GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2-PHẦN 4 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 2-

PHẦN 4 .











Phương pháp toán tử vi phân ngược .  
Ví dụ minh họa .
Giải phương trình vi phân bằng Maple .
Bài tập thực hành . 








Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
30/12/2012 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Phương pháp toán tử vi phân ngược .
1.1  Ký hiệu .
Đạo hàm cấp k theo biến x của hàm số y ( khả vi liên tục đến cấp k ) được ký hiệu 

Khi đó ta nói D là toán tử vi phân .   


1.2  Tính chất .

1.3  Công thức .
Dưới đây là các công thức toán tử vi phân , rất thường được áp dụng cho việc tìm nghiệm phương trình .

1.3.1  Toán tử vi phân và hàm mũ .


Với P(t) là đa thức theo biến t  với các hệ số hằng , khi thay t bằng toán tử vi phân D ta có 

Liên hệ giữa toán tử vi phân và hàm mũ .

1.3.2  Toán tử vi phân ngược .


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 

** Toán tử vi phân ngược cấp k

1.3.3  Toán tử vi phân ngược và hàm mũ .


* Xét phương trình vi phân viết dạng toán tử 

** Liên hệ giữa toán tử vi phân ngược và hàm mũ .

2.  Ví dụ minh họa .

2.1  Phép tính trên toán tử vi phân và toán tử vi phân ngược .

Lời giải .
1.

Kiểm tra bằng Maple 

2.

2.2  Áp dụng toán tử vi phân ngược   .

Xét phương trình vi phân cấp n hệ số hằng có dạng 

Để giải phương trình cấp cao này ta thực hiện 2 bước .
Bước 1 .  Giải phương trình cấp cao thuần nhất 

Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình cấp cao như sau :
1. Tác động toán tử vi phân ngược cho 2 vế phương trình ( dùng khai triển Taylor cho biểu thức toán tử vi phân ngược ) nhận dạng các hàm cơ sở .
2. Khi có được hệ cơ sở ta biểu diễn yR qua các hàm cơ sở  với các hệ số  chưa biết thay vào phương trình vi phân rồi dùng phương pháp hệ số bất định .

Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình là 

yTQ  =  yR  +  yTN



Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 

3.  Giải phương trình vi phân bằng Maple .
3.1  Các lệnh cơ bản giải phương trình vi phân . 
Khai thác gói công cụ 
>with(DEtools):
a .  Giải phương trình vi phân .
Cấu trúc lệnh . 

>dsolve(ODE)  ;
>dsolve(ODE,y(x),options) ;
>dsolve({ODE,ICs},y(x),options) ;

+ODE : phương trình vi phân thường 

+y(x) : biểu thức biến phụ thuộc .
+ICs : điều kiện ban đầu ( tìm nghiệm riêng ) dạng 
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho nghiệm ở dạng  explicit ( hiển )  , implicit ( ẩn ) , numerics ( số ) , series  ( chuỗi ) , useInt ( tích phân ) ...
+alias : bí danh cho biểu thức biến phụ thuộc y(x)  .
Ví dụ 1.

Để xem biểu thức giải tích ta dùng lệnh 
>value( ) ;

Tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân 

Tìm nghiệm bằng phép biến đổi Laplace 

b .  Giải xấp xỉ phương trình vi phân .
Câú trúc lệnh .

>dsolve({ODE,init},vars,numeric) ;
>dsolve({ODE,init},vars,numeric,options) ;


+ODE : phương trình vi phân thường 

+vars : biểu thức các biến .
+init : điều kiện ban đầu dạng 
y(xo) = yo , D(y)(xo) = y1 , D(D(y))(xo) = y2 ...
+options : tùy chọn cho phương pháp xấp xỉ như  method =rkf45 ( Runge-Kutta cấp 4 ) ,  method =dverk78 ,  method =classical ,  method =taylorseries ,  method =gear , method =mgear  ,  method =lsode , method =ck45 ,  method =rosenbrock ,  method = bvp ,   ...

 ( Trong Maple version 14 các tùy chọn gồm có :  rkf45, ck45, rosenbrock, bvp, rkf45_dae, ck45_dae, rosenbrock_dae, dverk78, lsode, gear, taylorseries, mebdfi,  classical)

Tìm giá trị của y tại x = 0.1 ta nhập lệnh dsol(0.1)

hoặc cho tùy chọn Array([ , , ]) vào lệnh dsolve 

Xem tiếp :  


http://cohtran-toan-don-gian.blogspot.com/2013/01/gioi-thieu-ve-phuong-trinh-vi-phan.html

  
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .