.sin(a/b-1)t$
+Chiều dài cung $L(t)= \frac{8ab-8b^2}{a}.sin^2[at/(4b)]$
+Độ cong $C(t)= \frac{2b-a}{4ab-4b^2}.csc[at/(2b)]$
+Chu vi
+Diện tích
Khi $a/b = n $ với $n \in N$ ta được hypocycloid có n đỉnh
Khi $a/b = k $ với $k \in Q$ ta được hypocycloid tự đóng , có a đỉnh nhọn hướng ngoại .
Khi $a/b = h $ với $h \in R \ Q$ ta được hypocycloid không tự đóng .
Trình Java dưới đây minh họa Epicycloid và Hypocycloid. Dùng mouse di chuyển các thanh màu vang, tím, xanh và xanh cây để xem đồ thị các đường cong tương ứng.
Nguồn: http://www.carloslabs.com/projects/200805B/index.html
Một cơ cấu truyền động ứng dụng hypocycloid .
Xem chi tiết https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/20412
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/Cs7m-XsucZo
B. Phương trình .
$x = (a-b)cost + b.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sint - b.sin(a/b-1)t$
x = (a-b)*cos(t) + b*cos((a/b-1)*t)
y = (a-b)*sin(t) - b*sin((a/b-1)*t)
Nhập liệu bằng Maple V
Thực hành với
a:=5;b:=3;
> plot([(a-b)*cos(t) + b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - b*sin((a/b-1)*t),t=-10*Pi..10*Pi]);
a:=1;b:=7;
> plot([(a-b)*cos(t) + b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - b*sin((a/b-1)*t),t=-10*Pi..10*Pi]);
> plot([(a-b)*cos(t) + b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - b*sin((a/b-1)*t),t=-10*Pi..10*Pi]);
a:=sqrt(2);b:=sqrt(3);
> plot([(a-b)*cos(t) + b*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - b*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);
A . Khái niệm .
Xét một điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt bên trong một đường tròn bán kính a cố định . Đối với hypotrochoid , đường tròn bán kính b cuộn vào bên trong đường tròn bán kính a. P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của vòng tròn bán kính b .
Phương trình tham số của đường cong
$x = (a-b)cost + c.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sin(t) - c.sin(a/b-1)t$
Khi điểm P nằm trong đường tròn bán kính b ta có đồ thị hypotrochoid như sau , các đỉnh nhọn nằm trên đường tròn bán kính a .
Khi điểm P nằm ngoài đường tròn bán kính b ta có đồ thị hypotrochoid như sau , các vòng loop nằm trên đường tròn bán kính a .
Khi $c=0$ ta có đường tròn .
Khi $ c = b$ ta có đường cong hypocycloid .
Khi $a = 2b$ ta có ellipse .
Khi $a =2nc/(n+1) , b =(n-1)c/(n+1)$ ta có đường bông hồng ( rose ) .
Ví dụ hồng 3 cánh , hồng 4 cánh , hồng 8 cánh .
Khi $a/2 = b = c$ ta có đường thẳng có chiều dài là 2a .
Khi $a/2 = b \neq c $ ta có ellipse nhỏ. hoặc ellipse lớn
Khi $a/3 = b = c$ ta có deltoid nhỏ hoặc deltoid lớn .
Khi $a/4 = b = c$ ta có astroid nhỏ hoặc astroid lớn .
+Chiều dài cung
$L(t)=2|a-b||b-c|.E( \frac{at}{2b}, \frac{2i \sqrt{bc}}{|b-c|})$
+Độ cong
$C(t)= \frac{b^3+(b-a)c^2+(a-2b)bc.cos(at/b)}{|a-b|[b^2+c^2-2bc.cos(at/b)]^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích
Xem chi tiết : https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/87150
Xem chi tiết https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/87150
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/Izgee68YHxs
B. Phương trình .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a-b)cost + c.cos(a/b-1)t$
$y = (a-b)sin(t) - c.sin(a/b-1)t$
x = (a-b)*cos(t) + c*cos((a/b-1)*t)
y = (a-b)*sin(t) - c*sin((a/b-1)*t)
a:=sqrt(3);b:=sqrt(2);c:=1/13 ;
> plot([(a-b)*cos(t) + c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);
a:=1;b:=7/13;c:=5/13 ;
> plot([(a-b)*cos(t) + c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);
a:=sqrt(2);b:=sqrt(3);c:=sqrt(5)/13 ;
> plot([(a-b)*cos(t) + c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);
a:=sqrt(3);b:=7/5;c:=5/13 ;
> plot([(a-b)*cos(t) + c*cos((a/b-1)*t),(a-b)*sin(t) - c*sin((a/b-1)*t),t=-50*Pi..50*Pi]);
1.10 Involute of a Circle (Đường pháp bao trong của đường tròn) [31]
A . Khái niệm .
Một định nghĩa hình học : đường pháp bao trong của một đường tròn là quỹ tích tạo ra bởi một điểm trên một đường thẳng cuộn xung quanh đường tròn đó . Từ điểm M nằm trên đường tròn (C) và điểm P thuộc đầu kia của dây ; khi M chạy trên đường tròn (C) sao cho dây luôn được luôn kéo căng về phía P đồng thời là tiếp tuyến tại M . Quỹ tích điểm P là đường pháp bao trong của đường tròn (C) .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$x = a(cost+tsint)$
$y = a(sint - tcost)$
Ứng dụng :
Leonhard Euler đề xuất sử dụng đường pháp bao trong của đường tròn cho hình dạng răng cưa của bánh răng toothwheel, một trong những ứng dụng phổ biến hiện nay, được gọi là bánh răng trong.Mô hình chuyển động bánh răng như sau . Lực cuốn (hình mũi tên ) luôn tiếp xúc với 2 đường tròn bên .
+Chiều dài cung $L(t)= \frac{1}{2}at^2$
+Độ cong $C(t)= \frac {1}{at}$
+Chu vi
+Diện tích
Xem chi tiết
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/87736
Xem chi tiết
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/47407
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/jXMEY5h84uw
B. Phương trình .
$x = a(cost+tsint)$
$y = a(sint - tcost)$
x = a*(cos(t)+t*sin(t))
y = a*(sin(t)-t*cos(t))
Nhập liệu bằng wxM
plot2d([['parametric, 2*(cos(t)+t*sin(t)), 2*(sin(t)-t*cos(t)), [t, 0, 15], [nticks, 300]]], [x,-25,35], [y
,-80,80])$
Nhập liệu bằng Maple V ( hình động )
ani:=animate( [2*(cos(t/u)+t/u*sin(t/u)),2*(sin(t/u)-t/u*cos(t/u)),u=1..12],t=0..6*Pi, view=[-50..40,-50..40],color=red,frames=80,style=point,numpoints=600,symbol=circle):
> invo:=plot([2*(cos(t)+t*sin(t)),2*(sin(t)-t*cos(t)),t=0..6*Pi],color=green,thickness=1,style=line):
> display(ani,invo);
A . Khái niệm .
Đây là đường cong được Eudoxus xứ Cnidus nghiên cứu liên quan đến bài toán cổ điển về nhân đôi khối lập phương. Bài toán Hy Lạp cổ nổi tiếng có nội dung như sau :
Những cư dân thành phố Delos -thuộc Hy Lạp - thời xưa lập một bàn thờ khối vuông với mục đích tôn vinh thần Apollo. Để thành phố thoát khỏi bệnh dịch hạch đang lan tràn , một nhà tiên tri đã yêu cầu việc xây dựng một bàn thờ mới lớn gấp hai lần thể tích . Hãy tìm số đo của cạnh khối vuông mới này .
Lời giải đại số :
Gọi cạnh hình lập phương cũ là $d_{1}$ , thể tích cũ là $V_{1} = d_{1}^3$ . Thể tích $V_{2}$ của hình lập phương mới gấp hai lần $V_{1}$ nên $V_{2} = 2V_{1} = 2c^3$ . Ta có thể viết lại như sau $V_{2} = ( c. 2^{1/3}) ^3 = d_{2}^3 $
Như vậy cạnh hình lâp phương mới là $d_{2} = c.2^{1/3}$
Quỹ tích :
Xét đường tròn (C) tâm O(0,0) và điểm P trên (C) . Dựng tiếp tuyến với (C) tại P , tiếp tuyến này cắt trục Ox tại Q . Từ Q dựng tia vuông góc với Ox cắt tia OP tại M . Khi P chạy trên (C) , quỹ tích của M là đường Kampyle Eudoxus ( xem hình ) . Khi đó phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$a^2x^4 = b^4(x^2 + y^2)$
Liên quan bài toán nhân đôi lập phương :
Xét đường Kampyle Eudoxus , dựng đường tròn tâm $C(a/ \sqrt{2} , 0)$ đi qua tâm O có phương trình tọa độ cực là $r = a \sqrt{2} cos \theta$ .Đường tròn này cắt đường Kampyle Eudoxus ở điểm Q , ta có
$OQ = a .2^{1/3}$ . Độ dài này tương tự như cạnh của khối lập phương gấp đôi thể tích (xem hình ) .
Phương trình đường Kampyle Eudoxus trong hệ tọa độ cực : $r = \frac{ b^2}{a.cos^θ}$
Được rút gọn thành $r = m.sec^2 \theta $ và dạng tham số trong hệ tọa độ Descartes là
$x= a.sect$
$y=a.tant.sect$ với $t \in [- \frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$
+Chiều dài cung $L(t)= \frac{1}{4}[arcsin(2tant)+2tant. \sqrt{1+4tan^2t}]$
+Độ cong $C(t)= \frac{1-3cos2t}{2(1+4tan^2t)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/E7tGQ4a0ImE
B. Phương trình .
$a^2x^4 = b^4(x^2 + y^2)$
a^2*x^4 = b^4*(x^2 + y^2)
Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$x= a.sect$
$y=a.tant.sect$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = b^2/(a*cos^2θ)$
r = b^2/(a*cos(θ)^2)
Nhập liệu bằng GP
Thực hành với a = 1/2 , a = 1 , a = 2
x= 0.5*sec(t) ;y= 0.5*tan(t)*sec(t) [ đỏ ]
x= sec(t) ;y= tan(t)*sec(t) [ xanh ]
x= 2*sec(t) ;y= 2*tan(t)*sec(t) [ xanh cây ]
II . Các lệnh đồ họa trong trình ứng dụng Maple .
Dưới đây là nội dung tiếp theo mục II - phần 4 trình bày các thủ tục và các tùy chọn đồ họa 2D của trình ứng dụng Maple V .
2.1 Đồ thị 2D .
2.1.3 Hàm ẩn F(x,y) = C .
a. Cấu trúc lệnh .
> implicitplot (expr, x = a .. b, y = c .. d, <options>)
> implicitplot (f, a .. b, c .. d, <options>)
Các thông số:
f - phương trình cần vẽ
expr - biểu thức phương trình theo x và y
a, b, c, d - hằng số thực
options - các tùy chọn như sau :
+axes ( trục ) : { FRAME, BOXED, NORMAL, NONE }
+axesfont = l (tên trục)
+labels = [x, y] Tùy chọn này xác định nhãn cho các trục. Các giá trị của x và y ở dạng chuỗi.
Tên trục : labels = [ ` ` , ` ` ]
Tựa đề : title = ` `
+discont = s
+font = ( chọn font chữ gồm có TIMES, COURIER, HELVETICA, and SYMBOL.
Với định dạng TIMES các quy cách là ROMAN, BOLD, ITALIC , BOLDITALIC.
Với định dạng HELVETICA và COURIERcác quy cách là BOLD, OBLIQUE, BOLDOBLIQUE.
b. Các ví dụ .
with(plots):
> implicitplot(x^2 + y^2 = 1,x=-1..1,y=-1..1); # Vẽ đường tròn gốc O bán kính 1 .
> implicitplot({x^2 - y^2 = 1,y = exp(x)},x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green); # Vẽ đồ thị hyperbola và hàm mũ trong cùng hệ trục tọa độ .
- Lệnh implicit có thể thực hiện vẽ nhiều đồ thị trên cùng hệ trục cho các hàm bất kỳ kể cả tuần hoàn .
Ví dụ :
>implicitplot({x-6*sin(12*x)*sin(12*y)=0,y^3+3*cos(12*x)*cos(12*y)=0},x=-1..1,y=-1..1,grid=[100,100],color=orange);
>animate(F, x, t , options)
Trong đó các tham số
F - các hàm cần vẽ .
x = x1..x2 , khoảng hoành độ cần vẽ
t = t1..t2 , khoảng thời gian t cần vẽ .
+ Các options gồm có : axes , frames , numpoints , coords , color ,
> animate( sin(x*t),x=-10..10,t=1..2,frames=50);
>animate([sin(x*t),x,x=-4..4],t=1..4,coords=polar,numpoints=100,frames=100);
III . Lời kết .> implicitplot (expr, x = a .. b, y = c .. d, <options>)
> implicitplot (f, a .. b, c .. d, <options>)
Các thông số:
f - phương trình cần vẽ
expr - biểu thức phương trình theo x và y
a, b, c, d - hằng số thực
options - các tùy chọn như sau :
+axes ( trục ) : { FRAME, BOXED, NORMAL, NONE }
+axesfont = l (tên trục)
+labels = [x, y] Tùy chọn này xác định nhãn cho các trục. Các giá trị của x và y ở dạng chuỗi.
Tên trục : labels = [ ` ` , ` ` ]
Tựa đề : title = ` `
+color = m ( màu sắc : aquamarine , black, blue, coral , cyan , brown , gold , green , gray , grey khaki , magenta , maroon , navy , orange , pink , plum , red , sienna , tan , turquoise , violet , wheat , white , yellow ) .
+coords=<name> ( chọn hệ trục tọa độ gồm có bipolar, cardiod , cassinian , elliptic, hyperbolic, invcassinian, invelliptic, logarithmic, logcosh , maxwell, parabolic, polar, rose, tangent .+discont = s
+font = ( chọn font chữ gồm có TIMES, COURIER, HELVETICA, and SYMBOL.
Với định dạng TIMES các quy cách là ROMAN, BOLD, ITALIC , BOLDITALIC.
Với định dạng HELVETICA và COURIERcác quy cách là BOLD, OBLIQUE, BOLDOBLIQUE.
b. Các ví dụ .
with(plots):
> implicitplot(x^2 + y^2 = 1,x=-1..1,y=-1..1); # Vẽ đường tròn gốc O bán kính 1 .
> implicitplot({x^2 - y^2 = 1,y = exp(x)},x=-Pi..Pi,y=-Pi..Pi,color=green); # Vẽ đồ thị hyperbola và hàm mũ trong cùng hệ trục tọa độ .
Ví dụ :
>implicitplot({x-6*sin(12*x)*sin(12*y)=0,y^3+3*cos(12*x)*cos(12*y)=0},x=-1..1,y=-1..1,grid=[100,100],color=orange);
>implicitplot({x+sin(10*x)*cos(14*y)=0,y-cos(12*x)*cos(16*y)=1},x=-1..1,y=-1..1,grid=[40,40],color=aquamarine);
- Lệnh implicit có thể thực hiện vẽ nhiều đồ thị trên cùng hệ trục cho các hàm tọa độ cực .
Ví dụ :
>implicitplot(r*theta^2=2-cos(theta),r=0..0.1,theta=0..8*Pi,coords=polar,grid=[150,150]);
>implicitplot({r*theta^2=2-cos(theta),r^2=sec(theta)},r=0..0.1,theta=0..8*Pi,coords=polar,grid=[150,150],color=blue);
2.1.4 Tọa độ điểm .
a. Cấu trúc lệnh .
>pointplot([ [ , ] , [ , ] , ... , [ , ] ] );
Ví dụ : vẽ các điểm có tọa độ là [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5, 5.5]
>pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5, 5.5]],symbol=box,color=red):
Vẽ đoạn nối các điểm rời rạc chọn : style =line
>pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5,5.5]],symbol=box,color=green,style=line):
b. Vẽ điểm rời rạc và đoạn nối trên cùng hệ trục .
- Đặt hàm lệnh vẽ điểm rời rạc .
- Đặt hàm lệnh vẽ đoạn nối với style = line .
- Dùng lệnh display ( , ) để hiển thị các hàm lệnh này .
Ví dụ :
Vẽ cà hai đồ thị điểm rời rạc và đoạn nối trong cùng hệ trục
>pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5, 5.5]],symbol=box,color=red):
Vẽ đoạn nối các điểm rời rạc chọn : style =line
>pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5,5.5]],symbol=box,color=green,style=line):
b. Vẽ điểm rời rạc và đoạn nối trên cùng hệ trục .
- Đặt hàm lệnh vẽ điểm rời rạc .
- Đặt hàm lệnh vẽ đoạn nối với style = line .
- Dùng lệnh display ( , ) để hiển thị các hàm lệnh này .
Ví dụ :
Vẽ cà hai đồ thị điểm rời rạc và đoạn nối trong cùng hệ trục
d1:=pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5, 5.5]],symbol=box,color=red):
> d2:=pointplot([ [-1,1] , [0,2] , [2,3] , [2.5,3.2] , [4,3.5] , [ 4.5,5.5]],symbol=box,color=green,style=line):
> display(d1,d2);
2.1.5 Ghi ký tự .
a. Cấu trúc lệnh .
>textplot( L, options);
Trong đó các tham số :
L - dạng list [ , ] hay dạng tập hợp {, }
+ Các options gồm có axes , color , labels , coords , font
+ Tùy chọn align = { BELOW, RIGHT, ABOVE, LEFT } để xác định vị trí của ký tự .
b. Các ví dụ .
with(plots):
> textplot([1,2,`A(1,2)`],align={ABOVE,RIGHT},color=red);
> textplot({[1,2,`A(1,2)`],[3,4,`B(3,4)`]},color=red,axes=normal,view=[-5..5,-5..5]);
> textplot([[-2,3,`C(-2,3)`],[2,1,`D(2,1)`]],color=red,axes=normal,view=[-5..5,-5..5]);
> p := plot(sin(x),x=-Pi..Pi): delta := 0.05:
> t1 := textplot([Pi/2,1+delta,`Local Maxima (Pi/2, 1)`],align=ABOVE):
> t2 := textplot([-Pi/2,-1,`Local Minima (-Pi/2, -1)`],align=BELOW):
> display({p,t1,t2});
Thiết lập vector bằng
tên vector := arrow([x1,y1],[x2,y2], m , n , k , options):
Trong đó các tham số :
[x1,y1] tọa độ điểm gốc ( điểm đầu )
[x2,y2] tọa độ điểm ngọn ( điểm cuối )
m , n , k : độ dày của vector
+Các options : gồm có axes , color
b. Các ví dụ .
Vẽ vector AB có điểm gốc A(-2,1) , vector tịnh tiến V = (3,4)
> with(plottools):
> L1 := arrow([-2,1], [3,4], .2, .4, .2, color=green):
> Aa:=textplot([-2,1,`A`]):
> Bb:=textplot([1,5,`B`]): # Điểm B có tọa độ như sau B = A + V = [-2,1] + [3,4] = [1,5]
> plots[display]([L1,Aa,Bb],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector AB`);
Vẽ vector CD có điểm gốc C(-2,1) , vector tịnh tiến V = (4,3)
Trong đó các tham số :
L - dạng list [ , ] hay dạng tập hợp {, }
+ Các options gồm có axes , color , labels , coords , font
+ Tùy chọn align = { BELOW, RIGHT, ABOVE, LEFT } để xác định vị trí của ký tự .
b. Các ví dụ .
with(plots):
> textplot([1,2,`A(1,2)`],align={ABOVE,RIGHT},color=red);
> textplot({[1,2,`A(1,2)`],[3,4,`B(3,4)`]},color=red,axes=normal,view=[-5..5,-5..5]);
> textplot([[-2,3,`C(-2,3)`],[2,1,`D(2,1)`]],color=red,axes=normal,view=[-5..5,-5..5]);
> p := plot(sin(x),x=-Pi..Pi): delta := 0.05:
> t1 := textplot([Pi/2,1+delta,`Local Maxima (Pi/2, 1)`],align=ABOVE):
> t2 := textplot([-Pi/2,-1,`Local Minima (-Pi/2, -1)`],align=BELOW):
> display({p,t1,t2});
2.1.6 Vẽ vector - ghi tọa độ .
a. Cấu trúc lệnh .
Thiết lập vector bằng
tên vector := arrow([x1,y1],[x2,y2], m , n , k , options):
Trong đó các tham số :
[x1,y1] tọa độ điểm gốc ( điểm đầu )
[x2,y2] tọa độ điểm ngọn ( điểm cuối )
m , n , k : độ dày của vector
+Các options : gồm có axes , color
b. Các ví dụ .
