Bất biến gauge - Gauge invariance 4 .

Bất biến gauge -  Gauge invariance .

Trần hồng Cơ .

Ngày 15 tháng 7 năm 2012 .

Dịch , tổng hợp biên soạn và tham khảo tài liệu từ các nguồn 

1. Wikipedia .

2. The Encyclopedia of Science .

3. http://science-documentaries.com/ .

4. http://www.newscientist.com/ .

5. Scholarpedia

 -------------------------------------------------------------------------------------------

Phần 1 .

Phần 2 .

Phần 3 .

Phần 4 .

-------------------------------------------------------------------------------------------

 Người có học biết mình ngu dốt. The learned man knows that he is ignorant.

 Victor Hugo.

Bất biến gauge - Gauge invariance 3

Bất biến gauge -  Gauge invariance .

Trần hồng Cơ .

Ngày 15 tháng 7 năm 2012 .

Dịch , tổng hợp biên soạn và tham khảo tài liệu từ các nguồn 

1. Wikipedia .

2. The Encyclopedia of Science .

3. http://science-documentaries.com/ .

4. http://www.newscientist.com/ .

5. SCholarpedia .

4. Điều chỉnh chuẩn (gauge) trong các lý thuyết gauge cổ điển .

Trong cơ chế điện từ cổ điển, vấn đề điều chỉnh gauge chỉ đơn giản là bài toán lựa chọn một biểu diễn trong lớp của các thế tương đương, thuận tiện cho các tính toán thực tế hoặc phù hợp với trực giác vật lý.

Trong số các chuẩn thông thường phi- tương đối,  ta có thể trích dẫn ((Jackson, 2000) để biết thêm chi tiết): 

Và các bất biến chuẩn gauge tương đối tính như sau

Lưu ý rằng, một số trong những điều kiện này không  sửa chữa được các biểu diễn trường một cách hoàn toàn. Các hình thức và ý nghĩa của bất biến thặng dư phụ thuộc vào chuẩn đã được điều chỉnh. Cuối cùng, các chuẩn này có những điểm khái quát đơn giản đối với trạng thái phi- Abel.

5. Điện động lực lượng tử .

 Trong Điện động lực học lượng tử (QED), thời gian tiến hóa có thể được đạo hàm từ một tích phân trên các trường , một sự tổng quát hóa đơn giản của các tích phân đường của cơ học lượng tử phi-tương đối tính .

5.1  Trường gauge liên kết với một dòng bảo toàn

Tương tự với cơ học lượng tử phi- tương đối tính , người ta hy vọng các toán tử thời gian tiến hóa được đưa ra bởi một tích phân đối với tất cả các trường cổ điển:

trong đó các tác động được cho bởi (34) (33). Tuy nhiên căn cứ theo bất biến gauge của nó , các tác động chỉ phụ thuộc vào 3 ( trong 4 )  bậc tự do của trường gauge  và vì thế tích phân trên toàn không gian của trường gauge là không xác định . Để giải bài toán này cần phải điều chỉnh chuẩn ( xem phần điều chỉnh chuẩn cổ điển và điều chỉnh chuẩn lượng tử ) . Sự điều chỉnh gauge có thể đạt được bằng cách hạn chế việc tích phân trên các trường có bộ phận gauge đã được sửa chữa bởi ràng buộc  G(A,x)= 0 , hoặc tổng quát hơn bằng cách điều chỉnh G(A,x)= s(x)  và bằng cách tích phân trên s(x) với một phân bố trường Gauss . Phương pháp thứ hai dẫn tới việc bổ sung tác động của phần đóng góp bất biến phi-gauge

Việc chọn lựa hiệp biến tương đối tính

 cho ta chuẩn Landau

Giá trị đặc biệt ξ=1 in (35) tương ứng với cái ta gọi là chuẩn Feymann.

Lý thuyết trường lượng tử được xây dựng bởi thủ tục này không đáp ứng một cách rõ ràng yêu cầu về tính đơn nhất (unitarity )  (việc này liên quan đến sự bảo toàn của xác suất) và dường như phụ thuộc vào hàm điều chỉnh gauge và các tham số ξ. Các đồng nhất thức Ward- Takahashi, -một tập hợp các mối quan hệ giữa các hàm Green -, cho phép chứng minh rằng các quan sát vật lý không phụ thuộc vào các lựa chọn cụ thể (một tính chất gọi là độc lập đo trong bối cảnh này) và cũng có thể đáp ứng tính đơn nhất unitarity.

5.2  Trường vật chất tích điện .

Trong lý thuyết trường địa phương , tác động có tính địa phương , nghĩa là , nó là một tích phân không -thời gian của phiếm hàm mật độ Lagrange , là hàm của các trường và các đạo hàm của nó . 
 Để xây dựng tác động địa phương bất biến gauge mô tả tương tác của vật chất với trường gauge Aμ(x)  ,  chúng ta bắt đầu từ một tác động cho trường vật chất tích điện là trường có tính địa phương và bất biến dưới phép biến đổi toàn cục U(1).   
Như một ví dụ về vật chất , ta xét những hạt fermion spin 1/2 tự do  có điện tích 
eχ  và khối lượng  m . Những trường sau đó sẽ là 4-thành phần liên hợp phức phản giao hoán ( 4-component conjugate complex anticommuting ) (i.e., thuộc về đại số Grassmann ) gồm các  vectors χ và  χˉ ( được gọi là spinors).Hàm mật độ Lagrange được viết :

Tác động

là bất biến dưới phép biến đổi toàn cục U(1).   

tron đó  Ω là hằng số không-thời gian độc lập .Theo định lý Noether (1918), bất biến này kéo theo ( theo cổ điển ) sự tồn tại một dòng bảo toàn và điện tích bảo toàn .
Bất biến gauge đòi hỏi tính bất biến của tác động mới dưới những phép biến đổi nhóm địa phương thu được bằng cách thay thế Ω,U trong (37) bằng các hàm không thời gian Ω(x),U(x) . Điều này đạt được bằng cách thay thế , trong phiếm hàm vật chất Lagrange (36) ,  ∂μ  bằng đạo hàm hiệp biến ( covariant derivative )

là cái sẽ biến đổi theo sự tổng quát hóa 4-chiều của phương trình (21) như sau

Cũng cần lưu ý rằng

Tiến hóa lượng tử của toàn hệ thống (vật chất và trường gauge ) sau đó được đưa ra bởi tích phân trường

6. Lý thuyết gauge phi-Abel  ( Non-Abelian gauge theories ) .

 Để phù hợp với việc sử dụng tiêu chuẩn, trong phần này chúng tôi sử dụng hệ đơn vị SI được ràng buộc bởi yêu cầu ℏ = c = 1.

6.1 Lý thuyết trường cổ điển .

 Yang và Mills (1954) đã tổng quát hóa cấu trúc của điện động lực học lượng tử với một trạng thái  mà trong đó nhóm U (1) chuẩn Abel được thay thế bởi một số nhóm Lie G  phi-Abel của các N × N ma trận unitar .

Việc xây dựng một tác động bất biến gauge mô tả sự tương tác của các trường gauge phi- Abel với các trường vật chất như sau .

Điểm khởi đầu là hàm mật độ vật chất Lagrange bất biến theo biến đổi toàn cục ( tức là, độc lập với không -thời gian ) thuộc nhóm G . Ví dụ , ta giả sử rằng trường vật chất ϕ(x)
tạo ra các vector phức biến đổi  
Ta có thể giả thiết thêm hàm mật độ   

 được bảo toàn qua phép biến đổi toàn cục , nghĩa là 

Mục đích là để thúc đẩy tính bất biến toàn cục (38) của tác động đến tính bất biến theo phép biến đổi của địa phương:

Một lần nữa vấn đề lại phát sinh với các đạo hàm trường . Như trong ví dụ về nhóm Abel, giải pháp là thay thế các đạo hàm bằng các đạo hàm hiệp biến. Ở đây, các đạo hàm hiệp biến là các ma trận N × N  có dạng 

trong đó trường gauge Aμ (x) thuộc về các đại số Lie của nhóm G. ( không nên nhầm lẫn các trường gauge phi- Abel  với thế vector-3 chiều A (x) được sử dụng trong các phần trước.)

Theo định nghĩa đạo hàm hiệp biến Dμ là một tensor dưới phép biến đổi gauge tổng quát , đó là phép biến đổi tuyến tính sau

trong đó như một hệ quả , phép biến đổi gauge

 

 của trường gauge được cho bởi công thức

Phép biến đổi là tuyến tính trong trường hợp đặc biệt hằng số g(x)=g0 ( phép biến đổi toàn cục- global transformation), ngoại trừ trong trường hợp tổng quát là phép biến đổi affine. Từ tính chất (42) của đạo hàm hiệp biến suy ra  

và, do đó, tác động vật chất bây giờ là bất biến gauge .
Nói chung, trường gauge Aμ (x) có một diễn giải toán học như là một liên kết giá trị -Lie và được sử dụng để xây dựng các đạo hàm hiệp biến tác động trên các trường , là cái có dạng phụ thuộc vào các biểu diễn của các nhóm G, dưới các phép biến đổi trường (đối với biến đổi toàn cục ).

Các hoán tử của các đạo hàm hiệp biến có dạng (41),

không còn là một toán tử vi phân và tương ứng với độ cong của liên kết nữa ,  mà là một tensor biến đổi gauge (tức là, nó đã biến đổi tuyến tính) như :

 Tensor cường độ trường  Fμν (x)  là một phần tử của đại số Lie  G.   Vì  Fμν (x)  là một tensor, nên tác động địa phương đối với trường gauge 

sẽ là bất biến gauge . Khi g(x) tiến dần về đơn vị , nghĩa là

phép biến đổi (43) có dạng 

trong đó

( liên hệ với (41) )

trong đó Dμ trong  (46) là đạo hàm hiệp biến tác động trên các trường thuộc về các đại số Lie của nhóm G .  Điều này cho phép viết các phương trình trường tương ứng với tác động (45) dưới dạng 

Vì các tensor cường độ là bậc hai trong trường gauge (44) và tuyến tính trong đạo hàm hiệp biến (46), nên các phương trình trường là bậc 3 , cho thấy rằng các trường gauge phi- Abel là tự tương tác, trái ngược lại với trường hợp Abel.

Trong cả hai trường hợp Abel và phi-Abel, những quan sát vật lý có liên quan đến các đa thức bất biến trong các trường ( hoặc các toán tử gauge bất biến ).

6.1.1  Dạng thành phần ( Component form ) 

Một cơ sở sinh đại số Lie của một nhóm ma trận unitar có thể được chọn dưới dạng một tập hợp các ma trận ta  phản-Hermit cấp N × N  . Cả hai trường gauge và tensor cường độ trường đều có thể mở rộng trên một cơ sở như vậy :  

 Ta đưa ra các hằng số cấu trúc của đại số Lie 

 các thành phần của tensor có thể được viết rõ hơn như sau ( xem (44) )

  Việc xây dựng các trường gauge  Abel  của những phần trước đó có thể được phục hồi   ( đến các thừa số chuẩn hóa tầm thường ) đối với  

           

 
------------------------------------------------------------------------------------------- 

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .

Bất biến gauge - Gauge invariance 2

Bất biến gauge -  Gauge invariance .

Trần hồng Cơ .

Ngày 15 tháng 7 năm 2012 .

Dịch , tổng hợp biên soạn và tham khảo tài liệu từ các nguồn 

1. Wikipedia .

2. The Encyclopedia of Science .

3. http://science-documentaries.com/ .

4. http://www.newscientist.com/ .

5. SCholarpedia .

2.3  Biểu diễn hàm sóng . 

Các không gian Hilbert có thể được lựa chọn trong một vectơ trạng thái được đại diện bởi các chức năng ψ (t, q) (hàm sóng) mà trên đó và  hoạt động giống như

Phép biến đổi unitar trong (16) sẽ có dạng

Tác động trên hàm sóng ψ (t, q), những phép biến đổi này tạo ra, tại mỗi điểm q trong không gian, một biểu diễn của các nhóm tích  U (1) của các số phức có mô đun = 1. Biến đổi nhóm làm thay đổi pointwise được gọi là biến đổi nhóm địa phương, trái ngược với biến đổi nhóm toàn cục , nơi phép biến đổi tác động  như nhau ở khắp mọi nơi (trong trường hợp hiện tại, Ω (q) là hằng với mọi q). Bất biến gauge sẽ kéo theo bất biến của các kết quả vật lý trong phép biến đổi địa phương U (1) .

Động lượng liên hợp hiệp biến hoạt động như một toán tử vi phân cấp 1  . Ta định nghĩa

Như một hệ quả của phép biến đổi (15), đạo hàm hiệp biến D thỏa mãn

trong đó ta dùng ký hiệu để nhấn mạnh tính phụ thuộc của nó trên  A .A 

Các phép biến đổi (21) dẫn đến 
 [Dvốn là các phép biến đổi gauge có thể xem như là các tensors. Điều quan trọng là các bất biến gauge bổ sung trong bối cảnh này chung quy là để thay thế các chất đạo hàm bình thường bằng các đạo hàm hiệp biến. Phiếm hàm Hamilton lượng tử sau đó là toán tử vi phân cấp hai có thể được viết như sau :
 

Các thành phần  Di   của toán tử  DD thỏa mãn  

 
 trong đó  ϵlà tensor phản xứng đầy đủ với ϵ123=

Phép biến đổi gauge của các đạo hàm hiệp biến (21) có nghĩa là   Như vậy, do Fij giao hoán với U (q) (mà chỉ là một pha), nên nó là bất biến gauge .
Ta có thể khái quát các hình thức hóa về thế vector phụ thuộc vào thời gian và  phép biến đổi gauge như sau
 

Điều này ngụ ý giới thiệu một thế vô hướng A0 và thay thế trong phương trình Schrödinger đạo hàm thời gian bởi các đạo hàm thời gian hiệp biến

( hoặc sử dụng phiên bản lượng tử hóa của phiếm hàm Hamilton cổ điển (12) một cách tương đương như sau )

Khi đó phương trình Schrödinger (23) mô tả sự tiến hóa của một hạt tích điện- không spin  (spinless)  trong từ trường và điện trường.

2.4   Tích phân đường

Sau Feynman (Feynman 1948), cơ học lượng tử có thể được trình bày rõ ràng một cách chọn lọc theo thành phần tích phân đường . Trong hình thức này, các phần tử ma trận của toán tử tiến hóa lượng tử giữa thời gian t' và   t"  được cho bởi tổng hợp tất cả quỹ đạo q (t) (đường dẫn) có thể (cổ điển và phi-cổ điển) , điều mà trong các trường hợp đơn giản nhất có thể được viết là

trong đó   là tác động cổ điển theo định nghĩa  (1).
Việc đưa vào công thức của cơ học lượng tử thực sự giải thích lý do tại sao các phương trình chuyển động trong cơ học cổ điển có thể được bắt nguồn từ một nguyên lý biến phân theo dạng (2). Trong giới hạn cổ điển, có nghĩa là, khi tác động cổ điển điển hình là lớn theo ℏ, tích phân đường có thể được xấp xỉ bằng cách sử dụng phương pháp pha tĩnh. Tổng hợp trên đường dẫn như vậy, bị chi phối bởi các đường dẫn để lại tác động tĩnh : đó là đường dẫn cổ điển thỏa mãn (2). Tính chất này tổng quát hóa lý thuyết trường lượng tử tương đối tính .

Trong trường hợp của một hạt phi- tương đối và không spin (spinless) trong điện trường và từ trường, phiếm hàm Lagrange (9), theo phép biến đổi gauge sẽ thay  bằng một đạo hàm thời gian toàn phần , (11). Những tác động thay đổi sau đó về các điều kiện biên , và tương ứng, các toán tử  tiến hóa biến đổi như sau 


điều này phù hợp với phép biến đổi (22) của hàm sóng.

3. Cơ chế điện từ và phương trình Maxwell

Phương trình Maxwell (Maxwell 1861-1862) trong chân không có thể được viết dưới hình thức vi phân địa phương như:



trong đó ρ(t,x) là hàm mật độ điện tích và J(t,x) là hàm mật độ dòng tức thời ,  E(t,x) là điện trường và B(t,x) là từ trường .
( Trừ khi có các quy định khác , trong phần này chúng ta dùng hệ thống đơn vị SI được mở rộng với các điều kiện unitar về các hằng số điện và từ   ϵ0=μ0=1 ,và tốc độ ánh sáng theo các đơn vị này  c=1 .)

Các phương trình Maxwell phù hợp với tính tương đối đặc biệt , đó là cơ chế điện từ là lý thuyết tương đối . Bất biến tương đối của lý thuyết được nếu bật bằng cách biểu diễn những điều quan sát được qua các quadrivector ( vector 4-chiều ) và các quadri-tensors, là những các có các thành phần được ký hiệu bởi các chỉ số Hy lạp  μ,ν,⋯ từ 0 đến  3 .
Căn cứ theo những ứng xử khác nhau qua phép biến đổi Lorentz , những chỉ số trên và chỉ số dưới được đăt tên là phản biến và hiệp biến . Hai vector 4-chiều đáng quan tâm đặc biệt là các tọa độ xμ  trong đó  x0≡t là     là thành phần thời gian và   x1,x2,x3  là các thành phần không gian , và những đạo hàm tương ứng .



Metric Minkowski      (tương ứng, nghịch đảo của nó là  ημν)   được sử dụng cho chỉ số phản biến  ( tương ứng các chỉ số hiệp biến ) như sau , ví dụ,


Để biểu diễn phương trình  Maxwell  theo ký hiệu 4-chiều hiệp biến , ta giới thiệu một tensor điện từ phản xứng      Fμν ,   được định nghĩa bởi 
Cũng như dòng 4-chiều 

Trong dạng tương đối, định luật Faraday và Gauss (25), (26) được kết hợp thành

(được gọi là đồng nhất thức Bianchi) trong khi các định luật Gauss và Ampère,  Maxwell (27), (28) cho ta 
 


Trong một đa tạp thu gọn , do Bổ đề Poincaré, đồng nhất thức Bianchi (29) có thể được tích hợp bằng cách giới thiệu một trường gauge  Aμ(x) để có :

Ta có thể xác định rằng hai trường gauge  Aμ(x) và   AΩμ(x) có quan hệ bởi phép biến đổi  gauge .
 
tương ứng với cùng tensor điện từ (31).
Trong các thành phần vô hướng phi-tương đối  và thế vector
và (32) tương ứng với (5) và (10).


Giống như trong ví dụ của một hạt trong từ trường, phương trình của Maxwell (30) có thể được trích xuất từ trạng thái tĩnh của một tác động được thể hiện với các thành phần của thế vector, sau khi xác định (31). Trong sự hiện diện của một dòng bảo toàn  ,
  JμJμ
phiếm hàm mật độ Lagrange có dạng 


với tác động S như sau


Như ví dụ về hạt phi-tương đối trong từ trường , tác động thay đổi bởi các điều kiện biên dưới phép biến đổi gauge  (32 )  ; nếu  Ω(x)   là một hàm trơn triệt tiêu tại điểm vô hạn không-thời gian thì tác động là một bất biến bởi vì sau đó 



Có nghĩa là  với 

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .