KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - Phần 6 . Ka-Pa (33-42)

KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - 
Phần 6 . Ka - Pa (33-42)

Lời nói đầu .

 Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG "  được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi  cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .

Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :

Phần 1 .  http://cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-1  

Phần 2 . http://cohtran.blogspot.com/2012/04/danh-muc-cac-duong-cong-2.

Phần 3 . http://cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3.

Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong


Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online)  hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh   . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .

Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .


Trần hồng Cơ 



Ngày 08 / 06 / 2014

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chào các bạn , trong phần 5 chúng ta đã khảo sát và thực hành đồ họa các đường cong từ Fe đến Ka ( 22 - 32 ) bằng GP , GX và Maple V . Trong mục II của bài viết chúng ta đã làm quen một số lệnh và tùy chọn đồ họa 2D cho trình ứng dụng Maple V . Ở phần 6 này chúng ta sẽ tiếp tục với các khái niệm xây dựng đường cong , sử dụng các trình ứng dụng hoặc các công cụ trực tuyến vẽ đồ thị và tìm hiểu các lệnh đồ họa 3D của Maple V .
Tương tự như trước kia , phần lưu trữ ở cuối mỗi tiểu mục bao gồm những tài liệu ( dạng pdf , nb , ggb ,gsp ) , hình ảnh minh họa (jpg , png , gif )  và những tập tin multimedia (mov , flv ,swf ... ) về các đường cong để các bạn tiện tham khảo .

I . Vẽ đồ thị các đường cong từ  Ka - Pa  [33 - 42]  bằng trình ứng dụng và công cụ trực tuyến .

1.1   Kappa Curve (Đường cong Kappa)  [33]

A . Khái niệm .
- Cho điểm O và đường thẳng d , dựng OA _|_ d  . Từ O kẻ tia Ot  cắt d tại N , trên Ot lấy điểm M sao cho OM = AN .  Khi đó d là đường tiệm cận và quỹ tích điểm M là đường cong Kappa ( xem hình ) .


Chuyển động của điểm trên đường cong kappa được minh họa như sau
Từ điểm O dựng đường thẳng d1 song song với đường tiệm cận d . Từ O dựng tia Ot cắt đường cong kappa tại Z và M . Qua M dựng tia vuông góc với ZOM cắt d1 tại B . Khi M chạy trên đường cong kappa thì B chạy trên d1 và thỏa mãn   $\measuredangle OMB = 90^{\circ}$  ( xem hình )

Phương trình đường cong là  $a^2.x^2 =y^2.(x^2+y^2)$
Dạng tham số trong hệ tọa độ Descartes :
$ x = a. cos(t). cot(t) ,  y = a.cos(t) $

Trong hệ tọa độ cực
$r = a . cot θ$
+Chiều dài cung với  $\theta  \in  [\alpha,\beta]$
$L[\alpha , \beta]  \approx 0.3a.(\beta - \alpha) [\sqrt{cot^2\alpha+\frac{1}{sin^4 \alpha}}$ $+\sqrt{cot^2(0.3\beta+0.7\alpha)+ \frac{1}{sin^4(0.3\beta+0.7\alpha)}}$
$+ \sqrt{cot^2(0.7\beta+0.3\alpha)+ \frac{1}{sin^4(0.7\beta+0.3\alpha)}}]$

+Độ cong  $C(θ) = \frac{3csc^2θ - 1 }{a[cot^2θ+csc^4θ]^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận là
$S=4 . \int_{0}^{a}\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}=\pi a^2$

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/GYKdOsLVAt0

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$a^2.x^2 =y^2(x^2+y^2)$
a^2*x^2 =y^2*(x^2+y^2)

 Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes :
$ x = a. cost cot t ,  y = a.cost $
 x = a*cos(t)*cot(t) ,  y = a*cos(t)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a .cot(θ)$
r = a * cot(θ)

Nhập liệu bằng  DESMOS  với  r = a*cot(θ)

Xem hình động 

1.2   Lamé Curve (Đường cong Lamé)  [34]
Phương trình đường cong Lamé trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$(x/a)^n+(y/b)^n = 1$ , với a , b , n  là các hằng số .

A . Khái niệm .

- Lame đã nghiên cứu đường cong này với các trường hợp tổng quát cho n là số nguyên , cho một số kết quả như sau đây :

+ Nếu $n \in Q$  thì đường cong có tính chất đại số ,
+ Nếu $n \in  R - Q $ đường cong có tính chất vô tỷ .
+ Nếu $n \in N$  khi  $n \rightarrow \infty$  đồ thị đường cong tiệm cận với hình chữ nhật
+ Khi $n = 2/3$  đường cong thành astroid .
+ Khi $n = 2$  đường cong thành ellipse .
+ Khi $n = 5/2$  đường cong thành siêu ellipse .
+ Khi $n = 3 $ ta có đường cong phù thủy Agnesi ( xem hình )

Vài hình ảnh về đường cong Lame (đỏ) và đường đại số liên hợp tương ứng ( xanh cây )
Nguồn :   http://www.mathcurve.com/courbes2d/lame/lame.shtml

Xem hình động

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/Lame_anima.gif

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/G9XzU-xjqx4

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x/a)^n+(y/b)^n = 1$
(x/a)^n+(y/b)^n = 1

Nhập liệu bằng DESMOS với    $ a  , b  \in [ 1, 5] $  và  $n  \in  [-10,10]$
Xem trực tuyến    https://www.desmos.com/calculator/2aue9ls2i4

1.3   Lemniscate of Bernoulli (Đường cong Lemniscate Bernoulli)  [35]

A . Khái niệm .
-Cho hai điểm cố định F1 , F2 ( tiêu điểm ) và điểm M lưu động trong mặt phẳng . Quỹ tích những điểm M thỏa mãn tính chất :
Tích khoảng cách hai bán kính qua tiêu điểm F1 , F2 bằng bình phương nửa tiêu cự $(F1F2/2)^2$ là đường cong lemniscate Bernoulli  (xem hình ) .

Nếu F1(-c,0)  và  F2(c,0)  thì   $MF1.MF2 = c^2$  , khi đó :
+Phương trình trong hệ tọa độ Descartes là
$(x^2+y^2)^2 = a^2.(x^2-y^2)$  với  $a = c \sqrt{2}$
+ Đổi sang hệ tọa độ cực , đường cong có dạng
$ r^2 = a^2.cos(2θ)$  với  $\theta  \in  (- \pi/4 , \pi/4) $  và    $\theta  \in  (3 \pi/4 , 5 \pi/4) $
+ Trong hệ tọa độ Descartes phương trình tham số là
$x = \frac {a.sint}{1+cos^2t}$
$y = \frac {a.sint.cost}{1+cos^2t}$  với $t = arccos[tan(\theta)]$

+Chiều dài cung
$L=2a\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sqrt{\frac{1}{cos2t}}dt=2a\sqrt{2}K\left ( \frac{1}{2} \right )$
hay $L=a \frac{\sqrt{2}\pi^{3/2}}{\Gamma \left ( 3/4 \right )^{2}}  $
( xem  http://www.wolframalpha.com/input/L )
công thức gần đúng
$L \approx  5.2441 a $  ( xem  http://www.wolframalpha.com/input/K )

+Độ cong  $C(t)=\frac{x'y''-x''y'}{(x'^2+y'^2)^{3/2}} $
$C(t)=\frac{3\sqrt{2}cost}{a\sqrt{3-cos2t}} $
+Chu vi  $L \approx  5.2441 a $
+Diện tích giới hạn
 $S=2\left ( \frac{1}{2}\int r^2 d\theta  \right )=a^2\int_{- \pi/4}^{\pi/4} cos2 \theta d\theta = a^2$

Xem chi tiết :    https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/45239
                        http://www.geogebratube.org/material/show/id/89378

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/aQ1IP10O7_E

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2+y^2)^2 = a^2.(x^2-y^2)$
(x^2+y^2)^2 = a^2*(x^2-y^2)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2 = a^2cos2θ$
r^2 = a^2*cos(2*θ)

Nhập liệu bằng GP   r  =  a*sqrt(2*t)
Với  a = 1 , 2 , 3 , 4

Nhập liệu bằng FooPlot   với   r  =  a*sqrt(2*t)
Với  a = 1 , 2 , 3 , 4

Xem    http://fooplot.com/LEMNISCATE_OF_BERNOULLI_cohtran MMPC-VN

1.4   Limacon of Pascal (Đường hình ốc Limacon Pascal)  [36]

A . Khái niệm .
Limacon là đường cong thuộc họ anallagmatic, được định nghĩa như một đường roulette hình thành từ một đường tròn lăn không trượt bên ngoài một đường tròn có cùng bán kính .
-Trong hệ tọa độ Descartes đường cong có phương trình biểu diễn :
$b^2(x^2+y^2) = (x^2+y^2-2ax)$
-Hoặc trong hệ tọa độ cực :
$r = b +2acos(θ)$
-Dạng tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a+bcost + acos2t ; y = bsint + asin2t$

+Một vài trường hợp đặc biệt :
Khi  $b \geq  4a$  limacon là đường cong lồi .
Khi  $b > 4a > 2a$  limacon bị khuyết .
Khi  $b < 2a$ limacon có vòng lặp trong .
Khi  $b = 2a$  đường cong thành cardioid.
Khi  $b = a$  đường cong thành trisectrix.
Lưu ý rằng trisectrix này không phải là Trisectrix  Maclaurin.

Nếu $b ≥ 2a$ thì diện tích của limacon $S = (2a^2+k^2) \pi$
Nếu $b = a$  thì :
-Diện tích của vòng lặp bên trong là
$S_{innerloop}=(\pi - 3/2. \sqrt{3}).a^2$
-Diện tích miền giữa các vòng là
$S_{between} = (\pi+3 \sqrt{3}).a^2$

Dùng Maple V tính diện tích

Với dạng tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a+bcost + acos2t ; y = bsint + asin2t$
+Chiều dài cung
$L(t)=(4a+2b)E( \frac{t}{2},\frac{2 \sqrt{2ab}}{2a+b})$
Trong đó  $E(\phi ,k)$ là tích phân elliptic loại 2
+Chu vi
Khi $t = 2 \pi$  ta có  $C=(8a+4b)E(\frac{2 \sqrt{2ab}}{2a+b})$

Trong đó  $E(k)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 2
Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho

Chúng ta có thể thấy đường limacon Pascal được xem như là roulette bằng mô hình dưới đây .
Xem chi tiết :
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/104929



Xem: Limacon Pascal 1 với { a = 1, b = 1 }
http://youtu.be/4H3RaUccxXA


Xem: Limacon Pascal 2 với { a = 1, b = 2 }
http://youtu.be/e-lBxDFJv14


Xem: Limacon Pascal 3 với { a = 1, b = 3 }
http://youtu.be/PJXknWITw-4

Các đường liên hợp
Xem     http://youtu.be/GI_4NlUMmks

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$b^2(x^2+y^2) = (x^2+y^2-2ax)$
b^2*(x^2+y^2) = (x^2+y^2-2*a*x)

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a+bcost + acos2t$
$y = bsint + asin2t$

x = a+b*cos(t) + a*cos(2*t) ; y = b*sin(t) + a*sin(2*t)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = b +2a.cosθ$
r = b +2*a*cos(θ)

Nhập liệu bằng FooPlot      r  = b+ 2*a*cos(theta)
Thực hành với  {a = 1 , b = 1}  ;   {a = 1 , b = 2}  ;   {a = 1 , b = 3}
Xem chi tiết  :    http://fooplot.com/LIMACON_OF _PASCAL

1.5   Lissajous Curve (Đường cong Lissajous)  [37]

A . Khái niệm .
- Đường cong Lissajous còn có tên gọi là đường Bowditch , phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes có dạng :
$x = asin(nt+c) ;  y = bsin(Nt)$  (1)
Đôi khi được viết là
$x = Asin(at+ \delta) ;  y = Bsinbt$  (2)
- Trong phần sau , ta sẽ chỉ đề cập đến (1) với  N =  1.
Các trường hợp cần lưu ý :
+ Khi  $n:= 1$   ta có đường ellipse . Ví dụ xét  $a:=5 ; b:= 2 ; n:= 1 ; c:=  \pi/2 $
+ Khi  $ a = b $  ta có đường tròn . Ví dụ xét $a:=3  ; b:= 3  ;  n:= 1  ; c:= \pi/2 $
+ Khi $c = m \pi $  với $ m \in  Z $ ta có đường thẳng .
Đồ thị hàm tăng nếu  $m = 2k (chẵn)$  và giảm nếu $m = ( 2k+1) \pi$
Ví dụ xét $a:=4 ; b:= 3 ; n:= 1 ; c:= 8 \pi $   và   $a:=4  ; b:= 3  ;  n:= 1  ; c:= -3 \pi $
+ Khi $n = 2$  và  $c = \pi/2$ ta có parabola . Ví dụ xét $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 2  ; c:= \pi/2 $
+ Khi  $n \in Q$ ta có đường cong Lissajous đóng và tĩnh .
Ví dụ xét $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 2  ; c:= \pi/3$
Chỉ số $n = \frac{p}{q} ; p,q \in Q$ cho chúng ta biết về số thùy theo phương ngang là $p$ và số thùy theo phương dọc là $q$ .
Xét ví dụ $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 3 ; c:= \pi/3$  vì $n= \frac{3}{1}$  nên đồ thị có 3 thùy ngang , 1 thùy dọc .
Xét ví dụ $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= 5/4 ; c:= \pi/4$ vì $n= \frac{5}{4}$  nên đồ thị có 5 thùy ngang ,4 thùy dọc .

+Khi  $n \in  R-Q$ ta có đường cong Lissajous hở và động.
Ví dụ xét $a:=5  ; b:= 3  ;  n:= \sqrt{2} ; c:= \pi$ 

Dưới đây là một đoạn Maple code của tác giả về đồ họa đường cong Lissajous , bạn đọc có thể ghi lại và chạy chương trình bằng Maple V .

> lissa:=proc(a,b,c,n,N,k)
> local diemM,curve,anicurve;
> print(`a=`,a);print(`b=`,b);print(`c=`,c);
> print(`n=`,n);print(`N=`,N);
> diemM:=[a*sin(n*t+c),b*sin(N*t)];print(`M`=diemM); 
> print(`Phuong trinh tham so cua duong cong trong he toa do Descartes` );
> print(x=a*sin(n*t+c));
> print(y=b*sin(N*t));

> with(plottools):with(plots): 
>anicurve:=animate([a*sin(n*t/u+c),b*sin(N*t/u),u=1..25],t=-k*Pi..k*Pi,color=blue,thickness=2,color=red,style=point,symbol=box,frames=80,title=`Lissajous curve`):
> curve:=plot([a*sin(n*t+c),b*sin(N*t),t=-k*Pi..k*Pi],color=grey,thickness=1,style=line):
> display(anicurve,curve);
> end:

https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/89142

Vài đường dẫn hữu ích
http://devadutta.net/lissajous
http://jsxgraph.uni-bayreuth.de/wiki/index.php/Lissajous_curves

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/fAvMCxCKB7w

 B. Phương trình .
Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = asin(nt+c) ;  y = bsin(Nt)$
x = a*sin(n*t+c)
y = b*sin(t)

Nhập liệu bằng Maple V
Thực hành với lissa
lissa(5,3,Pi/4,5/4,1,10);

lissa(5,3,Pi/4,sqrt(3),1,2);

1.6   Lituus Curve (Đường cong Lituus)  [38]

A . Khái niệm .

- Các đường cong lituus có nguồn gốc với tác giả Cotes năm 1722. Maclaurin đã sử dụng thuật ngữ này trong cuốn sách của ông tựa đề Harmonia Mensurarumin 1722.

Trong hệ tọa độ cực như hình vẽ  , lituus là quỹ tích của những điểm M di chuyển sao cho diện tich của cung tròn OAM là một hằng số.

Xét hình quạt tròn OAM ,  ta có r  =  OM , $ θ  = \angle AOM$  với  $θ  \in [0, 2 \pi]$ . Diện tích của cung tròn OAM  là $S_{\frown OAM} =\frac{1}{2} r^2.θ $  khi đó  $r^2 =2S_{\frown OAM}/ θ $  .
Đặt  $a^2=2S_{\frown OAM}$  , phương trình của đường lituus có dạng
 $r^2 = a^2/ θ $  với  $ a > 0$ .
Như vậy có thể xem lituus là đường cong trong hệ tọa độ cực có tính chất : góc cực $θ$  tỉ lệ nghích với bình phương bán kính cực $ r$ .
Điểm uốn của lituus tại  $(θ,r)= (1/2, a \sqrt{2})$   và    $(θ,r)= (1/2, - a \sqrt{2})$
Đường xoắn ốc lituus có 2 nhánh , $r = + \frac{a}{\sqrt{\theta}}$  và  $r = - \frac{a}{\sqrt{\theta}}$
Tiệm cận ngang của lituus là trục Ox .

+Chiều dài cung
 $L(\theta)=\frac{a}{2}\int_{\theta_0}^{\theta}\sqrt{\frac{4}{t}+\frac{1}{t^3}}dt$
với $\theta_0$  là điểm đầu .
 Ví dụ tính chiều dài cung từ $\theta  \in  [\pi /6 , \pi /3]$
$L(\theta)=\frac{a}{2}\int_{\pi/6}^{\pi/3}\sqrt{\frac{4}{t}+\frac{1}{t^3}}dt$

Hay $L(\theta)=$

Trong đó hàm $_2F_1(a,b;c;z)$  là hàm siêu hình học .
Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho

Công thức gần đúng
$L \approx  0.7263 a$

Tính toán trực tuyến  http://goo.gl/14AnbJ

+Độ cong  $C(θ)= \frac{2 θ^{3/2}.(4 θ^2-1)}{a(4 θ^2+1)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích

Xem chi tiết :
https://www.geogebratube.org/material/iframe/id/47373
 


Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/Z00w9ADM6CA

B. Phương trình .

Phương trình tham số của đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$x = a.cost / \sqrt{t} ; y = a.sint /  \sqrt{t}$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
r^2 = a^2/θ




Nhập liệu bằng DESMOS  r = sqrt(a^2/θ)  chọn  $a \in [-5,5]$
Xem đồ thị trực tuyến ,
https://www.desmos.com/calculator/mgztfjzxcl

Nhập liệu bằng FooPlot  r = sqrt(a^2 / theta)  chọn $a^2 = 1 ,2,3$
Xem đồ thị trực tuyến
http://goo.gl/rVH71r

1.7   Neile‘s Semi-Cubical Parabola (Đường Parabola nửa-bậc-3 Neile)  [39]

A . Khái niệm .
- Năm 1687 Leibniz đưa ra bài toán đi tìm quỹ tích mô tả một chất điểm rơi xuống dưới tác dụng lực hấp dẫn sao cho có cùng khoảng cách dịch chuyển thẳng đứng trong khoảng thời gian bằng nhau. Sau đó Huygens đã chỉ ra rằng đường parabol bán lập phương có phương trình $x^3 = a.y^2$ (1)  thoả mãn tính chất này , vì đây là một đường cong đẳng thời.
Họ đường cong (1) với tham số $a$  được mô tả bằng Desmos như sau


Xem đồ thị trực tuyến .
https://www.desmos.com/calculator/8yxe2m9qcq

Thực hiện phép đổi trục x thành y ta có $y^3 = a.x^2$  (2)
Họ đường cong (2) với tham số $a$  được mô tả bằng Desmos như sau


Xem đồ thị trực tuyến
https://www.desmos.com/calculator/xkoezj8egi

Trong phần dưới đây chúng ta sẽ khảo sát dạng (1)  : $x^3 = a.y^2$
hay   $y^2= A^2.x^3$    với $ A^2=1/a $
- Phương trình tham số của đường cong trong hệ trục tọa độ Descartes
$x=t^2 ; y = At^3$
Trong hệ tọa độ cực đường cong có phương trình là $r= \frac{1}{A}tan^2 \theta .sec^2 \theta$

+Chiều dài cung $L(t)= \frac{1}{27} (9t^2+4)^{3/2}- \frac{8}{27}$
+Độ cong  $C(t)= \frac{6}{t(9t^2+4)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/7TwsjDIe8s0

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y^3 = a.x^2$
hay
$x^3 = a.y^2$

Nhập liệu bằng DESMOS  x^3 = a*y^2 , chọn tham số a cho họ đường cong (1)
Tương tự cho (2)   y^3 = a.x^2 .

Nhập liệu bằng GP  với  r  = 1/a*tan(t)^2*sec(t)^2
Thực hành với  a = 1 , 2 , 4 , 6

1.8   Nephroid (Đường cong Nephroid)  [40]

A . Khái niệm .
- Nephroid ( đường hình thận ) là trường hợp đặc biệt của đường epicycloid được hình thành bởi một đường tròn bán kính a lăn không trượt bên ngoài một đường tròn cố định có bán kính 2a ( xem hình ) .


Từ phương trình tham số của epicycloid trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a+b)cost - b.cos(a/b+1)t$
$y = (a+b)sint - b.sin(a/b+1)t$
+Nếu $a = 2b$  epicycloid biến đổi thành  nephroid., nên phương trình tham số của nephroid là
$2x = a(3cost - cos3t)$
$2y = a(3sint - sin3t)$

Đổi trục  $2x \rightarrow   x , 2y  \rightarrow  y$
Phương trình tham số của đường nephroid trong hệ tọa độ Descartes :
$x = a(3cost - cos3t)$
$y = a(3sint -sin3t)$

+Với n = 2  , epicycloid biến đổi thành nephroi và có phương trình biểu diễn trong hệ tọa độ cực là :
 $r^2 = \frac{a^2}{2}.[5-3cos(2t)]$ .
Khử tham số t , ta có phương trình dạng ẩn của nephroid trong hệ tọa độ Descartes là
$(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2$


+Chiều dài cung $L(t) = 6a.(1-cost)$
+Độ cong  $C(t) = \frac{1}{3a}. csc(t)$  với  $t  \in  [0,\pi]$
+Chu vi   $P=24a$
+Diện tích  $S= 12 \pi a^2$

Xem  http://www.geogebratube.org/student/m43533



Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/tTI50fbR0FQ

 B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = a(3cost - cos3t)$
$y = a(3sint -sin3t)$

x = a*(3*cos(t) - cos(3*t))
y = a*(3*sin(t) -sin(3*t))

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes
$(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2$

+Phương trình đường cong nephroid trong hệ tọa độ cực là :
 $r^2 = \frac{a^2}{2}.[5-3cos(2t)]$ .
r^2 = 1/2*a^2*(5- 3*cos(2*t))

Nhập liệu bằng http://www.flashandmath.com/mathlets/calc/implicit/implicit.html
Thực hành  với a = 1 , 2 , 0.5

1.9   Newton’s Diverging Parabolas (Đường parabola phân kỳ Newton)  [41]

A . Khái niệm .
- Đường parabola phân kỳ Newton có phương trình biểu diễn trong hệ tọa độ Descartes là :
$ ay^2 = x^3 - 2bx^2 + cx $  ( a> 0 )

Đây là phân lớp thứ ba trong 5 lớp đường cong bậc 3 của Newton dựa trên nghiệm của phương trình bậc 3 theo x ở vế phải .
(i) Ba nghiệm thực phân biệt : đồ thị là một Parabola phân kỳ có dạng chuông Bell, với hình Oval tại đỉnh của nó.
(ii) Hai nghiệm thực bằng nhau ( nghiệm kép thực , nghiệm bội cấp 2 ) : một Parabola sẽ được hình thành, hoặc là đường Nodated có liên quan đến hình Oval, hoặc là đường Punctate, tạo thành từ hình Oval vô cùng nhỏ .
(iii) Ba nghiệm thực bằng nhau ( nghiệm bội cấp 3):  đây là Parabola Neile, thường được gọi là parabola bán-lập phương.
(iv) Một nghiệm thực , hai nghiệm kia là phức:  đồ thị là một Parabola chính quy dạng hình chuông.
Trong hình trên :
- Màu đỏ : hình oval elliptic bậc 3 .
- Màu xanh cây : đường acnodal bậc 3 .
- Màu xanh dương : nhánh elliptic bậc 3 .
- Màu vàng : đường crunodal bậc 3 .
- Màu magneta : đường bậc 3 có điểm lùi  ( nhọn ) .

Chúng ta có bảng phân loại chi tiết như sau

Trường hợp đặc biệt
+ Khi đường cong là crunodal bậc 3 , nếu $a = 3m$ ta có đường cong Tschirnhausen bậc 3 ; nếu $a = m$  ta có đường cong lá parabolic ; nếu  $m = 3a$  ta có đường cong Lissajous 


Xem đồ thị trực tuyến
https://www.desmos.com/calculator/9bhe91iqfq
hay  https://www.desmos.com/calculator/fhynxveosa


 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
x^3 - 2*b*x^2 + c*x = a*y^2  ( a> 0 )


Nhập liệu bằng  DESMOS  với   x^3 - 2*b*x^2 + c*x = a*y^2
Chọn giá trị cho các thanh trượt a , b , c .

2.0   Parabola (Đường parabola)  [42]

A . Khái niệm .
- Về mặt hình học parabola là quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến đường chuẩn D bằng với khoảng cách từ M đến tiêu điểm F ,  $MF =  d[M, D]$

Từ  $MF =  d[M, D]$  ta có  $\sqrt{(x-a)^2+y^2}=|x+a|$
Bình phương , rút gọn ta sẽ thu được   $y^2= 4ax$  . Nếu đặt tham số tiêu p là khoảng cách từ tiêu điểm F đến đường chuẩn D , khi đó p = 2a và phương trình parabola thành  $y^2= 2px$ .

+ Trong hệ toa độ cực phương trình parabola có dạng $r= -a.(1+tan^2 \frac{\theta}{2})$

Bằng cách tham số hóa ta có 

$x=at^2$

$y= 2at$

+Chiều dài cung   $L(t)=a(t \sqrt{1+t^2}+sinh^{-1}t)$

+Độ cong  $C(t)= \frac{1}{2a(1+t^2)^{3/2}}$

+Chu vi  

+Diện tích 

+ Clip sau đây mô tả quỹ tích điểm M tạo thành parabola .

+Tính chất quang học của parabola .
Tia tới song song trục chính , tia ló hội tụ tại tiêu điểm của parabola .

+Xem hình động mô tả tính chất quang học của parabola 

+Cách dựng tiếp tuyến tại một điểm P trên parabola có tiêu điểm F và đường chuẩn d  .
Từ điểm P trên parabola dựng  b _|_  d . Ta có b  _|_  d  = B , nối FB  và từ P dựng đường trung trực t của FB . Đường thẳng t chính là tiếp tuyến với parabola tại điểm P .

+Chú thích lịch sử :
Menaechmus là học trò của Plato và Eudoxus , đã nghiên cứu về parabola khi giải quyết bài toán tìm cạnh của một khối lập phương có thể tích gấp đôi thể tích một khối lập phương cho trước. Bài toán này không thể giải được bằng các phương pháp hình học sử dụng com-pa và thước kẻ. Menaechmus đã giải quyết nó bằng cách tìm các giao điểm của hai parabol .
Gọi y là cạnh của hình lập phương cho trước và x là cạnh hình lập phương cần tìm , đẳng thức có được là  $x^3 = 2y^3$
Xét hai parabola sau $y^2 = x$ (P1) và  $x^2 = 2y$ (P2) , nhân vế với vế hai đằng thức này ta có
$x^3 = 2y^3$ .
Việc tìm cạnh x  tương đương với việc xác định tọa độ giao điểm của (P1) và (P2) như hình minh họa sau
 ( a = 2 , b = 1 )
+Giao điểm của các parabola  $x^2 = ay $  ,   $y^2 = bx$   và  hyperbola  $xy = ab$

  

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/TVRXUEVzdIE

 B. Phương trình .
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
x^2 = A*y  hoặc  y^2 = B*x

Nhập liệu bằng DESMOS .
Thực hành với
 x^2 = A*y  với  A = 1 , 2 , -3
y^2  =  B*x  với  B =  -1/2 , 1/4 , 2

II . Các lệnh đồ họa 3D trong trình ứng dụng Maple .

Dưới đây là nội dung tiếp theo mục II - phần 5 trình bày các thủ tục và các tùy chọn đồ họa 3D của trình ứng dụng Maple V . 

2.1  Đồ thị 3D .

2.1.1  Tọa độ điểm trong hệ tọa độ không gian  .

a. Cấu trúc lệnh .

> pointplot3d(L,options);
Các options 3D  gồm có
+axes (trục) = {boxed , normal , frame , none } mặc định là none .
+color (màu) = {  aquamarine , black,  blue,  coral , cyan  , brown  , gold , green , gray , grey  khaki , magenta , maroon , navy , orange , pink , plum , red  , sienna ,  tan , turquoise , violet , wheat  , white , yellow}
+coords (hệ trục ) =  {cartesian,spherical,cylindrical} mặc định là Cartesian.
+font=là một list gồm [family, style, size],
-family gồm { TIMES, COURIER, HELVETICA, SYMBOL}.
-Với TIMES, style có thể là {ROMAN, BOLD, ITALIC ,BOLDITALIC }.
-Với HELVETICA và COURIER style có thể là { BOLD, OBLIQUE, BOLDOBLIQUE }.
-Với SYMBOL không có tùy chọn style . Tuy nhiên có thể dùng chung với SYMBOL các size chỉ về kích thước của chữ .
+grid (lưới )=[m,n] chỉ số chiều của lưới hình chữ nhật trên đó các điểm được tạo ra .
+gridstyle (kiểu lưới ) = 'rectangular'  (chữ nhật)  hoặc   'triangular' (tam giác) .
+labelfont ( font nhãn) =l , quy định font cho nhãn trục .
+labels=[x,y,z] , có thể thay đổi theo yêu cầu , mặc định là không có nhãn .
light (ánh sáng) =[phi,theta,r,g,b]   quy định nguồn sáng trực tiếp từ hướng nhìn phi và theta trong hệ tọa độ cầu với cường độ màu được cho bởi r (red) , g (green) và b (blue) , các màu này có giá trị từ 0 đến 1 .
+lightmodel (mô hình màu) = {'none', 'light1', 'light2', 'light3',  'light4' } quy định mô hình màu nhằm mục đích chiếu sáng , tô bóng đồ thị .
+linestyle (dạng đường) = { dash , dashdot , dot , solid } chỉ về cách vẽ đường đứt , đường liền .

+numpoints (số điểm ) =n ,  quy định số điểm được vẽ cho đồ thị (mặc định là 625 = 25^2). Plot3d dùng lưới chữ nhật có chiều gần bằng căn bậc hai của n .
+orientation (định hướng)=[theta,phi]  , quy định góc theta và phi để quan sát đồ thị trong 3D .
+projection (chiếu) =r  , quy định phối cảnh để quan sát các mặt 3D với r là số thực thuộc (0,1) , r cũng có các giá trị {'FISHEYE', 'NORMAL',  'ORTHOGONAL' },  tương ứng với góc chiếu { 0, 0.5,  1} . Mặc định là projection = ORTHOGONAL.
+scaling (canh trục) =s = {UNCONSTRAINED ,CONSTRAINED }, quy định mức độ phù hợp các trục với màn hình .Mặc định là  UNCONSTRAINED .
+shading (tô bóng) =s = {XYZ, XY, Z, ZGREYSCALE, ZHUE, NONE} , quy định cách tô bóng cho các mặt 3D .
+style (dạng mặt) =s = {POINT, HIDDEN, PATCH, WIREFRAME, CONTOUR, PATCHNOGRID, PATCHCONTOUR, LINE} , quy định cách vẽ các mặt 3D .
Mặc định là  HIDDEN ( ẩn các đường mức ).
+symbol (dạng điểm)=s = {BOX, CROSS, CIRCLE, POINT, DIAMOND} , quy định cách vẽ các điểm trên đồ thị 2D hoặc 3D .
+thickness (độ dày,đậm) =n ={ 0, 1, 2, 3 } . Mặc định là 0 .
+tickmarks (định trục) =[l,n,m] , quy định cách chia đơn vị cho trục x , y và z , các chỉ số này không được nhỏ hơn 1 .
+title (đề tựa) =t , quy định tên gọi cho đồ thị , t phải ở dạng chuỗi . Mặc định là no title .
+titlefont (font của đề tựa) =l , tương tự như tùy chọn font .
+view (khoảng xuất hiện) =zmin..zmax  hay  [xmin..xmax,ymin..ymax,zmin..zmax] , quy định khoảng xuất hiện tối thiểu và tối đa của đồ thị .
Mặc định là toàn màn hình .

b. Ví dụ minh họa .

+ Chấm tọa độ các điểm  (0,1,1)  ;  (1,-1,2)  ;  (3,0,5)

with(plots):

> pointplot3d([[0,1,1],[1,-1,2],[3,0,5]],axes=normal,color=[red,blue,green],symbol=circle,labels=[x,y,z],view= [-1..5,-2..3,0..6] );

+ Vẽ các điểm $ M(cos (\pi t) , sin(\pi t) , t )$  với  $ t \in [0,1]$
Tạo các điểm > points:= { seq([cos(Pi*T/40),sin(Pi*T/40),T/40],T=0..40) }:

> pointplot3d(points,axes=normal,labels=[x,y,z],symbol=circle);

2.1.2  Đường cong trong hệ tọa độ không gian .
a. Cấu trúc lệnh .
> spacecurve(L,options);
L - là tập các đường cong 3D.
Mô tả :
Lệnh spacecurve dùng để vẽ một hay nhiều đường cong 3D . Biến thứ nhất của lệnh này có thể là danh sách các điểm hoặc một đường cong . Đường cong 3D là một danh sách có kích thước là 3 . Ba thành phần đầu là biểu diễn tham số của 3 tọa độ  x , y và z .

-Các biến bổ sung quy định khoảng cho các đường cong cụ thể thông qua tham số t = tmin .. tmax , hoặc số các điểm được dùng để vẽ thông qua numpoints=n (mặc định là 50) .
-Biến thứ nhất cũng có thể là một tập các danh sách gồm nhiều đường cong 3D cần vẽ .
-Lệnh spacecurve có thể xác định bằng with(plots): hoặc  with(plots,spacecurve) .

b. Ví dụ minh họa .
+Vẽ đường cong  $x = cost , y = sint , z = t $  với  $t \in [0, 4 \pi]$
with(plots):
> spacecurve([cos(t),sin(t),t],t=0..4*Pi,axes=normal,labels=[x,y,z],color=green,thickness=3);

+Vẽ đường cong  $x = sint , y = 0 , z = cost $  với  $t \in [0, 2 \pi]$

và  $ x= 1+cost , y = 3+ sint , z = 0 $ 

with(plots):
spacecurve({[sin(t),0,cos(t),t=0..2*Pi],[cos(t)+1,sin(t)+3,0,numpoints=50]},
> t=-Pi..Pi,axes=normal,labels=[x,y,z],view= [-2..3,-2..5,-2..4],color=[blue,green],thickness=3);

2.1.3  Đa giác trong hệ tọa độ không gian .

a. Cấu trúc lệnh .

> polygonplot3d(L,options);
L - đỉnh của đa giác hay tập ( danh sách ) các đỉnh của đa giác .
Mô tả :
Đối số còn lại được hiểu là các tùy chọn được quy định theo hình thức option = {giá trị} . Các tùy chọn này tương tự như những quy định cho lệnh plot3d.
-Kết quả của một lệnh polygonplot3d là một cấu trúc PLOT3D có thể được đưa ra bởi các thiết bị đồ họa. Các bạn có thể gán giá trị này cho một biến, lưu nó vào một tập tin .
polygonplot3d có thể được xác định từ gói công cụ with(plots ) hoặc with(plots, polygonplot3d).

b. Ví dụ minh họa .
+Vẽ đa giác gồm 4 đỉnh   (0,1,1) ; (1,-1,2) ; (3,0,5)  và  (1,1,1)
with(plots):
> polygonplot3d([[0,1,1],[1,-1,2],[3,0,5] ,[1,1,1]],axes=normal,view=[-0.5..4,-2..2,-2..6],labels=[x,y,z],color=blue,thickness=3);

+ Vẽ đa giác cong tạo bởi các điểm  $x =cos(\pi t), y = sin(\pi t) , z=t $  với $t \in  [0,1]$ 

dagiac_cong := [ seq([cos(Pi*T/40),sin(Pi*T/40),T/40],T=0..40) ]:

> polygonplot3d(dagiac_cong ,axes=normal,labels=[x,y,z],color=bgreen,thickness=3);

  :

III . Lời kết .

 Bạn đọc thân mến , chúng ta kết thúc phần khảo sát về cách xây dựng và những tính chất cơ bản của các đường cong từ Ka đến Pa (33-42) ở đây . Những điểm khá nổi bật trong bài viết này là phần minh họa đồ thị thực hành bằng các trình ứng dụng GP , MapleV và các công cụ trực tuyến DESMOS , Flashandmath , FooPlot . Phần II của bài viết tác giả cũng điểm qua vài nét sơ lược về các lệnh của trình Maple về đồ họa 3D cho các điểm , đường cong và đa giác .
 Trong bài viết sau chúng ta sẽ tiếp tục khảo sát các đường cong từ Pe đến Sp (43-53) , vẽ đồ thị bằng các  công cụ trực tuyến hoặc trình ứng dụng , và tìm hiểu thêm về các lệnh của trình Maple V cho việc đồ họa các mặt 3D .
Cám ơn  các bạn đã đọc bài viết này  , hẹn gặp lại .


Trần hồng Cơ 
Ngày  22 / 06/ 2014 .

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

Albert Einstein .

Bình Ngô Đại Cáo .

Nguyễn Trãi

Bình Ngô Đại Cáo

Bản dịch của Ngô Tất Tố



Thay trời hành hóa, hoàng thượng chiếu rằng,
Từng nghe: 
Việc nhân nghĩa cốt ở yên dân, 
Quân điếu phạt trước lo trừ bạo; 
Như nước Đại Việt ta từ trước, 
Vốn xưng nền văn hiến đã lâu, 
Nước non bờ cõi đã chia, 
Phong tục Bắc Nam cũng khác; 
Từ Triệu, Đinh, Lý, Trần; bao đời xây nền độc lập; 
Cùng Hán, Đường, Tống, Nguyên; mỗi bên hùng cứ một phương; 
Tuy mạnh yếu có lúc khác nhau, 
Song hào kiệt thời nào cũng có. 
Cho nên: 
Lưu Cung tham công nên thất bại; 
Triệu Tiết chí lớn phải vong thân; 
Cửa Hàm Tử bắt sống Toa Đô 
Sông Bạch Đằng giết tươi Ô Mã 
Việc xưa xem xét. 
Chứng cứ còn ghi. 
Vưà rồi: 
Nhân họ Hồ chính sự phiền hà 
Để trong nước lòng dân oán hận 
Quân cuồng Minh thưà cơ gây loạn 
Bọn gian tà còn bán nước cầu vinh 
Nướng dân đen trên ngọn lửa hung tàn 
Vùi con đỏ xuống dưới hầm tai vạ 
Dối trời lừa dân đủ muôn ngàn kế 
Gây thù kết oán trải mấy mươi năm 
Bại nhân nghĩa nát cả đất trờị 
Nặng thuế khóa sạch không đầm núi. 
Người bị ép xuống biển dòng lưng mò ngọc, 
Ngán thay cá mập thuồng luồng. 
Kẻ bị đem vào núi đãi cát tìm vàng, 
Khốn nỗi rừng sâu nước độc. 
Vét sản vật, bắt dò chim sả, chốn chốn lưới chăng. 
Nhiễu nhân dân, bắt bẫy hươu đen, nơi nơi cạm đặt. 
Tàn hại cả giống côn trùng cây cỏ, 
Nheo nhóc thay kẻ góa bụa khốn cùng. 
Thằng há miệng, đứa nhe răng, 
Máu mỡ bấy no nê chưa chán, 
Nay xây nhà, mai đắp đất, 
Chân tay nào phục dịch cho vừa ? 
Nặng nề những nổi phu phen 
Tan tác cả nghề canh cửi. 
Độc ác thay, trúc Nam Sơn không ghi hết tội, 
Dơ bẩn thay, nước Đông Hải không rửa sạch mùi! 
Lòng người đều căm giận, 
Trời đất chẳng dung tha; 
Ta đây: 
Núi Lam Sơn dấy nghĩa 
Chốn hoang dã nương mình 
Ngẫm thù lớn há đội trời chung 
Căm giặc nước thề không cùng sống 
Đau lòng nhức óc, chốc đà mười mấy năm trời 
Nếm mật nằm gai, há phải một hai sớm tối. 
Quên ăn vì giận, sách lược thao suy xét đã tinh, 
Ngẫm trước đến nay, lẽ hưng phế đắn đo càng kỹ 
Những trằn trọc trong cơn mộng mị, 
Chỉ băn khoăn một nỗi đồ hồi 
Vừa khi cờ nghĩa dấy lên, 
Chính lúc quân thù đang mạnh. 
Lại ngặt vì: 
Tuấn kiệt như sao buổi sớm, 
Nhân tài như lá mùa thu, 
Việc bôn tẩu thiếu kẻ đở đần, 
Nơi duy ác hiếm người bàn bạc, 
Tấm lòng cứu nước, 
Vẫn đăm đăm muốn tiến về Đông, 
Cỗ xe cầu hiền, 
Thường chăm chắm còn dành phía tả. 
Thế mà: 
Trông người, người càng vắng bóng, 
Miịt mù như nhìn chốn bể khơi. 
Tự ta, ta phải dốc lòng, 
Vội vã hơn cứu người chết đói. 
Phần vì giận quân thù ngang dọc, 
Phần vì lo vận nước khó khăn, 
Khi Linh Sơn lương hết mấy tuần, 
Lúc Khôi Huyện quân không một đội. 
Trời thử lòng trao cho mệnh lớn 
Ta gắng trí khắc phục gian nan. 
Nhân dân bốn cõi một nhà, 
Dựng cần trúc ngọn cờ phấp phới 
Tướng sĩ một lòng phụ tử, 
Hòa nước sông chén rượu ngọt ngào. 
Thế trận xuất kỳ, lấy yếu chống mạnh, 
Dùng quân mai phục, lấy ít địch nhiều. 
Trọn hay: 
Đem đại nghĩa để thắng hung tàn, 
Lấy chí nhân để thay cường bạọ 
Trận Bồ Đằng sấm vang chớp giật, 
Miền Trà Lân trúc chẻ tro bay. 
Sĩ khí đã hăng quuân thanh càng mạnh. 
Trần Trí, Sơn Thọ nghe hơi mà mất vía, 
Lý An, Phương Chính, nín thở cầu thoát thân. 
Thừa thắng đuổi dài, Tây Kinh quân ta chiếm lại, 
Tuyển binh tiến đánh, Đông Đô đất cũ thu về. 
Ninh Kiều máu chảy thành sông, tanh hôi vạn dặm 
Tụy Động thây chất đầy nội, nhơ để ngàn năm. 
Phúc tâm quân giặc: Trần Hiệp đã phải bêu đầu 
Mọt gian kẻ thù: Lý Lượng cũng đành bỏ mạng. 
Vương Thông gỡ thế nguy, 
Mà đám lửa cháy lại càng cháy 
Mã Anh cứu trận đánh 
Mà quân ta hăng lại càng hăng. 
Bó tay để đợi bại vong, 
Giặc đã trí cùng lực kiệt, 
Chẳng đánh mà người chịu khuất, 
Ta đây mưu phạt tâm công. 
Tưởng chúng biết lẽ ăn năn 
Nên đã thay lòng đổi dạ 
Ngờ đâu vẫn đương mưu tính 
Lại còn chuốc tội gây oan. 
Giữ ý kiến một người, 
Gieo vạ cho bao nhiêu kẻ khác, 
Tham công danh một lúc, 
Để cười cho tất cả thế gian. 
Bởi thế: 
Thằng nhãi con Tuyên Đức động binh không ngừng 
Đồ nhút nhát Thạnh, Thăng đem dầu chữa cháy 
Đinh mùi tháng chín, 
Liễu Thăng đem binh từ Khâu Ôn kéo lại 
Năm ấy tháng mười, 
Mộc Thạnh chia đường từ Vân Nam tiến sang. 
Ta trước đã điều binh thủ hiểm, 
Chặt mũi tiên phong 
Sau lại sai tướng chẹn đường 
Tuyệt nguồn lương thực 
Ngày mười tháng tám, trận Chi Lăng, Liễu Thăng thất thế 
Ngày hai mươi, trận Mã Yên, Liễu Thăng cụt đầu 
Ngày hăm lăm, bá tước Lương Minh đại bại tử vong 
Ngày hăm tám, thượng thư Lý Khánh cùng kế tự vẫn. 
Thuận đà ta đưa lưỡi dao tung phá 
Bí nước giặc quay mũi giáo đánh nhau 
Lại thêm quân bốn mặt vây thành 
Hẹn đến giữa tháng mười diệt giặc 
Sĩ tốt kén người hùng hổ 
Bề tôi chọn kẻ vuốt nanh 
Gươm mài đá, đá núi cũng mòn 
Voi uống nước, nước sông phải cạn. 
Dánh một trận, sạch không kình ngạc 
Đánh hai trận tan tác chim muông. 
Cơn gió to trút sạch lá khô, 
Tổ kiến hổng sụt toang đê vỡ. 
Đô đốc Thôi Tụ lê gối dâng tờ tạ tội, 
Thượng thư Hoàng Phúc trói tay để tự xin hàng. 
Lạng Giang, Lạng Sơn, thây chất đầy đường 
Xương Giang, Bình Than, máu trôi đỏ nước 
Ghê gớm thay! Sắc phong vân phải đổi, 
Thảm đạm thay! Ánh nhật nguyệt phải mờ. 
Bị ta chặn ở Lê Hoa, 
Quân Vân Nam nghi ngờ, khiếp vía mà vỡ mật 
Nghe Thăng thua ở Cần Trạm, 
Quân Mộc Thạnh xéo lên nhau, chạy để thoát thân. 
Suối Lãnh Câu, máu chảy thành sông, 
Nước sông nghẹn ngào tiếng khóc 
Thành Đan Xá, thây chất thành núi, 
Cỏ nội đầm đìa máu đen. 
Cứu binh hai đạo tan tành, quay gót chẳng kịp, 
Quân giặc các thành khốn đốn, cởi giáp ra hàng 
Tướng giặc bị cầm tù, 
Như hổ đói vẫy đuôi xin cứu mạng 
Thần vũ chẳng giết hại, 
Thể lòng trời ta mở đường hiếu sinh 
Mã Kỳ, Phương Chính, cấp cho năm trăm chiếc thuyền, 
Ra đến biển mà vẫn hồn bay phách lạc, 
Vương Thông, Mã Anh, phát cho vài nghìn cỗ ngựa, 
Về đến nước mà vẫn tim đập chân run. 
Họ đã tham sống sợ chết mà hòa hiếu thực lòng 
Ta lấy toàn quân là hơn, để nhân dân nghỉ sức. 
Chẳng những mưu kế kì diệu 
Cũng là chưa thấy xưa nay 
Xã tắc từ đây vững bền 
Giang sơn từ đây đổi mới 
Càn khôn bĩ rồi lại thái 
Nhật nguyệt hối rồi lại minh 
Ngàn năm vết nhục nhã sạch làu 
Muôn thuở nền thái bình vững chắc 
Âu cũng nhờ trời đất tổ tông 
Linh thiêng đã lặng thầm phù trợ; 
Than ôi! Một cỗ nhung y chiến thắng, 
Nên công oanh liệt ngàn năm 
Bốn phương biển cả thanh bình, 
Ban chiếu duy tân khắp chốn. 
Xa gần bá cáo, 
Ai nấy đều hay.

-------------------------------------------------------------------------------------------

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống.

 Albert Einstein .

Nghe Hịch tướng sĩ trên biển Đông

TUẦN HÀNH CHỐNG Trung quốc XÂM LƯỢC LÃNH HẢI VIỆT NAM - Phần 4 .

 

Nghe Hịch tướng sĩ trên biển Đông 


Mắt hướng biển Đông, Hịch cầm tay 
Uy nghi người đứng Song Tử Tây 
Đầu đội trời xanh, chân đạp sóng 
Sóng Bạch Đằng Giang có về đây? 

Ba lần quét sạch giặc Nguyên Mông 
Hịch tướng sĩ văn dậy non sông 
Giờ ông ra biển cùng con cháu 
Một cõi trời nam dậy trống đồng 

Người nghe biển động phía Trường Sa 
Ngực trần chắn đạn lính đảo ta 
Những hồn lính trận chưa yên ngủ 
Mộ gió cồn cào với Gạc Ma 

Người nghe sóng dội phía Hoàng Sa 
Có kẻ hung hăng chiếm biển ta 
Đã cắm giàn khoan vào ngực biển 
Nhói lòng như chạm máu xương ta 

Sông núi ngàn năm vẫn còn đây 
Biển vẫn ngàn năm sóng dâng đầy 
Bao lớp giặc thù tan dưới sóng 
Từng trang sử biển bão giông này 

Người hỏi màu xanh lá phong ba 
Hồn cây thao thức với Trường Sa 
Con dân đất Việt còn thương nhớ 
Muôn trùng sóng mặn dội Hoàng Sa

 Nghe Hịch tướng sĩ ở Trường Sa 
Gối đầu trên sóng ngậm hờn ca 
Ca rằng: Muôn thuở non sông Việt 
Lớp lớp con dân giữ nước nhà 



NGUYỄN VIỆT CHIẾN 
5.2014 
18/05/2014 ( Theo báo Thanh Niên ) 

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

 Albert Einstein .