Vẽ vector AB có điểm gốc A(-2,1) , vector tịnh tiến V = (3,4)
> with(plottools):
> L1 := arrow([-2,1], [3,4], .2, .4, .2, color=green):
> Aa:=textplot([-2,1,`A`]):
> Bb:=textplot([1,5,`B`]): # Điểm B có tọa độ như sau B = A + V = [-2,1] + [3,4] = [1,5]
> plots[display]([L1,Aa,Bb],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector AB`);
> L2 := arrow([-2,1],[4,3], 0.2, 0.4, 0.2, color=red):
> Cc:=textplot([-2,1,`C`]):
> Dd:=textplot([2,4,`D`]): # Điểm D có tọa độ như sau D = C + V = [-2,1] + [4,3] = [2,4]
> plots[display]([L2,Cc,Dd],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector CD`);
Để vẽ hai vector này trong cùng hệ trục ta xác định các hàm vẽ các vector này , sau đó dùng lệnh display .
> with(plottools):
> L1 := arrow([-2,1], [3,4], .2, .4, .2, color=green):
> Aa:=textplot([-2,1,`A`]):
> Bb:=textplot([1,5,`B`]): # Điểm B có tọa độ như sau B = A + V = [-2,1] + [3,4] = [1,5]
> VL1:=plots[display]([L1,Aa,Bb],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector AB`):
> L2 := arrow([-2,1],[4,3], 0.2, 0.4, 0.2, color=red):
> Cc:=textplot([-2,1,`C`]):
> Dd:=textplot([2,4,`D`]): # Điểm D có tọa độ như sau D = C + V = [-2,1] + [4,3] = [2,4]
> VL2:=plots[display]([L2,Cc,Dd],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector CD`):
> display(VL1,VL2);
> with(plottools):
> L1 := arrow([-2,1], [3,4], .2, .4, .2, color=green):
> Aa:=textplot([-2,1,`A`]):
> Bb:=textplot([1,5,`B`]): # Điểm B có tọa độ như sau B = A + V = [-2,1] + [3,4] = [1,5]
> VL1:=plots[display]([L1,Aa,Bb],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector AB`):
> L2 := arrow([-2,1],[4,3], 0.2, 0.4, 0.2, color=red):
> Cc:=textplot([-2,1,`C`]):
> Dd:=textplot([2,4,`D`]): # Điểm D có tọa độ như sau D = C + V = [-2,1] + [4,3] = [2,4]
> VL2:=plots[display]([L2,Cc,Dd],view=[-5..5,-5..5] ,axes=normal,title=`vector CD`):
> display(VL1,VL2);
2.1.7 Vẽ hình động .
a. Cấu trúc lệnh . >animate(F, x, t , options)
Trong đó các tham số
F - các hàm cần vẽ .
x = x1..x2 , khoảng hoành độ cần vẽ
t = t1..t2 , khoảng thời gian t cần vẽ .
+ Các options gồm có : axes , frames , numpoints , coords , color ,
b. Các ví dụ .
with(plots):> animate( sin(x*t),x=-10..10,t=1..2,frames=50);
>animate([sin(x*t),x,x=-4..4],t=1..4,coords=polar,numpoints=100,frames=100);
Đến đây chúng ta đã tìm hiểu khá đầy đủ về cách xây dựng và những tính chất cơ bản của các đường cong từ Fe đến Ka . Trong phần đồ thị chủ yếu là thực hành bằng các trình ứng dụng GP ,GX và MapleV . Để tính toán chiều dài cung , độ cong , chu vi , diện tích các bạn có thể dùng Maple V với một vài lệnh nhập liệu đơn giản . Về nội dung bài viết cho phần sau chúng ta sẽ tiếp tục khảo sát các đường cong từ Ka đến Pa , vẽ đồ thị bằng các công cụ trực tuyến , tính toán L(t) , C(t) của các hàm tương ứng nhờ vào trình Maple V .
Cám ơn các bạn đã theo dõi , hẹn gặp lại .
Trần hồng Cơ
Ngày 06 /06/ 2014 .
-------------------------------------------------------------------------------------------
Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống.
Albert Einstein .
