GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .
Chương 2-
PHẦN 4 .
Phương pháp toán tử vi phân ngược .
Ví dụ minh họa .
Giải phương trình vi phân bằng Maple .
Bài tập thực hành .
Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .
Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .
****************************************************************************
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
1. Phương pháp toán tử vi phân ngược .
1.1 Ký hiệu .
Đạo hàm cấp k theo biến x của hàm số y ( khả vi liên tục đến cấp k ) được ký hiệu
Khi đó ta nói D là toán tử vi phân .
1.2 Tính chất .
Dưới đây là các công thức toán tử vi phân , rất thường được áp dụng cho việc tìm nghiệm phương trình .
1.3.1 Toán tử vi phân và hàm mũ .
Với P(t) là đa thức theo biến t với các hệ số hằng , khi thay t bằng toán tử vi phân D ta có
* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử
1.3.3 Toán tử vi phân ngược và hàm mũ .
* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử
** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược và hàm mũ .
2. Ví dụ minh họa .
2.1 Phép tính trên toán tử vi phân và toán tử vi phân ngược .
Lời giải .
1.
Xét phương trình vi phân cấp n hệ số hằng có dạng
Để giải phương trình cấp cao này ta thực hiện 2 bước .
Bước 1 . Giải phương trình cấp cao thuần nhất
1. Tác động toán tử vi phân ngược cho 2 vế phương trình ( dùng khai triển Taylor cho biểu thức toán tử vi phân ngược ) nhận dạng các hàm cơ sở .
2. Khi có được hệ cơ sở ta biểu diễn yR qua các hàm cơ sở với các hệ số chưa biết thay vào phương trình vi phân rồi dùng phương pháp hệ số bất định .
Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình là
yTQ = yR + yTN
Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau
3.1 Các lệnh cơ bản giải phương trình vi phân .
Khai thác gói công cụ
>with(DEtools):
a . Giải phương trình vi phân .
Cấu trúc lệnh .
>dsolve(ODE) ;
>dsolve(ODE,y(x),options) ;
>dsolve({ODE,ICs},y(x),options) ;
+ODE : phương trình vi phân thường
+y(x) : biểu thức biến phụ thuộc .
+ICs : điều kiện ban đầu ( tìm nghiệm riêng ) dạng
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho nghiệm ở dạng explicit ( hiển ) , implicit ( ẩn ) , numerics ( số ) , series ( chuỗi ) , useInt ( tích phân ) ...
+alias : bí danh cho biểu thức biến phụ thuộc y(x) .
Ví dụ 1.
>value( ) ;
b . Giải xấp xỉ phương trình vi phân .
Câú trúc lệnh .
>dsolve({ODE,init},vars,numeric) ;
>dsolve({ODE,init},vars,numeric,options) ;
+ODE : phương trình vi phân thường
+vars : biểu thức các biến .
+init : điều kiện ban đầu dạng
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho phương pháp xấp xỉ như method =rkf45 ( Runge-Kutta cấp 4 ) , method =dverk78 , method =classical , method =taylorseries , method =gear , method =mgear , method =lsode , method =ck45 , method =rosenbrock , method = bvp , ...
( Trong Maple version 14 các tùy chọn gồm có : rkf45, ck45, rosenbrock, bvp, rkf45_dae, ck45_dae, rosenbrock_dae, dverk78, lsode, gear, taylorseries, mebdfi, classical)
Xem tiếp :
http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/01/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.
-------------------------------------------------------------------------------------------
Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.
Albert Einstein .
