Bất biến gauge - Gauge invariance 2

Bất biến gauge -  Gauge invariance .

Trần hồng Cơ .

Ngày 15 tháng 7 năm 2012 .

Dịch , tổng hợp biên soạn và tham khảo tài liệu từ các nguồn 

1. Wikipedia .

2. The Encyclopedia of Science .

3. http://science-documentaries.com/ .

4. http://www.newscientist.com/ .

5. SCholarpedia .

2.3  Biểu diễn hàm sóng . 

Các không gian Hilbert có thể được lựa chọn trong một vectơ trạng thái được đại diện bởi các chức năng ψ (t, q) (hàm sóng) mà trên đó và  hoạt động giống như

Phép biến đổi unitar trong (16) sẽ có dạng

Tác động trên hàm sóng ψ (t, q), những phép biến đổi này tạo ra, tại mỗi điểm q trong không gian, một biểu diễn của các nhóm tích  U (1) của các số phức có mô đun = 1. Biến đổi nhóm làm thay đổi pointwise được gọi là biến đổi nhóm địa phương, trái ngược với biến đổi nhóm toàn cục , nơi phép biến đổi tác động  như nhau ở khắp mọi nơi (trong trường hợp hiện tại, Ω (q) là hằng với mọi q). Bất biến gauge sẽ kéo theo bất biến của các kết quả vật lý trong phép biến đổi địa phương U (1) .

Động lượng liên hợp hiệp biến hoạt động như một toán tử vi phân cấp 1  . Ta định nghĩa

Như một hệ quả của phép biến đổi (15), đạo hàm hiệp biến D thỏa mãn

trong đó ta dùng ký hiệu để nhấn mạnh tính phụ thuộc của nó trên  A .A 

Các phép biến đổi (21) dẫn đến 
 [Dvốn là các phép biến đổi gauge có thể xem như là các tensors. Điều quan trọng là các bất biến gauge bổ sung trong bối cảnh này chung quy là để thay thế các chất đạo hàm bình thường bằng các đạo hàm hiệp biến. Phiếm hàm Hamilton lượng tử sau đó là toán tử vi phân cấp hai có thể được viết như sau :
 

Các thành phần  Di   của toán tử  DD thỏa mãn  

 
 trong đó  ϵlà tensor phản xứng đầy đủ với ϵ123=

Phép biến đổi gauge của các đạo hàm hiệp biến (21) có nghĩa là   Như vậy, do Fij giao hoán với U (q) (mà chỉ là một pha), nên nó là bất biến gauge .
Ta có thể khái quát các hình thức hóa về thế vector phụ thuộc vào thời gian và  phép biến đổi gauge như sau
 

Điều này ngụ ý giới thiệu một thế vô hướng A0 và thay thế trong phương trình Schrödinger đạo hàm thời gian bởi các đạo hàm thời gian hiệp biến

( hoặc sử dụng phiên bản lượng tử hóa của phiếm hàm Hamilton cổ điển (12) một cách tương đương như sau )

Khi đó phương trình Schrödinger (23) mô tả sự tiến hóa của một hạt tích điện- không spin  (spinless)  trong từ trường và điện trường.

2.4   Tích phân đường

Sau Feynman (Feynman 1948), cơ học lượng tử có thể được trình bày rõ ràng một cách chọn lọc theo thành phần tích phân đường . Trong hình thức này, các phần tử ma trận của toán tử tiến hóa lượng tử giữa thời gian t' và   t"  được cho bởi tổng hợp tất cả quỹ đạo q (t) (đường dẫn) có thể (cổ điển và phi-cổ điển) , điều mà trong các trường hợp đơn giản nhất có thể được viết là

trong đó   là tác động cổ điển theo định nghĩa  (1).
Việc đưa vào công thức của cơ học lượng tử thực sự giải thích lý do tại sao các phương trình chuyển động trong cơ học cổ điển có thể được bắt nguồn từ một nguyên lý biến phân theo dạng (2). Trong giới hạn cổ điển, có nghĩa là, khi tác động cổ điển điển hình là lớn theo ℏ, tích phân đường có thể được xấp xỉ bằng cách sử dụng phương pháp pha tĩnh. Tổng hợp trên đường dẫn như vậy, bị chi phối bởi các đường dẫn để lại tác động tĩnh : đó là đường dẫn cổ điển thỏa mãn (2). Tính chất này tổng quát hóa lý thuyết trường lượng tử tương đối tính .

Trong trường hợp của một hạt phi- tương đối và không spin (spinless) trong điện trường và từ trường, phiếm hàm Lagrange (9), theo phép biến đổi gauge sẽ thay  bằng một đạo hàm thời gian toàn phần , (11). Những tác động thay đổi sau đó về các điều kiện biên , và tương ứng, các toán tử  tiến hóa biến đổi như sau 


điều này phù hợp với phép biến đổi (22) của hàm sóng.

3. Cơ chế điện từ và phương trình Maxwell

Phương trình Maxwell (Maxwell 1861-1862) trong chân không có thể được viết dưới hình thức vi phân địa phương như:



trong đó ρ(t,x) là hàm mật độ điện tích và J(t,x) là hàm mật độ dòng tức thời ,  E(t,x) là điện trường và B(t,x) là từ trường .
( Trừ khi có các quy định khác , trong phần này chúng ta dùng hệ thống đơn vị SI được mở rộng với các điều kiện unitar về các hằng số điện và từ   ϵ0=μ0=1 ,và tốc độ ánh sáng theo các đơn vị này  c=1 .)

Các phương trình Maxwell phù hợp với tính tương đối đặc biệt , đó là cơ chế điện từ là lý thuyết tương đối . Bất biến tương đối của lý thuyết được nếu bật bằng cách biểu diễn những điều quan sát được qua các quadrivector ( vector 4-chiều ) và các quadri-tensors, là những các có các thành phần được ký hiệu bởi các chỉ số Hy lạp  μ,ν,⋯ từ 0 đến  3 .
Căn cứ theo những ứng xử khác nhau qua phép biến đổi Lorentz , những chỉ số trên và chỉ số dưới được đăt tên là phản biến và hiệp biến . Hai vector 4-chiều đáng quan tâm đặc biệt là các tọa độ xμ  trong đó  x0≡t là     là thành phần thời gian và   x1,x2,x3  là các thành phần không gian , và những đạo hàm tương ứng .



Metric Minkowski      (tương ứng, nghịch đảo của nó là  ημν)   được sử dụng cho chỉ số phản biến  ( tương ứng các chỉ số hiệp biến ) như sau , ví dụ,


Để biểu diễn phương trình  Maxwell  theo ký hiệu 4-chiều hiệp biến , ta giới thiệu một tensor điện từ phản xứng      Fμν ,   được định nghĩa bởi 
Cũng như dòng 4-chiều 

Trong dạng tương đối, định luật Faraday và Gauss (25), (26) được kết hợp thành

(được gọi là đồng nhất thức Bianchi) trong khi các định luật Gauss và Ampère,  Maxwell (27), (28) cho ta 
 


Trong một đa tạp thu gọn , do Bổ đề Poincaré, đồng nhất thức Bianchi (29) có thể được tích hợp bằng cách giới thiệu một trường gauge  Aμ(x) để có :

Ta có thể xác định rằng hai trường gauge  Aμ(x) và   AΩμ(x) có quan hệ bởi phép biến đổi  gauge .
 
tương ứng với cùng tensor điện từ (31).
Trong các thành phần vô hướng phi-tương đối  và thế vector
và (32) tương ứng với (5) và (10).


Giống như trong ví dụ của một hạt trong từ trường, phương trình của Maxwell (30) có thể được trích xuất từ trạng thái tĩnh của một tác động được thể hiện với các thành phần của thế vector, sau khi xác định (31). Trong sự hiện diện của một dòng bảo toàn  ,
  JμJμ
phiếm hàm mật độ Lagrange có dạng 


với tác động S như sau


Như ví dụ về hạt phi-tương đối trong từ trường , tác động thay đổi bởi các điều kiện biên dưới phép biến đổi gauge  (32 )  ; nếu  Ω(x)   là một hàm trơn triệt tiêu tại điểm vô hạn không-thời gian thì tác động là một bất biến bởi vì sau đó 



Có nghĩa là  với 

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic. 
Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .