GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 12e . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Độ đo trung tâm .

 

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 12e . XÁC SUẤT THỐNG KÊ -  Độ đo trung tâm .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

12.  XÁC SUẤT - THỐNG KÊ  - Độ đo trung tâm .

12.5  Các khái niệm  .

12.5.1  Dữ liệu rời rạc .

a. Trung bình - Mean .
Trong toán học, trung bình có những định nghĩa khác nhau tùy thuộc vào ngữ cảnh. Trong xác suất và thống kê, trung bình và giá trị kỳ vọng sẽ được dùng đồng nghĩa để chỉ một độ đo xu hướng trung tâm hoặc của một phân bố xác suất hoặc các biến ngẫu nhiên đặc trưng bởi phân phối đó.
Giá trị trung bình của một mẫu ${x_1,x_2,...,x_n}$  thường ký hiệu là $\bar{x}$, là tổng của các giá trị lấy mẫu chia cho số lượng các phần tử trong mẫu:

    $\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$

Hiểu theo nghĩa đơn giản có nghĩa là : Tổng tất cả những con số và chia cho số các con số đó .

Ví dụ 1.  Khảo sát tuổi của 20 sinh viên năm thứ 1 tại một lớp ta có được số liệu sau (đơn vị : tuổi)
24,18,19,20,22,21,20,24,18,25,
17,18,24,22,19,21,19,20,17,21

 Tuổi trung bình của sinh viên lớp đó là
$\bar{x}=\frac{24+18+19+20+22+21+20+24+18+25+

17+18+24+22+19+21+19+20+17+21}{20}$ = 20.45

*Truy cập   http://www.mathsisfun.com/data/mean-machine.html

Nhập dữ liệu 
24,18,19,20,22,21,20,24,18,25,
17,18,24,22,19,21,19,20,17,21
và Click Go

Nhưng đôi khi giá trị trung bình có thể làm bạn thất vọng , không giúp bạn đưa ra một quyết định chính xác.

Ví dụ 2.   Huynh trưởng muốn biết tuổi trung bình của các hướng đạo sinh tham dự tại đêm lửa trại để lựa chọn một trò chơi vận động thích hợp .
Danh sách có 6 em ở độ tuổi 15 ,5 em ở độ tuổi 14 , 3 em  ở độ tuổi 13 , 3 em  ở độ tuổi  12  , 4 em  ở độ tuổi  11 ,  5 em  trong độ tuổi  6 và 4 em ở độ tuổi 5.

15,15,15,15,15,15,
14,14,14,14,14,
13,13,13,
12,12,12,
11,11,11,11,
6,6,6,6,6,
5,5,5,5

Tuổi trung bình là :
(15+15+15+15+15+15+14+14+14+14+14,+13+13+13+12+12+12+11+11+11+11+6+6+6+6+6+5+5+5+5) / 30 = 10,96 ...

Giá trị trung bình là chính xác, nhưng trong trường hợp này nó không hữu ích vì trò chơi vận động chung sẽ không phù hợp với lứa tuổi 5 và 6 .

Bạn có thể tính giá trị trung bình bằng cách nhóm các dữ liệu rời rạc theo bảng phân phối tần số như dưới đây
1.Lập bảng phân phối dữ liệu (ký hiệu tần số f).
2.Tính tích số  $f_i.X_i$ 
3.Tính tổng các $f_i.X_i$ , ký hiệu  $\sum_{N}^{i=1}f_i.X_i$
4.Tính giá trị trung bình  $\sum_{i=1}^{N}f_i.X_i/\sum_{i}^{N}f_i$

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/group-arithmetic-mean.php
Nhập dữ liệu như hình sau , Click Calculate

b.  Trung vị - Median .
-Nếu các quan sát của một biến nào đó được sắp xếp theo giá trị thì giá trị trung vị tương ứng với quan sát chính giữa trong danh sách thứ tự đó .
-Giá trị trung vị tương ứng với một tỷ lệ tích lũy (tần suất tích lũy) 50% (tức là 50% của giá trị là dưới mức trung vị và 50% của giá trị là trên mức trung vị).
-Vị trí của các trung vị là giá trị thứ  {(n + 1) / 2} , trong đó n là số các giá trị trong một tập hợp các dữ liệu.
-Để tính số trung vị , các dữ liệu trước tiên phải được xếp hạng (xếp theo thứ tự tăng dần). Số trung vị là số ở giữa.

Trung vị = giá trị chính giữa của một tập hợp các dữ liệu sắp thứ tự.

