GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN -Chương 1-PHẦN 1 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 1-PHẦN 1 .








Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  

Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .

****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Giới thiệu . 
Xét một ví dụ đơn giản sau đây :

Một viên đạn bay với vận tốc v(t) = - 2t + 3  ,  với t : thời gian  . Tìm phương trình đường đi của viên đạn .
Như đã biết v(t) =  ds/dt  nên  ta có phương trình
ds/dt  =    - 2t + 3 

Phương trình này gọi là phương trình vi phân .
Nhiều ứng dụng được thể hiện qua phương trình vi phân, phương trình này liên quan đến các đạo hàm hàm số . Có nhiều loại  phương trình vi phân khác nhau , và mỗi loại đòi hỏi phải có phương pháp  giải riêng đặc biệt tương ứng . Các phương trình vi phân đơn giản có dạng y '  = ƒ(x) . Ví dụ,  xét các phương trình vi phân
ds/dt  = - 2t + 3 .  (1)
dy/dx  =  x + sinx .  (2)  
Giải quyết các phương trình vi phân có nghĩa là xác định ẩn hàm    (y , s , u ... ) để các phương trình thỏa mãn . 
1.1  Phương pháp tích phân .
Cách đơn giản nhất là sử dụng phương pháp tích phân . Xét phương trình (1) 

Lưu ý :
*Bạn có thể dùng công cụ WA trực tuyến từ link sau 
http://www.wolframalpha.com/input/?i=s%27%3D-2t%2B3 Kết quả thu được 

Click vào Step-by-step solution , và Show all steps để xem chi tiết .

*Dùng phần mềm mở wXMaxima 12.04.0 khi Offline .
Download tại đây
http://sourceforge.net/projects/maxima/files/Maxima-Windows/5.28.0-Windows/maxima-5.28.0-2.exe/download
Cài đặt xong , mở chương trình wXMaxima  .
Click vào Equations -> Solve ODE , nhập liệu như hình sau 

Click OK , xem đáp án .

1.2 Họ đường cong tích phân .
Lời giải ( nghiệm ) tổng quát của các phương trình vi phân (1) viết trong hệ trục Oxy là y = - x^2 + 3x + C , trong đó C là hằng số tùy ý. Lưu ý rằng có vô số nghiệm cụ thể ( riêng ), chẳng hạn như y = - x^2 + 3x + 1 , y = - x^2 + 3x - 1 , hoặc y = - x^2 + 3x + 1/2 .

Về mặt hình học, phương trình vi phân y '= - 2 x + 3 cho thấy rằng tại mỗi điểm (x, y) trên đường cong y = y (x) , có độ dốc bằng - 2 x + 3 . Vì những đường cong này đều tìm được bằng cách giải phương trình vi phân - có thể liên quan đến một tích phân dạng hiển hoặc ẩn - nên đôi khi được gọi là đường cong tích phân của phương trình vi phân (đặc biệt là khi các nghiệm này được mô tả bằng đồ thị ) . Xem hình mô tả họ đường cong tích phân của (1) dưới đây

1.3 Bài toán điều kiện đầu -  Bài toán điều kiện biên .


*Điều kiện đầu .

Các ràng buộc được quy định cụ thể tại các thời điểm ban đầu   nói chung thời điểm  , được gọi là điều kiện ban đầu. Bài toán với điều kiện cụ thể ban đầu được gọi là Bài toán điều kiện đầu - initial value problem (abbreviated IVP ).
Ví dụ :

*Điều kiện biên .
Các ràng buộc được quy định tại các điểm ranh giới , nói chung điểm không gian, được gọi là điều kiện biên. Bài toán với điều kiện biên xác định được gọi là Bài toán điều kiện biên - boundary value problem (BVP) .
Ví dụ :  

Để giải quyết một IVP hoặc BVP, trước tiên tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân và sau đó xác định giá trị của các hằng số C tùy ý từ các điều kiện ràng buộc ( ban đầu , biên ) .
Ví dụ :
Giải phương trình vi phân  

ds/dt  = - 2t + 3   ;  s(0) =  1   .

Giải .
Bước 1 .  Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 

Bước 2 .  Thay  t  =  0  vào  s(t)  .  
Ta có  s(0)  =   1   <=>   C  =  1 
Bước 3 .  Nghiệm của IVP  là  

*Dùng công cụ WA trực tuyến từ link sau

http://www.wolframalpha.com/input/?i=s%27%3D-2t%2B3+%2C+s%280%29%3D1&dataset=&equal=Submit

*Dùng phần mềm mở wXMaxima 12.04.0 nhập liệu như sau . Lưu ý rằng sau mỗi dòng lệnh được nhập ta nhấn Shift Enter . 

Đồ thị nghiệm có dạng 

1.4 Vài mô hình thực tế ứng dụng phương trình vi phân . 
* Sự phân rã phóng xạ .
Gọi A(t) là số lượng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật liệu cho trước . Với C > 0 phương trình 

là phương trình vi phân mô tả lượng nguyên tử phóng xạ .
a.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên .
b.  Giả sử rằng  với  t = s ; A(s) = As . Tìm nghiệm riêng .

Sử dụng phương pháp tích phân , lời giải như sau 

Click vào link sau :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=A%28t%29%27%3D-C*A%28t%29
b. Giả sử rằng  với  t = s ; A(s) = As đồng vị . Thực hiện  3 bước  tương tự như ở ví dụ trên khi đó nghiệm riêng có dạng 

Xem hình minh họa sau 

* Hàm doanh thu .
Giả sử biên tế doanh thu của mặt hàng máy tính bảng Archos được giới thiệu ra thị trường sau x tuần được biểu diễn bởi 

a. Tìm hàm doanh thu R , biết doanh số của sản phẩm này sau 10 tuần là $9380.25 .
b. Dùng hàm mô hình doanh thu để dự kiến doanh số của sản phẩm  5 tháng sau khi được giới thiệu ra thị trường .
Lời giải .
a. 

Đồ thị hàm doanh thu 

b. 5 tháng = 20 tuần . Thay x= 20 vào hàm R(x) ta có 

* Mô hình tăng trưởng mũ .
Giả sử tại thời điểm  t = 0 (s) , số lượng vi khuẩn là  100 , t  = 30 (s) , số lượng vi khuẩn là  200 . Hãy ước lượng số vi khuẩn phát triển trong 1 phút , biết mô hình tăng trưởng tuân theo hàm mũ và phương trình vi phân có dạng 

Lời giải .
Sử dụng phương pháp tích phân , lời giải như sau 

t = 0 ;  P(0) = C.exp(k.0)  = 100  => C = 100
t = 30 ;  P(30) = C.exp(k.30)  = 200  => 100. exp(30k) = 200
hay exp(30k) = 2  vậy  k  =  1/30 ln2 

Khi đó 

Xem lời giải bằng wMaxima 

Đồ thị hàm P(t) . 

2. Khái niệm cơ bản trong phương trình vi phân .

2.1 Phương trình vi phân thường - Ordinary Differential Equations (ODE)

Xem tiếp 

http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2012/11/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan-phan.html

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .