Phần 14f . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Vị trí tương đối của các cực trị .
DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN MATHEMATICA WOLFRAM | ALPHA .
Giới thiệu .
Bạn đọc truy cập vào đường dẫn http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .
Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :
D : Đại số . Ví dụ D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ H12.3 widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7 widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15 widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 8
D8.1 Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2 Rút gọn phân thức
D8.3 Phân tích thừa số
D8.4 Nhân 2 đa thức
D8.5 Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6 Phân tích thừa số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 10
D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4 Giải phương trình đại số
D10.5 Giải phương trình từng bước
D10.6 Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị
D10.8 Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9 Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10 Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11 Giải phương trình đại số
D10.12 Giải phương trình vô tỷ
D10.13 Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14 Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15 Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16 Giải hệ phương trình
D10.17 Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19 Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy
HÌNH HỌC 10
H10.1 Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3 Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 11
D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức ( HORNER )
D11.2 Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên
D11.6 Khai triển nhị thức Newton
GIẢI TÍCH 11
G11.1 Tính gíá trị một chuỗi số theo n
G11.2 Đa thức truy hồi
G11.3 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4 Tính giới hạn của chuỗi số khi $n \rightarrow \infty$
G11.5 Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6 Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8 Tìm giới hạn của hàm số
G11.9 Tìm giới hạn của hàm số
G11.10 Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11+12.1 Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị
LƯỢNG GIÁC 11
L11.1 Giải phương trình lượng giác
L11.2 Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3 Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4 Khai triển công thức lượng giác
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 12
D12.1 Cấu trúc của số phức
D12.1 Giải phương trình mũ
D12.3 Giải phương trình chứa tham số
D12.4 Giải phương trình bất kỳ ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ , log , căn thức )
D12.5 Giải phương trình mũ
GIẢI TÍCH 12
G12.1 Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2 Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3 Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4 Tìm cực trị của hàm số
G12.5 Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7 Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8 Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9 Tìm nghiệm của các phương trình y = 0 , y ' = 0 , y " = 0
G12.10 Tính tích phân bất định
G12.11 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13 Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15 Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17 Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18 Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19 Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20 Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21 Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22 Tích thể tích vật tròn xoay (C) , trục Ox , x =a , x= b
G12.23 Thể tích vật tròn xoay
G12.24 Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25 Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26 Tìm cực trị của hàm số
G12.27 Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28 Tính tích phân xác định
HÌNH HỌC 12
H12.1 Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4 Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5 Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6 Tích có hướng 2 vector
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GIẢI TÍCH CAO CẤP
GI.1 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.3 Tích phân 2 lớp
GI.5 Tích phân kép
GI.6 Tích phân bội 3
GI.7 Tích phân bội 3
GI.8 Tích phân suy rộng
GI.9 Chuỗi và dãy số
GI.10 Các bài toán cơ bản trong vi tích phân
GI.11 Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12 Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13 Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14 Tính đạo hàm riêng
GI.15 Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16 Tính tổng chuỗi số n = 1...$\infty$
GI.17 Vẽ đồ thị 3 hàm số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông cùng với các ví dụ minh họa .
Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :
http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/
14. KHẢO SÁT HÀM SỐ - Cực trị của hàm số .
14.9 Cực trị của hàm số .
14.9.4 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm về 1 (hay 2) phía trục Oy .
a. Quy tắc chung .
SO Oy , CHIẾU Ox
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$ [1]
*Lập bảng xét dấu
m
|
-∞
|
+∞
| |
$\Delta $
| |||
Số cực trị
|
*Vị trí 2 điểm cực trị và trục Oy [2]
2 điểm cực trị nằm 1 phía Oy : $x_1;x_2$ cùng dấu , $P_x=x_1.x_2>0$
2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy : $x_1;x_2$ trái dấu , $P_x=x_1.x_2<0$
Giải [1],[2] lấy phần giao .
Ví dụ 1.
Tìm m để $y =x^3/3+(m-1)x^2+(m+1)x+2 $ có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy
Đạo hàm $y'(x)=x^2+2(m-1)x+m+1$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2+2(m-1)x+m+1=0$ ,
Điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
hay $1 \neq 0; \Delta '= (m-1)^2-(m+1)> 0 \Leftrightarrow m^2-3m>0$ [1]
2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy : $x_1;x_2$ trái dấu , $P_x=x_1.x_2<0$
Hay $P_x=m+1<0$ [2]
Xét dấu [1],[2] ta có $m < -1$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
Xem https://goo.gl/Ky9ehL
Nghiệm $x_{1,2} = \pm \sqrt(m^2 - 3 m) - m + 1$
Tính $P_x=x_1.x_2$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / CUC TRI NAM 1,2 PHIA Oy (bt5) https://goo.gl/1H3qSV
Xem https://goo.gl/Ve88Xa
Ví dụ 2.
Tìm m để $y =mx^3/3+(m+2)x^2+(m-1)x+2 $ có 2 điểm cực trị nằm 1 phía Oy
Đạo hàm $y'(x)=mx^2 + 2(m+2) x + m-1$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow mx^2 + 2(m+2) x + m-1=0$ ,
Điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
hay $m \neq 0; \Delta '= (m+2)^2-m(m-1)> 0 \Leftrightarrow 5m+4>0$ [1]
2 điểm cực trị nằm 1 phía Oy : $x_1;x_2$ cùng dấu , $P_x=x_1.x_2>0$
Hay $P_x=(m-1)/m>0$ [2]
Xét dấu [1],[2] ta có $-4/5<m<0 , m>1$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
Tính $P_x=x_1.x_2$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / CUC TRI NAM 1,2 PHIA Oy (bt5) https://goo.gl/1H3qSV
Kiểm tra lại :
Ta có $-4/5<m<0 , m>1$
14.9.5 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm về 1 (hay 2) phía trục Ox .
a. Quy tắc chung .
SO Ox , CHIẾU Oy
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$[1]
*Lập bảng xét dấu
m
|
-∞
|
+∞
| |
$\Delta $
| |||
Số cực trị
|
*Giải phương trình $y'(x) = 0$ tìm nghiệm $x_1,x_2$
Nếu nghiệm này đơn giản , thế $x_1,x_2$ vào (C) tìm $y_1,y_2$
Nếu nghiệm này phức tạp , tìm phương trình đường cực trị $yDCT$ đi qua $y_1,y_2$
- Đối với HSB3 ta lấy $y(x)/y'(x)=THUONG+DU/MAU$
Phương trình đường cực trị đi qua $y_1,y_2$ là $yDCT=DU$
- Đối với HSHT $y=P(x)/Q(x)$ ta lấy $yDCT=P'(x)/Q'(x)$
*Vị trí 2 điểm cực trị và trục Ox[2]
2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox : $y_1;y_2$ cùng dấu , $P_y=y_1.y_2>0$
2 điểm cực trị nằm 2 phía Oy : $y_1;y_2$ trái dấu , $P_y=x_1.x_2<0$
Giải [1],[2] lấy phần giao .
Ví dụ 1.
Tìm m để (C) : $y = x^3/3-2x^2+m+2/3 $ có 2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox
Đạo hàm $y'(x)=x^2-4x$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2-4x=0$ ,
Nghiệm (đơn giản) : $x=0;x=4$
Thế $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=y(0)=m+2/3;y_2=y(4)=m-10$
2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox : $y_1;y_2$ cùng dấu , $P_y=y_1.y_2>0$
Hay $P_y=(m+2/3)(m-10)>0$
Xét dấu $P_y$ ta có $m>10 , m<-2/3$
Xem https://goo.gl/5EV5BR
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.1) https://goo.gl/wFoDJK
Xem https://goo.gl/2jBjfY
Xét dấu $P_y=(m+2/3)(m-10)>0$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2) https://goo.gl/fyrZ1x
Kết luận : $m>10 , m<-2/3$
Ví dụ 2.
Tìm m để (C) : $y = (x^2+x+m)/(x+m) $ có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox
Đạo hàm $y'(x)=(x^2+2mx)/(x+m)^2$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2+2mx=0$ ,
Nghiệm (đơn giản) : $x=0;x=-2m$
Thế $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=y(0)=1;y_2=y(-2m)=1-4m$
2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox : $y_1;y_2$ trái dấu , $P_y=y_1.y_2<0$
Hay $P_y=1.(1-4m)<0$
Xét dấu $P_y$ ta có $m>1/4$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
Thế $x=0;x=-2m$ vào (C) : $y_1=y(0)=1;y_2=y(-2m)=1-4m$
Ví dụ 3.
Tìm m để (C) : $y =x^3-x^2+mx $ có 2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox
Đạo hàm $y'(x)=3x^2-2x +m$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2-2x +m=0$ ,
Nghiệm (phức tạp) : $x_1 =1/3(1+ \sqrt{1-3m}) ;x_2=1/3(1- \sqrt{1-3m})$
Tìm phương trình đường cực trị :
Tính $y/y'= (6mx+m-2x)/(9(m +3x^2-2x))+x/3-1/9$ lấy phần dư , ta có $yDCT=\frac{x(6m-2)+m}{9}$
Thế $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=\frac{x_1(6m-2)+m}{9};y_2=\frac{x_2(6m-2)+m}{9}$
2 điểm cực trị nằm 2 phía Ox : $y_1;y_2$ trái dấu , $P_y=y_1.y_2<0$
Hay $P_y=[\frac{x_1(6m-2)+m}{9}].[\frac{x_2(6m-2)+m}{9}]<0$
Xét dấu $P_y=(6m-2)^2.x_1x_2+m(6m-2)(x_1+x_2)+m^2<0$
ta có $x_1x_2=c/a=m/3;x_1+x_2=-b/a=2/3$
$P_y=(6m-2)^2*m/3+m(6m-2)*2/3+m^2<0 \Leftrightarrow 12m^3-3m^2<0$
Vậy $0<m<1/4;m<0$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
Xem https://goo.gl/MEHzwi
Tìm phương trình đường cực trị .
*Dùng widget G12.I.1 TIM PT DUONG CUC TRI (bt4.1) https://goo.gl/wm4btC
Nhấn vào more để xem khai triển phần dư .
Xem https://goo.gl/YWv9K9 ta có $yDCT=\frac{x(6m-2)+m}{9}$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.1) https://goo.gl/wFoDJK
Xem https://goo.gl/N4sWQJ
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2) https://goo.gl/fyrZ1x
Nhấn vào Exact form
Xem https://goo.gl/JPWt2z
Vậy $0<m<1/4;m<0$
Ví dụ 4.
Tìm m để (C) : $y =(x^2+x+m)/(x+1) $ có 2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox
Đạo hàm $y'(x)=((x + 1)^2 - m)/(x + 1)^2$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2 - m=0 \Leftrightarrow x^2 + 2x + 1-m=0 $ ,
Nghiệm (phức tạp) : $x_1 = - \sqrt{m}-1 ;x_2= \sqrt{m}-1 $
Điều kiện : $m>0 $ [1]
Tìm phương trình đường cực trị :
Tính $y=\frac{P'}{Q'}$ , ta có $yDCT= 2x+1$
Cách 1.
Thế trực tiếp $x_1,x_2$ vào (C) : $y_1=2( - \sqrt{m}-1) +1 ;y_2= 2( \sqrt{m}-1)+1$
2 điểm cực trị nằm 1 phía Ox : $y_1;y_2$ cùng dấu , $P_y=y_1.y_2>0$
Hay $P_y=[2( - \sqrt{m}-1) +1].[2( \sqrt{m}-1)+1] >0$
https://goo.gl/BLMYLC
Xét dấu $P_y= 1-4m >0$
Cách 2.
Tìm biểu thức Viete của $P_y=y_1.y_2>0$ tính theo $ x^2 + 2x + 1-m=0 $
Ta có $P_x=x_1x_2=c/a= 1-m ;S_x=x_1+x_2=-b/a= -2 $
$y_1=2x_1 +1 ;y_2= 2x_2+1$ khi đó $P_y=y_1.y_2=(2x_1 +1)(2x_2 +1)>0$
$P_y=4x_1x_2 +2(x_1+x_2) +1>0 \Leftrightarrow
4P_x+2S_x+1 >0 \Leftrightarrow 4(1-m)+2(-2)+1 >0 $
$P_y= 1 - 4 m >0 \Leftrightarrow m <1/4 $
Vậy $0<m<1/4$
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
Tìm phương trình đường cực trị
*Dùng widget G12.I.1 TIM PT DUONG CUC TRI (bt4.2) https://goo.gl/PnDosj
Thế $x_1 = - \sqrt{m}-1 ;x_2= \sqrt{m}-1 $ vào phương trình đường cực trị $y=2x+1$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.1) https://goo.gl/wFoDJK
Xem https://goo.gl/D59Mtw
Tính $P_y=y_1.y_2=(2x_1 +1)(2x_2 +1)>0$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2) https://goo.gl/fyrZ1x
Xem https://goo.gl/LZMQYV
Kiểm tra lại ta có $0<m<1/4$
14.9.6 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm về 1 (hay 2) phía đường thẳng (d) .
a. Quy tắc chung .
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$[1]
*Lập bảng xét dấu
*Giải phương trình $y'(x) = 0$ tìm nghiệm $x_1,x_2$
Nếu nghiệm này đơn giản , thế $x_1,x_2$ vào (C) tìm $y_1,y_2$
Nếu nghiệm này phức tạp , tìm phương trình đường cực trị $yDCT$ đi qua $y_1,y_2$
- Đối với HSB3 ta lấy $y(x)/y'(x)=THUONG+DU/MAU$
Phương trình đường cực trị đi qua $y_1,y_2$ là $yDCT=DU$
*Vị trí 2 điểm cực trị và đường thẳng (d) [2]
2 điểm cực trị nằm 1 phía (d) : $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$ cùng dấu , $P_{d{DS}}=d_{DS}[M_1,(d)] . d_{DS}[M_2,(d)]>0$
2 điểm cực trị nằm 2 phía (d) : $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$ trái dấu ,
$P_{d_{DS}}=d_{DS}[M_1,(d)] . d_{DS}[M_2,(d)]<0$
Giải [1],[2] lấy phần giao .
b. Các ví dụ .
Ví dụ 1.
Tìm m để (C) : $y = x^3-3x^2+m $ có 2 điểm cực trị nằm 1 phía (d) : $3x+4y+1=0$
Đạo hàm $y'(x)=3x^2-6x$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2-6x =0 \Leftrightarrow 3x^2-6x =0 $
Nghiệm đơn giản , thế $x_1=0;x_2=2$ vào (C) tìm $y_1,y_2$
Thu được $y_1=m ; y_2= m -4 $
Điểm cực trị $M_1(0,m) ; M_2(2,m-4)$
2 điểm cực trị nằm 1 phía (d) : $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$ cùng dấu , $P_{d{DS}}=(3x_1+4y_1+1).(3x_2+4y_2+1)>0 \Leftrightarrow (3.0+4m+1)(3.2+4(m-4)+1) >0$
Hay $(4 m - 9) (4 m + 1)>0$
Vậy $m>9/4;m<-1/4$
Xem https://goo.gl/vF3UVa
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
*Dùng widget G12.I.1 TIM PT DUONG CUC TRI (bt4.2) https://goo.gl/PnDosj
Thế $x_1 = - \sqrt{m}-1 ;x_2= \sqrt{m}-1 $ vào phương trình đường cực trị $y=2x+1$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.1) https://goo.gl/wFoDJK
Xem https://goo.gl/D59Mtw
Tính $P_y=y_1.y_2=(2x_1 +1)(2x_2 +1)>0$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA Ox (bt6.2) https://goo.gl/fyrZ1x
Xem https://goo.gl/LZMQYV
Kiểm tra lại ta có $0<m<1/4$
14.9.6 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị nằm về 1 (hay 2) phía đường thẳng (d) .
a. Quy tắc chung .
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$[1]
*Lập bảng xét dấu
m
|
-∞
|
+∞
| |
$\Delta $
| |||
Số cực trị
|
*Giải phương trình $y'(x) = 0$ tìm nghiệm $x_1,x_2$
Nếu nghiệm này đơn giản , thế $x_1,x_2$ vào (C) tìm $y_1,y_2$
Nếu nghiệm này phức tạp , tìm phương trình đường cực trị $yDCT$ đi qua $y_1,y_2$
- Đối với HSB3 ta lấy $y(x)/y'(x)=THUONG+DU/MAU$
Phương trình đường cực trị đi qua $y_1,y_2$ là $yDCT=DU$
- Đối với HSHT $y=P(x)/Q(x)$ ta lấy $yDCT=P'(x)/Q'(x)$
*Vị trí 2 điểm cực trị và đường thẳng (d) [2]
2 điểm cực trị nằm 1 phía (d) : $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$ cùng dấu , $P_{d{DS}}=d_{DS}[M_1,(d)] . d_{DS}[M_2,(d)]>0$
2 điểm cực trị nằm 2 phía (d) : $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$ trái dấu ,
$P_{d_{DS}}=d_{DS}[M_1,(d)] . d_{DS}[M_2,(d)]<0$
Giải [1],[2] lấy phần giao .
Ví dụ 1.
Tìm m để (C) : $y = x^3-3x^2+m $ có 2 điểm cực trị nằm 1 phía (d) : $3x+4y+1=0$
Đạo hàm $y'(x)=3x^2-6x$
Phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2-6x =0 \Leftrightarrow 3x^2-6x =0 $
Nghiệm đơn giản , thế $x_1=0;x_2=2$ vào (C) tìm $y_1,y_2$
Thu được $y_1=m ; y_2= m -4 $
Điểm cực trị $M_1(0,m) ; M_2(2,m-4)$
2 điểm cực trị nằm 1 phía (d) : $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$ cùng dấu , $P_{d{DS}}=(3x_1+4y_1+1).(3x_2+4y_2+1)>0 \Leftrightarrow (3.0+4m+1)(3.2+4(m-4)+1) >0$
Hay $(4 m - 9) (4 m + 1)>0$
Vậy $m>9/4;m<-1/4$
Xem https://goo.gl/vF3UVa
*Dùng widget G12.I.1 TIM m / HS CO MOT SO CUC TRI (bt2.1) https://goo.gl/WPPnW2
Tìm nghiệm của phương trình $y'(x) = 0 $
Tìm $d_{DS}[M_1,(d)] ;d_{DS}[M_2,(d)]$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA (D) (bt7.1) https://goo.gl/fKVQKG
$P_{d{DS}}=(3x_1+4y_1+1).(3x_2+4y_2+1)>0 \Leftrightarrow (4m+1)(4m-9) >0$
*Dùng widget G12.I.1 CTRI NAM 1,2 PHIA (D) (bt7.2) https://goo.gl/tY7DBk
Vậy $m>9/4;m<-1/4$
Xem https://goo.gl/RtVZ1X
14.9.7 Tìm điều kiện để hàm số $y=f(x)$ có 2 điểm cực trị cách đều Oy .
a. Quy tắc chung .
Thực hành
*Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0$ ,
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB3 ta biến đổi PTB3 = PTB2 x PTB1 .
Lấy nghiệm của PTB1 thế vào PTB2 =/= 0
Xét PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$
Lập bảng xét dấu
Cộng thêm 1 vào những chỗ không bị gạch chéo .
-Nếu $y'(x) = 0$ là PTB2 , điều kiện có 2 cực trị : $a \neq 0; \Delta > 0$[1]
*Lập bảng xét dấu
m
|
-∞
|
+∞
| |
$\Delta $
| |||
Số cực trị
|
*Giải phương trình $y'(x) = 0$ tìm nghiệm $x_1,x_2$
2 điểm cực trị nằm cách đều Oy : $S=x_1+x_2=-b/a=0$ [2]
Giải [2] so lại điều kiện [1] .
Ví dụ 1.
Tìm m để (C) : $y = x^3/3-(m-3)x^2-x+1 $ có 2 điểm cực trị cách đều Oy.
Lời giải.
Tính đạo hàm $y'(x)$ , xét phương trình $y'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 -2 (m - 3) x - 1 =0$
$\Delta = (m-3)^2+1 >0 $
Giải phương trình $y'(x) = 0$ tìm nghiệm $x_1,x_2$
Ta có $x_1= - \sqrt{m^2 - 6 m + 10} + m - 3 ; x_2= \sqrt{m^2 - 6 m + 10} + m - 3 $
Xem https://goo.gl/jNLe92
*Dùng widget G12.I.1 TIM m/2 C.TRI-DX Oy(bt30) https://goo.gl/4vRD17
Trần hồng Cơ
Ngày 10/05/2016
-------------------------------------------------------------------------------------------
If you know about what you are talking about , you have something more valuable than gold and jewels -
Có nhiều vàng và châu ngọc , nhưng miệng có tri thức là bửu vật quý giá vô song .
Châm ngôn 20:15