-Trung vị thường được tính toán đối với các biến (dữ liệu) dạng số, nhưng cũng có thể được tính cho các biến định tính được phân loại theo trình tự .
-Những dữ liệu định tính có thể được xếp theo thứ tự, chẳng hạn như các hạng mục trong một cuộc khảo sát về sự hài lòng :  xuất sắc (E - excellent) , tốt (G - good) , đạt yêu cầu (S - satisfactory)  và kém(P - poor) , hoặc trong việc khảo sát kết quả môn học phân loại theo  A(100-90) ,B(89-70) ,C(69-50) ,F( < 50)


Ví dụ 3.   Khảo sát giá xăng dầu ở 7 tiểu bang ở Mỹ , số liệu thu thập được như sau (đơn vị : USD/gal )
 1.75, 1.68 ,  1.92,  2.00,  1.87, 1.76 ,  2.10
Giá xăng trung vị là bao nhiêu ?

Sắp thứ tự các số liệu này từ nhỏ đến lớn
 1.68,1.75,1.76,1.87,1.92,2.05,2.10
Vị trí của các trung vị là giá trị thứ  {(n + 1) / 2} = (7+1)/2 =4
Giá xăng trung vị là 1.87

*Truy cập    https://www.easycalculation.com/statistics/mean-median-mode.php



Nhập số liệu  1.75,1.68,1.92,2.10,1.87,1.76,2.05
Click Calculate

Ví dụ 4.  Khảo sát tuổi của 20 sinh viên năm thứ 1 tại một lớp ta có được số liệu sau (đơn vị : tuổi)
24,18,19,20,22,21,20,24,18,25,
17,18,24,22,19,21,19,20,17,21

Sắp thứ tự các số liệu này từ nhỏ đến lớn
17,17,18,18,18,19,19,19,20,20,20,21,21,21,22,22,24,24,24,25
Vị trí của các trung vị là giá trị thứ  {(n + 1) ÷ 2} = (20+1)/2 =10.5
 Tuổi trung vị của sinh viên lớp đó là  (20+20)/2 = 20

c. Thường số - Mode .
Trong một tập hợp các dữ liệu, thường số (mode) là giá trị dữ liệu thường xuyên nhất được quan sát.
-Có thể không có thường số nếu không có giá trị nào xuất hiện nhiều hơn bất kỳ các giá trị khác.
-Cũng có thể có hai thường số  (bimodal), ba thường số (trimodal), hoặc bốn hoặc nhiều thường số (multimodal).
-Trong trường hợp của các phân bố tần số nhóm,  thường lớp là các lớp có các tần số xuất hiện lớn nhất.

Thường số  = giá trị dữ liệu được quan sát thường xuyên nhất

-Khi một tập hợp các dữ liệu có nhiều hơn một thường số , thi không nhất thiết chỉ ra đó là trung tâm của tập hợp dữ liệu.
-Các thường số sẽ gần với trung bình và trung vị nếu các dữ liệu có phân phối thường . Trong thực tế, nếu phân phối là đối xứng và đơn thường số thì trung bình, trung vị và thường số có thể có cùng giá trị.

Ví dụ 5.  Khảo sát về số giờ đến thư viện của An trong một tháng ta có dữ liệu sau  (đơn vị : giờ)
1, 7, 4, 8, 3, 5, 5, 2, 3, 6
Tìm thường số giờ của An.



Sắp thứ tự các số liệu này từ nhỏ đến lớn
  1,2, 3,3, 4, 5,5, 6,7,8
Thường số là 3 và 5

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/mean-median-mode.php

Ví dụ 6.  Tốc độ của các xe chở khách chạy trên xa lộ được đo trong bảng dưới đây  (đơn vị : mph)
24,  15,  17,  20,  18,  22,  21,  26,  16,  19
Tìm thường số tốc độ của các xe khách .

Sắp thứ tự các số liệu này từ nhỏ đến lớn
15,16,17,18,19,20,21,22,24,26
Không có thường số vì các số liệu đều có số lần xuất hiện như nhau .

12.5.2  Dữ liệu liên tục .

a. Trung bình - Mean .
Trung bình của tập hợp các dữ liệu liên tục được tính dựa trên bảng phân phối tần số dữ liệu nhóm , cách tính theo các bước sau .
+Bước 1. Phân nhóm theo từng khoảng giá trị .
+Bước 2. Nhân trung bình của nhóm và tần số của nhóm = Fx .
+Bước 3. Tổng các Fx chia cho tổng các tần số .

Ví dụ 7.  Điều tra về sức khỏe của 50 sinh viên có số liệu về chiều cao theo bảng sau (đơn vị : cm)
150,151,155,176,178,156,158,159,170,170,
167,167,160,172,173,160,161,174,175,161,
162,163,163,163,163,163,164,164,164,165,
165,165,166,157,158,166,167,168,168,169,
154,154,161,162,171,159,160,179,161,162 

Tìm trung bình chiều cao sinh viên ?

+Bước 1. Phân nhóm theo từng khoảng giá trị .
*Dùng  Frequency Distribution Statistics Calculator     https://goo.gl/D5vnZ0



Nhập số liệu vào Data Set ,chọn Group và số nhóm (Number of Groups) = 7 , Click Frequency Distribution

+Bước 2. Nhân trung bình của nhóm và tần số của nhóm = Fx .

+Bước 3. Tổng các Fx chia cho tổng các tần số .
(608+1099+2916+1837+1032+708)/(4+7+18+11+6+4) = 8200/50 = 164
Trung bình chiều cao sinh viên là  164

*Dùng  Grouped Mean Median Mode Calculator      https://goo.gl/QKUyja




Nhập số liệu vào Data Set ,chọn Group và số nhóm (Number of Groups) = 7 , Click Frequency Distribution

b. Trung vị - Median .
Việc tính toán trung vị của tập hợp các dữ liệu liên tục là khá lâu vì các dữ liệu đã được nhóm lại thành các khoảng và, do đó, tất cả các thông tin ban đầu đã bị mất. Một số sách giáo khoa chỉ đơn giản là lấy điểm giữa của khoảng là trung vị. Tuy nhiên, phương pháp đó là một cách đơn giản quá mức của giá trị thực. Hãy sử dụng các bước tính sau đây để tìm trung vị cho một phân bố tần số dữ liệu nhóm.

+Bước 1. Hãy chỉ ra khoảng chứa trung vị bằng công thức (n + 1) / 2 . Khoảng nào có chứa giá trị này được gọi là nhóm trung vị.

+Bước 2. Tìm bách phân tích lũy (tần suất tích lũy) của khoảng đứng trước nhóm trung vị. Gán cho giá trị này là A.

+Bước 3. Sử dụng tần suất tích lũy này, tính xem cần cộng thêm bao nhiêu để đạt đến 50% tổng số tần suất tích lũy. Giá trị này sẽ được gọi là B.

B = 50 - A

+Bước 4. Tìm xem phạm vi của khoảng là bao nhiêu . Gọi giá trị này là C. Sau đó, tìm tần suất cho khoảng trung vị. Gọi giá trị này là D.

+Bước 5.  Tính toán xem có bao nhiêu giá trị dữ liệu bạn phải đếm trong nhóm trung vị để có được 50% của toàn thể tập dữ liệu bằng cách sử dụng công thức sau đây. Gọi giá trị này là E.

E = B.C / D

+Bước 6.Tìm giá trị trung vị  bằng cách cộng thêm giá trị cận dưới của khoảng trung vị với E

Trung vị = cận dưới + E  =  cận dưới + B.D / C

Nếu tần số tích lũy đối với khoảng chính xác là 50%, thì giá trị trung vị sẽ là điểm cuối của khoảng này.

Ví dụ 8.  Điều tra về sức khỏe của 50 sinh viên có số liệu về chiều cao theo bảng sau (đơn vị : cm)
150,151,163,155,176,178,156,159,170,170,
167,167,160,172,173,160,161,174,161,163,
162,163,175,163,158,163,164,164,164,165,
165,165,166,157,158,166,167,168,168,169,
154,154,161,162,171,159,160,179,161,162 

Tìm trung vị chiều cao sinh viên ?

Lập bảng phân phối tần số tích lũy

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/cumulative-relative-frequency.php
Nhập số liệu vào Data Set ,chọn Group và số nhóm (Number of Groups) = 7 , Click Frequency Distribution

+Bước 1. Hãy chỉ ra khoảng chứa trung vị bằng công thức (n + 1) / 2 . Khoảng nào có chứa giá trị này được gọi là nhóm trung vị.
Trung vị = giá trị thứ {(n + 1) / 2}
= (50 + 1) / 2
= 51 / 2
= 25.5
Khoảng [160-165] có chứa giá trị này được gọi là nhóm trung vị.

+Bước 2. Tìm bách phân tích lũy (tần suất tích lũy) của khoảng đứng trước nhóm trung vị. Gán cho giá trị này là A.

 Tần suất tích lũy đứng trước nhóm trung vị là  0.22  hay 22 (%)  , A = 22

+Bước 3. Sử dụng tần suất tích lũy này, tính xem cần cộng thêm bao nhiêu để đạt đến 50% tổng số tần suất tích lũy. Giá trị này sẽ được gọi là B.
 
B = 50 - A = 50 - 22 = 28

+Bước 4. Tìm xem phạm vi của khoảng là bao nhiêu . Gọi giá trị này là C. Sau đó, tìm tần suất cho khoảng trung vị. Gọi giá trị này là D.
Phạm vi của khoảng là  165 - 160 = 5   vậy  C = 5
Tần suất khoảng trung vị là  0.36  hay  36 (%)  , D = 36

+Bước 5.  Tính toán xem có bao nhiêu giá trị dữ liệu bạn phải đếm trong nhóm trung vị để có được 50% toàn thể tập dữ liệu bằng cách sử dụng công thức sau đây. Gọi giá trị này là E.
E = B.C / D  = 28 x 5 / 36 = 3.89

+Bước 6.Tìm giá trị trung vị  bằng cách cộng thêm giá trị cận dưới của khoảng trung vị với E

Trung vị = cận dưới + E  =  cận dưới + B.D / C  ( cận dưới = 160 )
= 160 + 3,89 = 163.89

Thêm cột tần số tích lũy vào bảng và tính toán kết quả như sau

c. Thường số - Mode .
-Khi các biến liên tục hay rời rạc được nhóm lại trong bảng, thường số được định nghĩa là khoảng lớp , nơi hầu hết các quan sát đều xuất hiện . Đây được gọi là khoảng thường lớp.

-Thường số ít được sử dụng như một độ đo về xu hướng trung tâm cho các biến dạng số. Tuy nhiên, đối với các biến phân loại hoặc định tính , thường số là hữu dụng hơn vì trung bình và trung vị không có ý nghĩa trong phân tích .

-Thường số có thể được sử dụng với dữ liệu phân loại (biến định tính) , nhưng trung bình và trung vị có thể không cần dùng đến .Thường số có thể hoặc không thể tồn tại, và có thể có nhiều giá trị khác nhau .



Trong ví dụ về chiều cao của 50 sinh viên, khoảng thường lớp là  [160 -165]  vì có hầu hết các quan sát trong khoảng này.

Nhưng thường số thực tế có thể không phải trong nhóm đó! Hoặc có thể có nhiều hơn một thường số . Nếu không có các dữ liệu rời rạc , chúng ta thực sự không biết được giá trị thường số .
 Có thể ước tính thường số bằng cách sử dụng công thức sau đây :

Thường số ước lượng = Cận dưới ước lượng  +  C.(FTL - F0) / (2FTL - F0 - F1)

Cận dưới ước lượng = Cận dưới khoảng thường lớp - ( Cận dưới khoảng thường lớp - Cận trên khoảng trước thường lớp ) / 2
C =  Phạm vi của khoảng thường lớp 
FTL = Tần số của nhóm thường lớp
F0 = Tần số của nhóm trước thường lớp
F1 = Tần số của nhóm sau thường lớp

Ví dụ 9.  Điều tra về sức khỏe của 50 sinh viên có số liệu về chiều cao theo bảng sau (đơn vị : cm)
150,151,163,155,176,178,156,159,170,170,
167,167,160,172,173,160,161,174,161,163,
162,163,175,163,158,163,164,164,164,165,
165,165,166,157,158,166,167,168,168,169,
154,154,161,162,171,159,160,179,161,162 

Tìm thường số chiều cao sinh viên ?

Lập bảng phân phối tần số tích lũy như ở ví dụ 6 , khoảng thường lớp là  [160 -165] , cận dưới ước lượng = 160 - (160 - 159) / 2 = 160 - 0.5 = 159.5 , phạm vi C = 165 - 160 = 5 , F0 = 7 , F1 = 11 ,  FTL = 18

Thường số ước lượng = Cận dưới ước lượng +  C.(FTL - F0) / (2FTL - F0 - F1)
=  159.5 + 5x(18 - 7) / (2x18 - 7 - 11) = 159.5 + 3.06 = 162.56

Bạn có thể dùng công cụ meta-calculator trực tuyến để tìm các giá trị trung bình , trung vị và thường số .

*Truy cập    http://www.meta-calculator.com/online/?panel-401-basic-stats-input

Nhập liệu như hình vẽ , click  Calculate Statistics

12.5.3  Trung bình có trọng số .

a. Trung bình ( đơn giản) - Mean .
Giá trị trung bình (đơn giản) của một mẫu ${x_1,x_2,...,x_n}$  ký hiệu là $\bar{x}$, là tổng của các giá trị lấy mẫu chia cho số lượng các phần tử trong mẫu:

 $\bar{x} = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}=x_1\frac{1}{n}+x_2\frac{1}{n}+\cdots +x_n\frac{1}{n}$

Khi chúng ta tìm trung bình đơn giản cho các giá trị của một tập dữ liệu , chúng ta cung cấp cho mỗi giá trị một trong số bằng nhau là 1/n .

Ví dụ 10.  Khảo sát điểm thi môn khoa học của 10 học sinh tại một lớp ta có được số liệu sau (đơn vị : điểm)
74,48,59,80,62,71,80,54,80,55

Điểm trung bình của học sinh  lớp đó là
$\bar{x}=\frac{74+48+59+80+62+71+80+54+80+55}{10}$ = 66.3

Có thể hiểu là mỗi giá trị điểm đều có cùng một trọng số là 1/10 như sau

$\bar{x}=\frac{1}{10}74+\frac{1}{10}48+\frac{1}{10}59+\frac{13}{60}80+\frac{1}{10}62+\frac{1}{10}71+\frac{13}{60}80+\frac{1}{10}54+\frac{13}{60}80+\frac{1}{10}55$ = 66.3


b. Trung bình có trọng số - Weighted Mean .
Là trung bình được tính khi có một số giá trị xuất hiện (đóng góp) nhiều hơn những giá trị dữ liệu khác .
Khi tìm trung bình có trọng số cho các giá trị của một tập dữ liệu , chúng ta cung cấp cho mỗi giá trị một trọng số không bằng nhau .

$\bar{x}=\sum_{k=1}^{n}W_kX_k /\sum_{k-1}^{n}W_k$

Trong đó $W_k$ là trọng số tương ứng với biến dữ liệu $X_k$

Xét ví dụ trên nếu ta gán trọng số là 0,05 cho các giá trị khác và trọng số 0.65 cho giá trị 80 , khi đó trung bình có trọng số sẽ là

$\bar{x}=\frac{1}{20}74+\frac{1}{20}48+\frac{1}{20}59+\frac{13}{60}80+\frac{1}{20}62+\frac{1}{20}71+\frac{13}{60}80+\frac{1}{20}54+\frac{13}{60}80+\frac{1}{20}55$ = 73.15

Trung bình có trọng số khác với trung bình theo nghĩa đơn giản . Trong một số bài toán có tinh chọn lựa bạn thường phải sử dụng đến trung bình có trọng số để đưa ra quyết định tốt nhất .

Ví dụ 11.  Bạn Thái muốn mua một máy chụp ảnh và quyết định dựa trên các tham số sau
 Chất lượng ảnh  (CA) 50% (0.5)
 Thời gian pin  (TP) 30%      (0.3)
 Độ phóng đại (DP) 20%     (0.2)
Sau khi tham khảo 2 loại máy của hãng Angelux và Boundlux với các số liệu như sau
Hiệu Angelux :  8 điểm CA , 6 điểm TP  và 7 điểm DP
Hiệu Boundlux : 9 điểm CA , 4 điểm TP  và 6 điểm DP
Máy ảnh nào là tốt nhất ?

Angelux : 0.5 × 8 + 0.3 × 6 + 0.2 × 7 = 7.2

Boundlux : 0.5 × 9 + 0.3 × 4 + 0.2 × 6  = 6.9

Bạn Thái sẽ mua máy ảnh hiệu Angelux .


Tổng kết

Tóm lại , tùy theo những trường hợp khảo sát chúng ta sẽ chỉ ra một trong các độ đo xu hướng trung tâm như trung bình, trung vị hoặc thường số cái nào là thích hợp nhất. Nếu bạn quan tâm đến một tổng thể thì trung bình  được xem là độ đo có ý nghĩa nhất của xu hướng trung tâm vì nó là tổng các giá trị chia cho số lượng dữ liệu. Ví dụ, thu nhập trung bình của các cá nhân trong một gia đình cho biết mỗi thành viên gia đình có thể chi tiêu  bao nhiêu cho nhu cầu thiết yếu của cuộc sống. Độ đo trung bình là tốt cho việc tìm kiếm các giá trị trung tâm và thường số được sử dụng để mô tả các trường hợp điển hình nhất.




Trần hồng Cơ
Ngày 06/01/2016




------------------------------------------------------------------------------------------- -

Bậc thềm tiến vào thánh đường của trí tuệ là biết sự ngu dốt của chính mình. 

The doorstep to the temple of wisdom is a knowledge of our own ignorance. 

Benjamin Franklin