GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 12f . XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Độ đo phân tán .

 

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 12f . XÁC SUẤT THỐNG KÊ -  Độ đo phân tán .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

12.  XÁC SUẤT - THỐNG KÊ  - Độ đo phân tán .

12.6  Các khái niệm  .

12.6.1  Khoảng giá trị - Range .

a. Khoảng giá trị trong giải tích .

-Trong giải tích , phạm vi - hay khoảng giá trị -chỉ về tập giá trị của hàm số cho trước .
Cho hàm số  $y=f(x)=\sqrt{x-3}$
Tập xác định là  $D = [3,+\infty)$
Tập giá trị là  $T = [0,+\infty)$
Khoảng giá trị là   $ [0,+\infty)$

Nếu bạn chọn biến số x trên đoạn $[4,12]$  khi đó khoảng giá trị của hàm số sẽ là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó $[minf(x) , Maxf(x)] = [1,3]$

b. Khoảng giá trị trong thống kê .

-Trong số học, khoảng giá trị của một tập hợp các dữ liệu là sự sai biệt giữa giá trị lớn nhất (Max) và nhỏ nhất (min) có trong tập hợp.
Tuy nhiên, trong thống kê mô tả, khái niệm về khoảng giá trị có một ý nghĩa phức tạp hơn. khoảng giá trị đó là kích thước của khoảng nhỏ nhất chứa tất cả các dữ liệu và cung cấp một dấu hiệu của sự phân tán thống kê. Nó được đo với cùng đơn vị như các dữ liệu. Vì nó chỉ phụ thuộc vào hai trong số các quan sát, nên rất có ích trong việc đại diện cho độ phân tán của các tập dữ liệu nhỏ.

Ví dụ 1.  Điều tra về số tuổi của thiếu niên tham gia môn bơi lội tại một câu lạc bộ ta có số liệu sau
 4,6,5,11,9,10,8,11,12,6 . Tìm khoảng giá trị của tập dữ liệu .

Sắp thứ tự các số liệu   4,5,6,6,8,9,10,11,11,12
Max = 12 , min = 4
khoảng giá trị = 12 - 4 = 8
Lưu ý : khoảng giá trị có thể tạo ra sự sai lầm khi trong tập dữ liệu có giá trị cực cao hoặc cực thấp .

Xét tập dữ liệu A = {10, 11, 8, 9, 7, 12, 4578}  có phạm vi là  4578 - 7 = 4571 giá trị này rất lớn có vẻ chỉ ra rằng c1o nhiều dữ liệu phân bố từ 7 đến 4578  nhưng thực tế đa số các số liệu lại tập trung quanh số 10 .
Để xác định độ phân tán  chúng ta có thể sử dụng khoảng tứ phân vị hoặc độ lệch chuẩn .

12.6.2  Tứ phân vị - Quartile .
a. Tứ phân vị .
Tứ phân vị là những giá trị phân chia một danh sách các số liệu thành các phần tư . Cách xác định tứ phân vị rất đơn giản tuân theo các bước sau
    - Đầu tiên sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
    - Sau đó cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau
     Các tứ phân vị là các vị trí cắt .

Các tứ phân vị đầu tiên, hoặc bách phân vị thứ 25 ký hiệu xL (cũng viết là Q1), là số mà 25% các giá trị trong tập dữ liệu đều nhỏ hơn xL.

Các tứ phân vị thứ hai hoặc bách phân vị thứ 50, xm (cũng viết là Q2) cũng được gọi là trung vị . Nó đại diện cho các giá trị mà 50% các quan sát là thấp hơn và 50% là cao hơn.

Các tứ phân vị thứ ba hoặc bách phân vị thứ 75 , xH (Q3) là giá trị mà 75%  các quan sát là ít hơn xH

Ví dụ 2.  Thời gian giải loạt bài tập của bạn Hải theo thứ tự từ bài 1 đến 7 được cho bởi số liệu sau (đơn vị : phút)
 5 , 4 , 7 , 9 , 8 , 3 , 5 . Hãy tìm các tứ phân vị .

-Sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
3,4,5,5,7,8,9
-Cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau

*** Tính các tứ phân vị
Gọi n là số các quan sát x1,x2,...,xn là các giá trị được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn

+Công thức tính xL .
Nếu $\frac{1}{4}(n+1)$  là nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL = $x_{\frac{1}{4}(n+1)}$

Nếu $\frac{1}{4}(n+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL =
$x_{integer(\frac{1}{4}(n+1))}+(x_{integer(\frac{1}{4}(n+1))+1}-x_{integer(\frac{1}{4}(n+1))}) (decimal(\frac{1}{4}(n+1)))$


+Công thức tính xm .
Nếu $\frac{2}{4}(n+1)$  là nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm = $x_{\frac{2}{4}(n+1)}$

Nếu $\frac{2}{4}(n+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm =
$x_{integer(\frac{2}{4}(n+1))}+(x_{integer(\frac{2}{4}(n+1))+1}-x_{integer(\frac{2}{4}(n+1))}) (decimal(\frac{2}{4}(n+1)))$

+Công thức tính xH .
Nếu  $\frac{3}{4}(n+1)$   là nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH = $x_{\frac{3}{4}(n+1)}$

Nếu $\frac{3}{4}(n+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH =
$x_{integer(\frac{3}{4}(n+1))}+(x_{integer(\frac{3}{4}(n+1))+1}-x_{integer(\frac{3}{4}(n+1))}) (decimal(\frac{3}{4}(n+1)))$

Trong ví dụ 2 với n = 7 nên
$\frac{1}{4}(7+1)$  là nguyên , xL = $x_{\frac{1}{4}(7+1)}$ = x2 = 4
$\frac{2}{4}(7+1)$  là nguyên , xm = $x_{\frac{2}{4}(7+1)}$ = x4 = 5
$\frac{3}{4}(7+1)$   là nguyên , xH = $x_{\frac{3}{4}(7+1)}$ = x6 = 8


Ví dụ 3.  Thời gian vòi nước chảy đầy 8 bình chứa theo thứ tự được cho bởi số liệu sau (đơn vị : phút)
6,  5 , 5 , 7 , 9 , 8 , 4 , 8 . Hãy tìm các tứ phân vị .

-Sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
4,4,5,6,7,8,9,9
-Cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau

Với n = 8
Vì $\frac{1}{4}(8+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL =
$x_{integer(\frac{1}{4}(8+1))}+(x_{integer(\frac{1}{4}(8+1))+1}-x_{integer(\frac{1}{4}(8+1))}) \frac{1}{4}$ = x2 + (x3-x2).0.25 = 4+(5-4).0.25 = 4.25
 ( 0.25 = phần thập phân của (8+1)/4 )

Vì $\frac{2}{4}(8+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm =
$x_{integer(\frac{2}{4}(8+1))}+(x_{integer(\frac{2}{4}(8+1))+1}-x_{integer(\frac{2}{4}(8+1))}) \frac{2}{4}$ = x4 + (x5-x4).0.5 = 6+(7-6).0.5 = 6.5  (trung vị không trùng với giá trị dữ liệu)
 ( 0.5 = phần thập phân của 2.(8+1)/4 )

Vì $\frac{3}{4}(8+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH =
$x_{integer(\frac{3}{4}(8+1))}+(x_{integer(\frac{3}{4}(8+1))+1}-x_{integer(\frac{3}{4}(8+1))}) \frac{3}{4}$= x6 +(x7-x6). 0.75 = 8+(9-8).0.75 = 8.75
 ( 0.75 = phần thập phân của 3.(8+1)/4 )

Ví dụ 4.  Khào sát số lượt truy cập vào trang web của trường trung học Lakeshire trong 9 tuần thu được số liệu (đơn vị : lượt)
250 , 365 , 300 , 241 , 958  , 521 , 840 , 1027 , 421.  Hãy tìm các tứ phân vị .

-Sắp danh sách các số liệu theo thứ tự
241,250,300,365,421,521,840,958,1027
-Cắt danh sách thành bốn phần bằng nhau

Với n = 9
Vì $\frac{1}{4}(9+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ nhất là xL =
$x_{integer(\frac{1}{4}(9+1))}+(x_{integer(\frac{1}{4}(9+1))+1}-x_{integer(\frac{1}{4}(9+1))}) \frac{1}{4}$ = x2 + (x3-x2).0.5 = 250+(300-250).0.5 =275
 ( 0.5 = phần thập phân của (9+1)/4 )

Vì $\frac{2}{4}(9+1)$   nguyên , tứ phân vị thứ hai là xm =$x_{\frac{2}{4}(9+1)}$ = x5 = 421 (trung vị trùng với giá trị dữ liệu)

Vì $\frac{3}{4}(9+1)$   không nguyên , tứ phân vị thứ ba là xH =
$x_{integer(\frac{3}{4}(9+1))}+(x_{integer(\frac{3}{4}(9+1))+1}-x_{integer(\frac{3}{4}(9+1))}) \frac{3}{4}$= x7 +(x8-x7). 0.5 = 840+(958-840).0.5 = 899
 ( 0.5 = phần thập phân của 3.(9+1)/4 )


Ví dụ 5.  Lương tháng bình quân của 10 nhân viên công ty FeedMax trong một năm có số liệu như sau
(đơn vị : USD/tháng )
800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753  .  Hãy tìm các tứ phân vị .

Bạn đọc có thể dùng công cụ trực tuyến hoặc bằng phương pháp nội suy để tính toán các tứ phân vị .

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/quartiles/
Nhập các số liệu  800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753
Click Submit Data

b.Khoảng liên tứ phân vị .
-Trong thống kê mô tả, khoảng tứ phân vị (Interquartile Range - IQR), là một độ đo về sự phân tán thống kê, được tính bằng chênh lệch giữa các tứ phân vị thứ 3 và thứ 1, ký hiệu

 IQR = Q3 - Q1.

Nói cách khác,  IQR là sai biệt giữa tứ phân vị 3 và tứ phân vị thứ 1, các tứ phân vị có thể được nhìn thấy rõ ràng trên đồ thị hộp dữ liệu.

-Không giống như khoảng giá trị toàn bộ , khoảng liên tứ phân vị có một điểm phân tích thống kê 50%, và do đó thường được ưa chuộng hơn khoảng giá trị toàn bộ . Các IQR được sử dụng để xây dựng các đồ thị hộp, là một dạng biểu diễn đồ họa đơn giản của phân phối xác suất.

Ví dụ 6.  Lương tháng bình quân của 10 nhân viên công ty FeedMax trong một năm có số liệu như sau
(đơn vị : USD/tháng )
800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753  .  Hãy tìm các tứ phân vị và khoảng liên tứ phân vị .

Như đã tính được ở ví dụ 4 , xL = Q1 = 751.5 , xH = Q3 = 942.5
Khoảng liên phân vị  IQR = Q3 - Q1 = 942.5 - 751.5 = 191

*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/interquartile-range/ 
Nhập các số liệu  800,918,865,704,1016,747,773,852,1138,753
Click Submit Data

c. Biểu đồ hộp và dây .

+Biểu đồ hộp là sơ đồ cung cấp hình ảnh đại diện cho sự phân bố của dữ liệu, nêu bật nơi hầu hết các giá trị xuất hiện và những giá trị khác biệt được gọi là giá trị ngoại lai.
+Biểu đồ hộp cũng được gọi là đồ thị hộp và dây hay sơ đồ hộp và dây có thể được vẽ theo chiều đứng hoặc ngang .
+Các yếu tố của biểu đồ hộp đứng (ngang) như sau
-Cạnh đáy (cạnh bên trái) của hộp đại diện cho tứ phân vị đầu tiên, và cạnh trên (cạnh bên phải)  là tứ phân vị thứ ba.
-Bề rộng theo phương dọc (ngang) của hộp trung tâm đại diện cho độ lệch liên tứ phân IQR .
-Đường ngang (dọc) bên trong hộp là trung vị.
-Dây là các đoạn thẳng đứng (ngang) nhô ra khỏi hộp mở rộng đến các giá trị tối thiểu (min) và tối đa (max) của tập dữ liệu, (miễn là các giá trị này không phải là giá trị ngoại lai ). Các đầu dây được đánh dấu bởi hai đường ngang (dọc) ngắn hơn .
-Giá trị cao hơn so với Q3 + 1.5IQR hoặc thấp hơn Q1-1.5IQR được coi là giá trị ngoại lai và được vẽ phía trên (bên phải) các đầu dây trên (bên phải) hoặc phía dưới (bên trái) đầu dây dưới (bên trái) .

Ví dụ 7.  Khào sát số lượt truy cập vào trang web của trường trung học Lakeshire trong 9 tuần thu được số liệu (đơn vị : lượt) 250 , 365 , 300 , 241 , 958  , 521 , 840 , 1027 , 421.
Như đã tính được ở ví dụ 3 , xL = Q1 = 275 , xm = Q2 = 421 , xH = Q3 =899
Khoảng liên phân vị  IQR = Q3 - Q1 = 899 - 275 =624

-Vẽ biểu đồ hộp đứng .
*Truy cập   http://www.alcula.com/calculators/statistics/box-plot/
Nhập các số liệu  250 , 365 , 300 , 241 , 958  , 521 , 840 , 1027 , 421.
Click Submit Data

-Vẽ biểu đồ hộp ngang .
*Truy cập   http://www.imathas.com/stattools/boxplot.html
Nhập các số liệu
Median: 421
Minimum: 241
Maximum: 1027
Q1 = First quartile: 275
Q3 = Third quartile: 899Click Draw Here

12.6.3  Bách phân vị - Quartile .
a. Bách phân vị .
-Bách phân vị (percentile hoặc centile) là một độ đo được sử dụng trong thống kê cho thấy các giá trị mà dưới nó có một tỷ lệ bách phân nhất định của các quan sát ( trong một nhóm các quan sát ) có thể rơi vào đó. 
-Bách phân vị và thứ hạng bách phân vị thường được sử dụng trong các báo cáo của các điểm số từ các bài kiểm tra định chuẩn tham chiếu.
-Bách phân vị thứ 25 còn được gọi là tứ phân vị thứ 1 (Q1), bách phân vị thứ 50 là trung vị hoặc tứ phân vị thứ hai (Q2), và 75 phần trăm là tứ phân vị thứ ba (Q3). Nói chung, bách phân vị và tứ phân vị là loại hình cụ thể của phân vị.

Ví dụ 8. 
-Nếu điểm số của bạn Becky là bách phân vị thứ 78, nghĩa là điểm số đó cao hơn so với 78% các điểm số khác.

-Chiều cao của Jack là 1.72m ở bách phân vị thứ 20 nghĩa là dưới 1.72m có 20 phần trăm của các quan sát có thể được tìm thấy.

b. Các phương pháp tính bách phân vị .
*Tìm thứ hạng bách phân vị biết các dữ liệu cho trước 
Thứ hạng bách phân vị được tính bởi công  thức
   P[r] = (L+0.5S)/N * 100
Trong đó,
L = Số các phần tử xếp dưới thứ hạng .
S = Số các phần tử có cùng thứ hạng .
N = Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu .

Ví dụ 9. 
a. Trong đợt kiểm tra cuối kỳ môn Khoa học , điểm số của bạn Becky và Mike là bằng nhau và cùng đứng ở thứ hạng 5 trên 10 . Hãy tìm thứ hạng bách phân vị của 2 bạn này .

Có thể sắp xếp thứ hạng như sau   1,2,3,4,  5,5,  6,7,8,9,10
L = Số các phần tử xếp dưới thứ hạng = 4.
S = Số các phần tử có cùng thứ hạng = 2.
N = Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu = 11
 Thứ hạng bách phân vị là
   P[r] = (L+0.5S)/N * 100 = (4+0.5x2)/11 = 45.45



b. Trong kỳ thi môn thể dục ở môn chạy việt dã Jack đứng ở thứ hạng 3 trên 9 .
Hãy tìm thứ hạng bách phân vị của Jack.

Có thể sắp xếp thứ hạng như sau   1,2,  3  ,4,5,6,7,8,9
L = Số các phần tử xếp dưới thứ hạng = 2.
S = Số các phần tử có cùng thứ hạng = 1.
N = Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu =9
 Thứ hạng bách phân vị là
   P[r] = (L+0.5S)/N * 100 = (2+0.5x1)/9 =27.77

*Truy cập   http://calculator.tutorvista.com/percentile-calculator.html
-Enter the scores (separated by comma ',') :  Nhập  1,2,3,4,  5,5,  6,7,8,9,10
-Enter the score : Nhập 5
Click  Calculate Percentile 

*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/percentile-rank.php

-Enter the Scores separated by comma, : Nhập   1,2,3,4,5,6,7,8,9
-Enter the Score :  Nhập  3
-Click Calculate

Bạn có thể nhập số liệu trực tiếp vào calci dưới đây





*Tìm giá trị dữ liệu biết bách phân vị cho trước
Từ công thức
[r] = P/100 x (N + 1)
Có N (Tồng số các phần tử trong tập dữ liệu) và P (bách phân vị cho trước) bạn tìm được [r] ,
xác định I[r] : phần nguyên của [r] và D[r] : phần thập phân của [r]
Gọi giá trị tương ứng với I[r] , I[r]+1 là x(I[r]) và x(I[r]+1) , giá trị dữ liệu cần tìm (nội suy) là x
x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])}

Ví dụ 10. 
a. Trong đợt kiểm tra trắc nghiệm môn Máy tính của nhóm 8 bạn , điểm số được cho ở bảng sau . Hãy tìm điểm số đứng ở thứ hạng bách phân vị 25 ; bách phân vị 40 .

P = 25
Từ  [r] = P/100 x (N + 1) = 25/100 x (8+1) = 9/4 = 2.25
Vậy I[r] = 2 và D[r] = 0.25
Tìm giá trị dữ liệu ở dòng thứ hạng ta có I[r] = 2 và I[r]+1 = 3
x(2) = 5 , x(3) = 7
Khi đó  x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])} = 5 + 0.25x(7 - 5) = 5.5
Giá trị điểm số đứng ở thứ hạng bách phân vị 25 là x = 5.5

P = 40
Từ  [r] = P/100 x (N + 1) = 40/100 x (8+1) = 36/10 = 3.6
Vậy I[r] = 3 và D[r] = 0.6
Tìm giá trị dữ liệu ở dòng thứ hạng ta có I[r] = 3 và I[r]+1 = 4
x(3) = 7 , x(4) =8
Khi đó  x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])} = 7 + 0.6x(8 - 7) = 7.6
Giá trị điểm số đứng ở thứ hạng bách phân vị 40 là x = 7.6

 b. Điều tra về chiều cao của thanh niên tham gia câu lạc bộ khiêu vũ ta có số liệu sau
 169,170,171,172,175,177,179,180,180,184,185,185,188,190,190  (đơn vị : cm)
Hãy tìm chiều cao đứng ở thứ hạng bách phân vị 72 .

P = 72
Từ  [r] = P/100 x (N + 1) = 72/100 x (15+1) = 11.52
Vậy I[r] = 11 và D[r] = 0.52
Tìm giá trị dữ liệu ở dòng thứ hạng ta có I[r] = 11 và I[r]+1 =12
x(11) = 185 , x(12) =185
Khi đó  x = x(I[r]) + D[r].{x(I[r]+1) - x(I[r])} = 185 + 0.52x(185 - 185) = 185
Giá trị chiều cao đứng ở thứ hạng bách phân vị 72 là x = 185

*Ước lượng thứ hạng bách phân vị dựa trên tỷ lệ
-Khi tỷ lệ phần trăm các trường hợp có vị trí bằng hoặc thấp hơn một điểm số ( giá trị dữ liệu) nào đó.
Ta chỉ tính một nửa số trường hợp tại điểm số.

Ví dụ 11.   Thống kê điểm thi giữa kỳ môn Toán của lớp Becky  có 8%  học sinh xếp hạng A, 30% học sinh xếp hạng B, 50%   học sinh xếp hạng C và 12% học sinh xếp hạng D . Becky được xếp hạng B và Mike được xếp hạng C . Hãy ước lượng bách phân vị của Becky và Mike .

Nếu Becky được xếp hạng B thì thứ hạng bách phân vị là một nửa của 30% đạt B cộng với 50% đạt C và 12% đạt D, khi đó tổng số bách phân vị là 15% + 50% + 12% = 77% . Nói cách khác Becky được xếp hạng "bằng hoặc tốt hơn so với 77% sĩ số của lớp" .

Tương tự Mike được xếp hạng C nên thứ hạng bách phân vị  là một nửa của 50% đạt C cộng với  12% đạt D, khi đó tổng số bách phân vị là 25% + 12% = 37% . Vậy Mike được xếp hạng "bằng hoặc tốt hơn so với 37% sĩ số của lớp" .

*Ước lượng thứ hạng bách phân vị và giá trị dữ liệu dựa vào biểu đồ 
-Khi thống kê dữ liệu được mô tả bởi biểu đồ đoạn thẳng , bạn có thể tính toán thứ hạng bách phân vị hoặc giá trị dữ liệu . 
-Vẽ biểu đồ đoạn thẳng ( có thể nối các điểm dữ liệu bằng các đoạn cong trơn)
-Dùng phép chiếu tọa độ để ước lượng dữ liệu theo yêu cầu và tính bách phân vị .
Áp dụng công thức  P[r] = (L+0.5S)/N * 100  với S = 0  ta có
P[r] = L/N * 100

Ví dụ 12. 
Điều tra về số lượng thỏ trên đảo Pachutta theo thời gian ta có bảng số liệu sau
1950 : 0  ,  1960 : 600  ,  1970 : 1600  ,  1980 : 4780  , 
1990 : 6005  ,  2000 : 6850  ,  2010 : 7400
Hãy ước lượng bách phân vị của tổng đàn thỏ trước năm 1996 ( sai biệt 5% )

-Vẽ biểu đồ đoạn
*Truy cập   https://www.easycalculation.com/graphs/line-graph.php
Nhập dữ liệu như hình sau

Nhập dữ liệu vào calci dưới đây



Để ước lượng bách phân vị của tổng đàn thỏ trước năm 1996 , áp dụng phép chiếu tọa độ ta có khoảng giá trị cần tinh là [ 6005 , 6850 ] với miền xác định là [ 1990 , 2000]
Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm (1990;6005)  và  (2000;6850)

*Dùng  widget  H10.II.1 DUONG THANG DIEM-DIEM     http://goo.gl/KHbvGD
Lưu ý : khi nhập liệu cho widget bạn có thể rút gọn như sau  (1.990;6.005)  và  (2.000;6.850)

Với x = 1.996 ( năm 1996 )  ta tính được  y = 6.512  hay 6512
Khi đó bách phân vị của tổng đàn thỏ trước năm 1996 là
P[r] = L/N * 100 =  6512 / ( 7400 - 0 ) *100 = 88,00
Sai biệt +5% ta có P[r] = 88 + 5 = 93
Sai biệt - 5% ta có P[r] = 88 - 5 = 83 



12.6.4  Độ lệch trung bình - Mean Deviation .
a. Độ lệch trung bình - dữ liệu rời rạc .
-Độ lệch trung bình (hay độ lệch tuyệt đối trung bình) là trung bình của các độ lệch tuyệt đối của các giá trị của một tập hợp dữ liệu với giá trị trung bình của nó .
-Nói đơn giản là trung bình các khoảng cách từ mọi dữ liệu đến giá trị trung bình của tập dữ liệu đó .
-Với một mẫu có kích thước N , độ lệch trung bình được xác định bởi

$MD=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}|x_k-\mu|$

Trong đó $\mu$  là giá trị trung bình của tập dữ liệu .

Có 3 bước để tìm độ lệch trung bình MD
    1. Tìm trung bình của tập dữ liệu $\mu$ .
    2. Tìm độ lệch (khoảng cách) từ mọi dữ liệu đến giá trị  $\mu$ .
    3. Tìm trung bình các độ lệch này .


Ví dụ 13.  Điểm thực hành môn máy tính của 8 bạn trong nhóm của Billy là  6, 3, 7, 11, 6, 15, 8, 16 . Tìm trung bình và độ lệch trung bình .

Bước 1. Tìm trung bình của tập dữ liệu $\mu$ .
$\mu$ = (3 + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16)/8 = 72/8 = 9
Bước 2. Tìm độ lệch (khoảng cách) từ mọi dữ liệu đến giá trị  $\mu$ .
|3 - 9| = 6 ; |6 - 9| = 3 ; |6 - 9| = 3 ; |7 - 9| = 2 ; |8 - 9| = 1 ; |11 - 9| = 2 ; |15 - 9| =6 ; |16 - 9| =7
Bước 3.  Tìm trung bình các độ lệch này .
MD = (6 + 3 + 3 +2 + 1 + 2 + 6 + 7)/8 = 30/8 = 3.75
 

Độ lệch trung bình (Mean Deviation) cho chúng ta biết khoảng cách từ các giá trị của tập dữ liệu so với giá trị trung bình $\mu$ .

Ví dụ 14.  Khảo sát chiều cao giữa Billy và các bạn có các số liệu như sau   151, 160, 155, 168, 176
(đơn vị cm). Tìm trung bình và độ lệch trung bình .

*Truy cập  https://www.easycalculation.com/statistics/mean-absolute-deviation.php
Nhập các số liệu 151, 160, 155, 168, 176 vào calci dưới đây , Click Calculate

Ta có MD = 8  và  $\mu$ =162 , điều này nghĩa là so với chiều cao trung bình $\mu$ =162 độ lệch trung bình về chiều cao của các bạn trong nhóm là MD = 8 (cm) 

Nhận xét :
Nếu bạn sắp thứ tự chiều cao của nhóm 151 , 155 , 160 , 168 , 176  và lưu ý đến chiều cao trung bình $\mu$ =162  khi đó
tổng độ lệch so với $\mu$ bên trái là  |151-162| + |155-162| + |160-162|  =11+7+2 =20
và tổng độ lệch so với $\mu$ bên phải là  |168-162| + |176-162| = 6+14 = 20
Vậy tổng độ lệch so với $\mu$ bên trái = tổng độ lệch so với $\mu$ bên phải

b. Độ lệch trung bình - dữ liệu rời rạc nhóm .
-Độ lệch trung bình của tập các dữ liệu rời rạc nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
5. Tính độ lệch .
6. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
7. Tính độ lệch trung bình MD .

Ví dụ 15 .  Điều tra về thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh trường Lakeshire có số liệu về thời gian theo bảng sau
(đơn vị : giờ / tuần)
2 giờ :  3 người
4 giờ :  9 người
6 giờ :  5 người
8 giờ :  2 người
10 giờ :1 người
Tìm độ lệch trung bình thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh này ?



1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
2 giờ :  3 người => f1=3 , x1=2
4 giờ :  9 người => f2=9 , x2=4
6 giờ :  5 người => f3=5 , x3=6
8 giờ :  2 người => f4=2 , x4=8
10 giờ :1 người => f5=1 , x5=10
Tổng tần số = 20
 3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
f1x1=6
f2x2=36
f3x3=30
f4x4=16
f5x5=10
Tổng=98
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ = 98/20=4.9
5. Tính độ lệch .
|2-4.9|=2.9
|4-4.9|=0.9
|6-4.9|=1.1
|8-4.9|=3.1
|10-4.9|=5.1 
6. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
3x2.9=8.7
9x0.9=8.1
5x1.1=5.5
2x3.1=6.2
1x5.1=5.1
 Tổng= 33.6
7. Tính độ lệch trung bình MD .
MD=33.6 / 20=1.68

c. Độ lệch trung bình - dữ liệu nhóm .
-Độ lệch trung bình của tập các dữ liệu (liên tục) nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Tìm điểm giữa nhóm .
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
6. Tính độ lệch .
7. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
8. Tính độ lệch trung bình MD .



Ví dụ 16 .  Điều tra về luyện tập thể dục của 14 sinh viên có số liệu về thời gian theo bảng sau
(đơn vị : giờ / tuần)
2.30 , 11.00 ,  4.00 , 4.20 , 7.00 , 5.30 ,  6.00 ,  8.30 ,  6.15 ,  6.25 ,  7.30  , 9.45  , 3.15 , 6.30
Tìm độ lệch trung bình thời gian luyện tập thể dục của nhóm sinh viên này ?

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Lập bảng phân phối tần số , 3. Tìm điểm giữa nhóm .
2->3.59  :  2 lần => f1=2  , c1=3
4->5.59  :  3 lần => f2=3  , c2=5
6->7.59  :  6 lần => f3=6   , c3=7
8->9.59  :  2 lần => f4=2   , c4=9
10->11.59  :  1 lần => f5=1    , c5=11
Tổng tần số = 14
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
f1c1=2x3=6
f2c2=3x5=15
f3c3=6x7=42
f4c4=2x9=18
f2c2=1x11=11
Tổng = 92
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ = 92/14=6.57
6. Tính độ lệch .
|3-6.57|=3.57
|5-6.57|=1.57
|7-6.57|=0.43 
|9-6.57|=2.43
|11-6.57|=4.43
7. Lấy tần số nhân với độ lệch và tính tổng .
2x3.57=7.14
3x1.57=4.71
6x0.43=2.58
2x2.43=4.86
1x4.43=4.43
Tổng = 23,72
8. Tính độ lệch trung bình MD .
MD=23.72 / 14 = 1.69

Bạn có thể dùng công cụ meta-calculator trực tuyến để tìm các giá trị trung bình , trung vị và thường số , tuy nhiên độ lệch trung bình MD có giá trị sai .

*Truy cập    http://www.meta-calculator.com/online/?panel-401-basic-stats-input

Dùng phần mềm ESBSTATS kiểm tra kết quả

Giá trị trung bình  $\mu$ = 92/14=6.57
Độ lệch trung bình MD=23.72 / 14 = 1.69

12.6.5  Độ lệch chuẩn - Standard Deviation .
a. Độ lệch chuẩn - dữ liệu rời rạc . 
-Trong thống kê, độ lệch chuẩn (SD, ký hiệu σ hoặc s) là một độ đo được sử dụng để định lượng sự biến đổi hoặc sự phân tán của một tập hợp các giá trị dữ liệu.
-Độ lệch chuẩn gần bằng 0 chỉ ra rằng các điểm dữ liệu có xu hướng rất gần với giá trị trung bình (còn gọi là giá trị kỳ vọng) của tập hợp này, trong khi độ lệch chuẩn cao cho thấy rằng các điểm dữ liệu được trải ra trên một phạm vi lớn gồm chứa các giá trị.
Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên, thống kê toàn thể , tập hợp dữ liệu, hoặc phân bố xác suất là căn bậc hai của phương sai của nó.
-Biểu thức đại số độ lệch chuẩn (SD) đơn giản hơn , dù thực tế ít mạnh hơn , so với độ lệch tuyệt đối trung bình (MD) .
-Công thức tính độ lệch chuẩn - dữ liệu rời rạc.

 

1.Tìm giá trị trung bình  $\mu$ (của tổng thể ) hay $\bar{x}$ (của mẫu) .

2.Tính bình phương độ lệch $(x_i-\mu)^2$ (của tổng thể ) hay $(x_i-\bar{x})^2$ (của tổng thể )  .

3.Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .

4.Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .

Ví dụ 17 .  Điều tra về năng suất của 20 cây dừa trên một liếp có trái năm đầu tiên số liệu như sau
(đơn vị : trái / cây)
9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
Tìm độ lệch chuẩn của sản lượng dừa được thu hoạch ?


1.Tìm giá trị trung bình  $\mu$ (của tổng thể )
( 9+2+5+4+12+7+8+11+9+3+7+4+12+5+4+10+9+6+9+4)/ 20 = 140/20 = 7
2.Tính bình phương độ lệch $(x_i-\mu)^2$ (của tổng thể )
$(9-7)^2=4 ; (2-7)^2=25 ; (5-7)^2=4 ; (4-7)^2=9 ; (12-7)^2=25 $;
$(7-7)^2=0 ; (8-7)^2=1 ; (11-7)^2=16 ; (9-7)^2=4 ; (3-7)^2=16$ ;
$(7-7)^2=0 ;  (4-7)^2=9 ; (12-7)^2=25 ; (5-7)^2=4 ; (4-7)^2=9$ ;
$(10-7)^2=9 ;  (9-7)^2=4 ; (6-7)^2=1 ; (9-7)^2=4 ; (4-7)^2=9$ ;
3.Tính trung bình các bình phương độ lệch .
(4+25+4+9+25+0+1+16+4+16+0+9+25+4+9+9+4+1+4+9)/20 = 178/20=8.9 (phương sai)
4.Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
$\sigma=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2}=\sqrt{8.9}=2.9833$



*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/standard-deviation.php
Nhập số liệu 9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4 vào calci dưới đây
Click Calculate
Thu được độ lệch tổng thể là $\sigma=2.98329$

Ví dụ 18 .  Điều tra về năng suất của 20 cây dừa trên một liếp có trái năm đầu tiên số liệu như sau
(đơn vị : trái / cây)
9, 2, 5, 4, 12, 7, 8, 11, 9, 3, 7, 4, 12, 5, 4, 10, 9, 6, 9, 4
Tìm độ lệch chuẩn của sản lượng dừa được thu hoạch lấy từ mẫu {9, 2, 5, 4, 12, 7} ?



*Truy cập   https://www.easycalculation.com/statistics/standard-deviation.php
Nhập số liệu 9, 2, 5, 4, 12, 7
Thu được độ lệch chuẩn mẫu là  $s=3.61939$

b. Độ lệch chuẩn - dữ liệu rời rạc nhóm . 
-Độ lệch chuẩn của tập các dữ liệu rời rạc nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
5. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
6. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
7. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
8. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
Thay  $\sigma= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/\sum f_k}$
hay    $s= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/(\sum f_k-1)}$

Ví dụ 19 .  Điều tra về thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh trường Lakeshire có số liệu về thời gian theo bảng sau
(đơn vị : giờ / tuần)
2 giờ :  3 người
4 giờ :  9 người
6 giờ :  5 người
8 giờ :  2 người
10 giờ :1 người
Tìm độ lệch chuẩn thời gian thực hành máy tính của 20 học sinh này ?



1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
2 giờ :  3 người => f1=3 , x1=2
4 giờ :  9 người => f2=9 , x2=4
6 giờ :  5 người => f3=5 , x3=6
8 giờ :  2 người => f4=2 , x4=8
10 giờ :1 người => f5=1 , x5=10
Tổng tần số = 20
 3. Lấy tần số nhân với dữ liệu và tính tổng .
f1x1=6
f2x2=36
f3x3=30
f4x4=16
f5x5=10
Tổng=98
4. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ = 98/20=4.9
5. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
|2-4.9|^2=2.9^2=8.41
|4-4.9|^2=0.9^2=0.81
|6-4.9|^2=1.1^2=1.21
|8-4.9|^2=3.1^2=9.61
|10-4.9|^2=5.1^2=26.01
6. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
3x8.41=25.23
9x0.81=7.29
5x1.21=6.05
2x9.61=19.22
1x26.01=26.01
25.23+7.29+6.05+19.22+26.01=83.80
7. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
83.80/20=4.19  (tổng thể)
83.80/19=4.4105   (mẫu)
8. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
$\sigma=2.0469$   (tổng thể)
$s=2.1001$   (mẫu)

*Truy cập    http://www.meta-calculator.com/online/?panel-401-basic-stats-input
Nhập dữ liệu vào Grouped Data như hình sau

Click Calculate Statistics

Thu được
$s=2.1001$   (mẫu)

*Truy cập  http://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation-calculator.html
Nhập dữ liệu  2,2,2,4,4,4,4,4,4,4,4,4,6,6,6,6,6,8,8,10

Thu được
$s=2.1001$   (mẫu)
$\sigma=2.0469$   (tổng thể)

c. Độ lệch chuẩn - dữ liệu nhóm . 
-Độ lệch chuẩn của tập các dữ liệu (liên tục) nhóm được tính theo bảng dưới đây

1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số .
3. Tìm điểm giữa nhóm .
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
6. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
7. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
8. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
9. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
Thay  $\sigma= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/\sum f_k}$
hay    $s= \sqrt{\sum f_k|x_k-\mu|^2/(\sum f_k-1)}$


Ví dụ 20 .  Khảo sát chiều dài trái dưa leo qua lấy mẫu 4 đợt thu hoạch ta có số liệu sau
(đơn vị : cm / trái)

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu khảo sát ?

11.15,14.05,16.00,17.25,19.15,20.20,21.30,22.15,22.25,24.10,
25.30,24.15,28.40,27.25,26.30,25.55,26.45,26.50,27.55,25.40,
28.60,29.05,30.15,28.35,26.15,28.20,30.10,27.50,31.25,33.15,
32.20,35.45,34.10,33.45,36.35,38.60,37.25,40.00,41.10,44.00


1. Phân nhóm dữ liệu ,
2. Nhập tần số nhóm và tính tổng tần số . 3. Tìm điểm giữa nhóm .
11.00-17.80  : 4 lần =>    f1=4    ,   c1=14.40
17.80-24.60  : 7 lần =>    f2=7    ,   c2=21.20
24.60-31.40  : 18 lần=>  f3=18   ,   c3=28.00
31.40-38.20   : 7 lần=>    f4=7    ,   c4=34.80
38.20-45.00   : 4 lần=>    f5=4    ,   c5=41.60
Tổng tần số = 40
4. Lấy tần số nhân với điểm giữa và tính tổng .
f1c1=4x14.40=57.60
f2c2=7x21.20=148.40
f3c3=18x28.00=504.00
f4c4=7x34.80=243.60
f5c5=4x41.60=166.40
Tổng= 1120.00
5. Tính giá trị trung bình $\mu$ .
Giá trị trung bình  $\mu$ =1120.00/40=28
6. Tính độ lệch và bình phương độ lệch .
|14.40-28|^2=184.96 
|21.20-28|^2=46.24
|28.00-28|^2=0
|34.80-28|^2=46.24
|41.60-28|^2=184.96
7. Lấy tần số nhân với bình phương độ lệch và tính tổng .
4x184.96=739.84
7x46.24=323.68
18x0=0
7x46.24=323.68
4x184.96=739.84
Tổng=2127.04
8. Tính trung bình các bình phương độ lệch (phương sai) .
2127.04/39=54.5395
9. Rút căn bậc 2 của trung bình các bình phương độ lệch .
$s=7.3851$

*Truy cập  http://www.meta-calculator.com/online/?panel-402-basic-stats-output
Nhập dữ liệu vào Frequency Distribution như hình sau

Click Calculate Statistics

Thu được
$s=7.3851$ 

Dùng phần mềm ESBSTATS kiểm tra kết quả

 Thu được
$s=7.3851$ 
$\sigma =7.2922$





Trần hồng Cơ
Ngày 08/01/2016




------------------------------------------------------------------------------------------- -

Bậc thềm tiến vào thánh đường của trí tuệ là biết sự ngu dốt của chính mình. 

The doorstep to the temple of wisdom is a knowledge of our own ignorance. 

Benjamin Franklin