Phần 8 . Sp - Wi (54-63)
Lời nói đầu .
Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG " được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .
Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :
Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong
Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online) hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .
Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .
Trần hồng Cơ
Ngày 16 / 07 / 2014
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chào các bạn , trong phần 7 chúng ta đã khảo sát và thực hành đồ họa các đường cong từ Pe đến Sp ( 43 - 53 ) bằng các trình ứng dụng ( GP , GX và Maple V ) và công cụ trực tuyến ( FooPlot , DESMOS , Flashandmath ) . Bạn đọc cũng đã làm quen một số lệnh và tùy chọn đồ họa 3D cho trình ứng dụng Maple V trong mục II của bài viết . Nội dung phần 8 này gồm có các khái niệm xây dựng đường cong , vẽ đồ thị bằng trình ứng dụng và công cụ trực tuyến . Ở phần II chúng ta sẽ cùng tìm hiểu các lệnh đồ họa 3D của Maple V , vài procedure tiện ích cho việc tính toán diện tích giới hạn , độ cong , chiều dài cung ...
Giống như phần trước , ở cuối mỗi tiểu mục là phần lưu trữ tài liệu ( dạng pdf , nb , ggb ,gsp ) , hình ảnh minh họa (jpg , png , gif ) và những tập tin multimedia (mov , flv ,swf ... ) về đường cong để bạn đọc tiện tham khảo .
I. Vẽ đồ thị các đường cong từ Sp - Wi [54-63] bằng trình ứng dụng và công cụ trực tuyến .
-Đường xoắn ốc logarith - hay đường xoắn ốc Bernoulli - có phương trình tọa độ cực là $r = ae^{bθ}$ trong đó bán kính r tăng theo hàm mũ với đối số góc θ. Khoảng cách của bán kính tính từ gốc O đến các điểm thuộc đường cong tăng theo cấp số nhân .
Xét phương trình $r (θ) = ae^{bθ}$ khi thay $θ = θ + k 2 \pi$ ta có
$r (θ+k2 \pi) = ae^{b(θ+k2 \pi)} = ae^{bθ}.e^{k2 \pi}$ . Đây chính là biểu thức cấp số nhân .
-Đường xoắn ốc logarith có liên quan đến số Fibonacci , các tỷ lệ vàng , và hình chữ nhật vàng , nên đôi khi được gọi là đường xoắn ốc vàng . Về hình thức giống như đường xoắn ốc Archimedes.
-Đường cong xoắn ốc logarith xuất hiện dưới nhiều hình thái trong tự nhiên đối với các tổ chức có sự tăng trưởng tỷ lệ với kích thước của chúng . Do tính tỷ lệ tương xứng như vậy nên nó thường có tên gọi là đường xoắn ốc tăng trưởng.
-Các tính chất vật lý có liên quan đến đường xoắn ốc :
Lực tác động lên một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo xoắn ốc logarith tỷ lệ thuận với $1/r^3$ .
Một hạt tích điện chuyển động trong một từ trường đều, vuông góc với trường đó, tạo thành một đường xoắn ốc logarith .
-Đường xoắn ốc logarit có thể được xây dựng từ các tia với các góc bằng nhau bằng cách bắt đầu tại một điểm trên một tia , và vẽ đoạn vuông góc với tia đó đến một tia kế cận . Khi số lượng các tia tiến tới vô cùng,dãy các đoạn nối này tiến dần về đường xoắn ốc logarith
( xem chi tiết Hilton, P.; Holton, D.; and Pedersen, J. Mathematical Reflections in a Room with Many Mirrors. New York: Springer-Verlag, 1997 ).
-Phương trình tham số của đường cong trong hệ tọa độ Descartes là :
$x(t)=r(t)cost =ae^{bt}cost ; y(t)=r(t)sint=ae^{bt}sint$
khi đó ta có biểu diễn dưới dạng vector như sau
$\vec{r(t)}=(ae^{bt}cost,ae^{bt}sint)$
-Tính chất đặc biệt là góc $\psi$ giữa tiếp tuyến và tia bán kính ở điểm $(r,θ)$ trên đường xoắn ốc là hằng số . Thực vậy , góc $\psi$ được tính bởi công thức
$cos\psi=|\frac{\vec{r(t)}.\vec{r'(t)}}{||\vec{r(t)}||.||\vec{r'(t)}||}|$ = $\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}$
+Chiều dài cung $L(θ) = \frac{a }{b} . \sqrt{b^2+1}e^{bθ}$
+Độ cong $C(θ) = 1/ [ a \sqrt{b^2+1}e^{bθ}]$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn với $\theta \in [\alpha,\beta]$
$S= \frac{1}{2} \int_{\alpha }^{\beta }a^2e^{2b\theta }d\theta= a^2 (e^{2b\beta}-e^{2b\alpha})/(4b)$
Các đường liên hợp
Xem http://youtu.be/bsOk8eL3RXY
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = ae^{bθ}$
Phương trình tham số của đường cong trong hệ tọa độ Descartes là :
$x=r(t)cost =ae^{bt}cost ; y=r(t)sint=ae^{bt}sint$
Nhập liệu bằng Maple V , thực hành với a = 1/4 và b = 1/10
>plot(1/4*exp(theta/10),theta=-10*Pi..10*Pi,coords=polar);
Xem trực tuyến .
https://www.desmos.com/calculator/xesxd5hmxi
55. Talbot’s Curve (Đường cong Talbot)
A. Khái niệm .
Đường cong Talbot là đường bàn đạp âm tương ứng với tâm của các ellipse có tâm sai $e > 1/ \sqrt{2}$ và phương trình tổng quát của ellipse là $x = acost , y = bsint$ , đường cong này có 4 điểm lùi và 2 điểm kép thường (điểm nút) .
Một dạng phương trình tham số khác
$x=(1+asin^2t)cost , y= (1-a-acos^2t)sint$ và hình dạng của đường cong Talbot tương ứng với giá trị a .
+Chiều dài cung $L(e)= 4bK(e)$ với $K(k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 1
+Độ cong $C(t)=\frac{4 \sqrt{2}a^2b^2}{[a^2+b^2+c^2cos2t]^{3/2}[a^2+b^2-3c^2cos2t]}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn $S=\frac{\pi(10a^2b^2-a^4-b^4)}{8ab}$
Các đường liên hợp
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$\begin{cases}x=(1+e^2\sin^2 t)a\cos t \\ y=a\sin t(1-2e^2+e^2\sin^2 t)/\sqrt{1-e^2}\end{cases}$
Với $e=\frac{c}{a}, c=\sqrt{a^2-b^2}$
56. Tractrix (Đường cong Tractrix)
Tractrix đôi khi được gọi là một đường cong tractory hoặc đường cong đẳng tiếp (equitangential).
Tractrix (xuất phát từ tiếng Latin : động từ trahere "kéo, lôi"; số nhiều: tractrices ) là đường cong một vật thể chuyển động dọc theo đó dưới ảnh hưởng của ma sát, khi kéo trên một mặt phẳng nằm ngang bởi một đoạn thẳng gắn vào một điểm kéo dịch chuyển . Do đó, có thể xem đây là một đường cong đuổi .
.gif)
Đường tractrix lần đầu tiên được giới thiệu bởi Claude Perrault năm 1670, và sau đó được khảo sát bởi Sir Isaac Newton (1676) và Christiaan Huygens (1692). Chính Huygens lần đầu tiên nghiên cứu và đặt tên cho đường cong này vào năm 1692. Tiếp đến là Leibniz, Johann Bernoulli và những người khác đã tiếp tục khảo sát các tính chất khác của đường cong .
Bài toán về đường cong tractrix được Leibniz đặt ra là tìm quỹ đạo của một vật được kéo dọc theo một mặt phẳng nằm ngang bởi một dây có độ dài cố định khi điểm cuối dây không nối với vật di chuyển dọc theo một đường thẳng trong mặt phẳng . Leibniz đã giải quyết điều này bằng cách sử dụng trục là một tiệm cận của tractrix.
Các tính chất của các tractrix :
- Các đường pháp bao ngoài của một tractrix là một đường dây xích - catenary.
- Độ dài của một đoạn tiếp tuyến từ điểm tiếp xúc đến tiệm cận một là hằng số.
- Diện tích giới hạn bởi tractrix và tiệm cận của nó là hữu hạn.
- Hình vật thể khi quay tractrix quanh tiệm cận của nó là một hình giả cầu -pseudosphere.
- Bề mặt của hình giả cầu có độ cong âm không đổi, và đã được Beltrami năm 1868 sử dụng trong việc hiện thực hóa cụ thể các khái niệm của ông về hình học phi Euclide.
 |
| Đường pháp bao ngoài của tractrix là đường dây xích - wikipedia |
Xét vật thể bị kéo nằm trong mặt phẳng Oxy có vị trí ban đầu trên trục hoành tại điểm $(a,0)$ , điểm đặt lực kéo tại gốc O . Gọi a là chiều dài đoạn dây kéo , khi điểm kéo chuyển động dọc theo truc tung với hướng dương , vật thể bị kéo chạy trên đường cong $y=y(x)$ sao cho đường thẳng xác định bởi dây kéo là tiếp tuyến với đường cong $y(x)$ tại mọi thời điểm .
Phương trình vi phân biểu diễn : $\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x},y(a)=0$
Nghiệm của phương trình này là : $y=\int_{x}^{x}\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}=\pm \left ( aln\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x} -\sqrt{a^2-x^2}\right )$
Thay $x=acost$ vào nghiệm , rút gọn
Ta có $x=acost,y=\pm a\left (ln\frac{1+sint}{cost}-sint \right )$
Viết dưới dạng hàm hyperbolic , phương trình đường cong tractrix như sau
$x=\frac{a}{cosh(t)},y=\pm a \left ( t-tanh(t) \right )$
----------
Đổi trục thay x = y , nghiệm của phương trình thành
$x=\pm \left ( aln\frac{a+\sqrt{a^2-y^2}}{y} -\sqrt{a^2-y^2}\right )$
Phương trình tham số của tractrix là :
$y=\frac{a}{cosh(t)},x=\pm a \left ( t-tanh(t) \right )$
Đồ thị tractrix như sau
+Chiều dài cung : $L(t)=a.ln(cosh(t))$
+Độ cong : $C(t)=csch(t) / a$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn : $S=\frac{\pi a^2}{2}$
Các đường liên hợp
Xem http://goo.gl/TYw4Cj
B. Phương trình .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$\begin{cases}x=\frac{1}{\cosh(t)} \\ y=t-\tanh(t)\end{cases}$
57. Tricuspoid (Đường cong Tricuspoid – Đường delta cong)
A. Khái niệm .
+Chiều dài cung
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Các đường liên hợp
Xem
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)^2+18\cdot a^2(x^2+y^2)-27a^4=8a\cdot(x^3-3xy^2)$
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$\begin{cases}x=a(2\cos t + \cos 2t) \\ y=a(2\sin t - \sin 2t)\end{cases}$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^4+18\cdot a^2r^2-27\cdot a^4=8a\cdot r^3\cos 3\theta$
58. Trident of Newton (Đường hình xiên Newton)
+Chiều dài cung
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Các đường liên hợp
Xem
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x \cdot y= cx^3+dx^2+ex+f$
59. Trifolium (Đường hoa 3 cánh)
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Xem
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)(y^2+a\cdot x+x^2)=4a xy^2$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$ r=a\cos\theta \cdot(4\sin^2\theta - 1)$
Trường hợp tổng quát
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)(y^2+b\cdot x+x^2)=4axy^2$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r=-b\cos\theta a + 4a\cos\theta\cdot \sin^2\theta$
60. Trisectrix of Mac Laurin (Đường phân ba góc Mac Laurin)
+Chiều dài cung
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Các đường liên hợp
Xem
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y^2(\ a + x)=x^2(3a-x)$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r=\frac{2a\sin 3\theta}{\sin 2\theta}$
61. Tschirnhaus’ Cubic (Đường bậc 3 Tschirnhaus)
A. Khái niệm .
+Chiều dài cung
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Các đường liên hợp
Xem
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$3a\cdot y^2=x(x-a)^2$
62. Watt's curve (Đường cong Watt)
A. Khái niệm .
+Chiều dài cung
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Các đường liên hợp
Xem
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2=b^2-[a\sin\theta \pm \sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}]^2$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2 + \ y^2-b^2)=0$
với
$d^2=a^2 + \ b^2-c^2$
63. Witch of Agnesi (Đường cong phù thủy Agnesi)
A. Khái niệm .
+Chiều dài cung
+Độ cong
+Chu vi
+Diện tích giới hạn
Các đường liên hợp
Xem
B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y(x^2 + \ a^2)=a^3$
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$\begin{cases}x=at \\ y=\frac{a}{1+ t^2}\end{cases}$
II . Các procedure tính toán trong trình ứng dụng Maple .
Dưới đây là nội dung tiếp theo mục II - phần 7 trình bày các procedure tính toán chiều dài cung , độ cong và diện tích viết bằng trình ứng dụng Maple V .
2.1 Mở đầu .
Cám ơn các bạn đã theo dõi , hẹn gặp lại .
Trần hồng Cơ
Ngày -- / 07/ 2014 .
Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống.
Albert Einstein .
