THÔNG TIN KHOA HỌC . Phần 4 .

THÔNG TIN KHOA HỌC .

Phần 4 .

Làm thế nào các nhà khoa học ở Trái Đất lại có thể liên lạc, gửi và nhận tín hiệu từ vũ trụ?

Bạn gọi một cuộc gọi đường xa, dù xa đến mấy, cũng có nhà mạng “đỡ lưng” và gửi tín hiệu điện thoại cho bạn. Nhưng với một tàu vũ trụ xa ngoài vũ trụ thì “nhà mạng” nào gồng gánh được?
Câu trả lời cho bạn đây: đó là hệ thống liên lạc DSN – Deep Space Network (Mạng Vũ Trụ Sâu) của NASA, một trong những hệ thống liên lạc lớn nhất và nhạy nhất trên thế giới. Tất nhiên là thế với thế giới của chúng ta thôi, biết đâu ngoài vũ trụ kia còn có một “nhà mạng” lớn mạnh hơn cả NASA của chúng ta?
Ghi chú thêm cho các bạn chưa biết, Deep Space – vũ trụ sâu là phần không gian nằm ngoài tầm ảnh hưởng của Trái Đất, tức là khoảng không xa hơn Mặt Trăng trở ra.

DSN là dàn ăngten liên lạc radio quốc tế khổng lồ của NASA đặt tại ba địa điểm: California, Mỹ - Madrid, Tây Ban Nha và Canberra, Úc. Nó có nhiệm vụ hỗ trợ các sứ mệnh không gian và một số vệ tinh quay quanh Trái Đất. DNS còn cung cấp những quan sát vũ trụ, cung cấp cho chúng ta thêm những thông tin để hiểu về vũ trụ rộng lớn kia. 3 mạng lưới được đặt một cách khoa học quanh thế giới (cách nhau xấp xỉ 120 kinh độ), để lỡ khi trạm này không nhận được tin nhắn do Trái Đất quay, trạm khác có thể ngay lập tức kết nối, không để gián đoạn liên lạc.

Tất cả đều được liên lạc bằng sóng radio. Loại sóng này truyền đi với vận tốc ánh sáng (299.792.458 m/s – 1.079.252.849 km/h, hơn 1 tỷ km/h). Nhưng để sóng truyền về tới hệ thống mặt đất, thì Voyager 1, tàu không người lái hiện xa Trái Đất nhất hiện tại, sẽ phải mất 17 tiếng 15 phút và 57 giây, tăng lên mỗi ngày (thông số đo đạc vào thời điểm cách đây hơn 1 năm), bởi lẽ con tàu Voyager vẫn đang tiếp tục hành trình “rời xa Đất Mẹ” của mình. Các bạn có thể xem khoảng cách của 2 con tàu thuộc sứ mệnh Voyager với Trái Đất tại đây.
Những bộ ăngten lớn của DSN là kết nối không thể thiếu với các nhà thám hiểm vũ trụ hay với những con tàu không người lái ngoài kia. Nó cung cấp một kết nối tối quan trọng với tàu vũ trụ và cung cấp cho chúng ta những hình ảnh, những thông tin khoa học về chính Trái Đất hay những hành tinh khác, thậm chí cả chính vũ trụ.

Mỗi một cơ sở của DSN được đặt trong một địa hình nửa đồi núi, trũng lòng chảo để tạo nên một lá chắn tự nhiên ngăn chặn việc nhiễu tần số sóng radio. Những ăngten lớn tạo nên một đường truyền hai triều từ trạm DSN tới những tàu vũ trụ có và không người lái. Chúng có các khả năng:
- Lấy được những thông tin từ xa.
- Chuyển lệnh điều hành tới các tàu vũ trụ.
- Cập nhật phần mềm cho các tàu vũ trụ.
- Theo dõi vị trí và tốc độ của tàu vũ trụ
- Đo đạc nhiều loại sóng radio phục vụ cho mục đích nghiên cứu.
- Thu thập thông tin khoa học.
- Điều chỉnh hoạt động của toàn bộ mạng lưới DSN mặt đất.

Nhưng không có gì là hoàn hảo, DSN vẫn còn đó những giới hạn và trước mắt còn rất nhiều thử thách cho mạng lưới này nói riêng và toàn bộ nền khoa học khám phá vũ trụ nói chung.
- Mạng lưới DSN – Deep Space Network, với cái tên “vũ trụ sâu” làm nhiều người hiểu lầm. Hiện tại ta chưa có những dự án tương lai hay những vệ tinh liên lạc chuyên dụng để có thể sử dụng vào nhiều mục đích, nhiều nhiệm vụ khám phá. Tất cả những thiết bị truyền và nhận đều đặt tại Trái Đất, vì vậy mà thông tin đưa ra và nhận và sẽ bị khoảng cách lớn ngăn cản
- Có những sứ mệnh không gian đã hoạt động lâu hơn thời gian dự kiến, và hiện tại vẫn gửi về những dữ liệu thu thập được. Điển hình là sứ mệnh Voyager đã được bắt đầu từ năm 1977, hiện tại sứ mệnh vũ trụ này vẫn mang lại cực kì nhiều thông tin quý giá. Đây là những vậy thể nhân tạo đầu tiên đặt chân tới những nơi xa như vậy. Dù đây là tin mừng, nhưng để duy trì và tiếp túc nhận thông tin gửi về từ Voyager, ta cần những bộ xử lý và ăngten mặt đất cực kì lớn.
- Việc thay thế, bảo dưỡng tốn kém và sẽ khiến toàn bộ hệ thống trì trệ với thời gian lên tới vài tháng mỗi lần sửa.
- Có những ăngten đã gần đến lúc “từ giã cõi đời”, chúng sẽ phải được thay thế sớm.
- Tính tới năm 2020, với đà khám phá này, thì DSN sẽ phải gánh vác nhiều gấp 2 lần số sứ mệnh mà nó phải làm vào thời điển năm 2005. Việc không thay thế hệ thống DSN đã có tuổi, kèm theo càng ngày có càng nhiều nhiệm vụ không gian mà DSN phải cáng đáng, tất yếu sẽ xảy ra những hậu quả.

Thời đại 'nô lệ' của điện thoại, công nghệ

Theo Trí Thức Trẻ/GenK

Phát hiện chấn động: Đã tìm ra lực thứ 5 cấu tạo nên vũ trụ

Hoa Hướng Dương | 27/05/2016 18:26

17

Nguồn  http://soha.vn/phat-hien-chan-dong-da-tim-ra-luc-thu-5-cau-tao-nen-vu-tru-20160527112459105.htm

Toàn bộ những gì xảy xung quanh chúng ta đều do 4 lực cơ bản cấu tạo nên, thế nhưng đó chưa phải là tất cả lực tạo nên vũ trụ này!

• Lực hấp dẫn: Chất keo dính của vũ trụ và vạn vật 
•  
• Trong lịch sử khoa học, chúng ta mới chỉ khám phá ra 4 thành tố cơ bản của lực tự nhiên tạo nên vũ trụ, nhưng điều đó không làm các nhà khoa học hài lòng. Họ tin rằng có lực thứ 5 bí ẩn và luôn kiếm tìm nó.

4 lực cơ bản của tự nhiên đã biết

4 lực cơ bản. Ảnh Internet.

Thế giới xung quanh chúng ta vận động và phát triển không ngừng, thế nhưng dù phức tạp như thế nào thì cũng chỉ 4 loại lực cơ bản tạo nên vũ trụ.
1. Lực hấp dẫn
Lực hấp dẫn ngự trị trong thế giới vĩ mô và được Newton phát hiện ra khi ngồi dưới gốc táo ở thế kỷ 17, đây là lực tạo nên chất "keo dính" của toàn bộ vũ trụ.
Nó hút các vật này về phía các vật khác. Nó giữ cho chúng ta ở trên mặt đất, giữ cho mặt Trăng quay quanh Trái Đất; các hành tinh quay xung quanh Mặt Trời, giữ cho các ngôi sao ở trong thiên hà và các thiên hà trong các đám thiên hà.
Sẽ ra sao nếu không có lực hấp dẫn, mọi thứ sẽ trôi nổi vô định trong vũ trụ. Do đó đây là lực phổ biến nhất vũ trụ, mọi thứ đều bị lực hấp dẫn tác động, tuy nhiên đây cũng là lực yếu nhất trong 4 lực tự nhiên.
2. Lực Điện từ
Lực điện từ được nhà vật lý người Scotland là James Maxwell khám phá vào năm 1864.
Sức mạnh của lực điện từ làm cho một thanh nam châm dễ dàng hút được một chiếc đinh bất chấp lực hấp dẫn của toàn bộ khối lượng Trái Đất tác dụng lên nó, do đó lực điện từ mạnh hơn lực hấp dẫn.
Lực điện từ tạo nên các nguyên tử bằng cách buộc các electron (mang điện tích âm) vào các hạt nhân. Do đó nếu không có lực này, những hạt cơ bản nhất sẽ không thể liên kết và sẽ không có vật chất như ngày nay.
Lực này cũng không xuất hiện ở mọi vật chất trong vũ trụ như lực hấp dẫn, nó chỉ tương tác khi hạt mang điện tích (hoặc âm hoặc dương), còn những hạt không mang điện tích như photon (hạt ánh sáng) hay neutron thì không có lực điện từ.
Miền tác dụng của lực điện từ không chỉ ngừng lại trong thế giới nguyên tử. Nó can thiệp vào cả việc tạo ra những cấu trúc phức tạp hơn. Nó gắn các nguyên tử lại bằng cách buộc chúng phải chia sẻ các electron của mình để tạo nên các phân tử.

Lực hấp dẫn tác động toàn bộ vũ trụ. Ảnh minh họa.

Chính điều này tạo nên các phân tử phức tạp hơn hay nói cách khác tạo nên toàn bộ vũ trụ, nếu lực hấp dẫn phụ thuộc và tác động lên khối lượng vật thì lực điện từ lại chịu sự chi phối của điện tích mà vật đó mang.
Mặt khác phạm vi tác động của lực điện từ nhỏ hơn rất nhiều so với lực hấp dẫn, lực điện từ chỉ có phạm vi trong cấp độ nguyên tử, phân tử, (vi mô)... còn lực hấp dẫn là lực của toàn bộ vũ trụ (vĩ mô).
Đây chính là điểm khác nhau của 2 loại lực cùng mang tính kết nối vũ trụ này.
3. Lực "yếu"
Vào một đêm năm 1896, nhà vật lý người Pháp Henri Becquerel đã vô tình phát hiện sự phân rã nguyên tử và khám phá ra lực yếu này.
Vật chất nói chung không phải là bất tử, nếu đi tới tận cùng cấp độ nhỏ hơn nguyên tử, chúng ta sẽ thấy rằng có rất ít hạt sơ cấp trong hàng trăm hạt sơ cấp là "bất tử" (bền).
Còn lại đa số đều là hạt không bền, dễ bị phân rã thành các hạt bền nhỏ hơn. Lực điều khiển phân rã và biến hóa này là lực có biệt danh là "yếu".

Bí ẩn về 80 % còn lại của vũ trụ sẽ được giải đáp. Ảnh minh họa

Mặc dù vẫn lớn hơn lực hấp dẫn nhiều, nhưng lực này yếu hơn lực điện từ tới 1000 lần. Miền tác dụng của nó cũng rất nhỏ. Nó chỉ có sức mạnh trong thế giới nguyên tử.
4. Lực mạnh
Các hạt nhân nguyên tử là tập hợp của các hạt proton và neutron. Tất cả các proton đều mang cùng một điện tích dương, do đó lực điện từ khiến chúng đẩy xa nhau (cùng dấu thì đẩy, trái dấu thì hút). Vậy lý do gì chúng vẫn có thể tồn tại trong nhân nguyên tử?
Đó chính là do lực mạnh, lực mạnh nhất trong 4 lực tự nhiên (Nó mạnh hơn lực điện từ tới 100 lần). Tuy nhiên phạm vi của nó cũng rất hẹp, chỉ trong phạm vi mà lực yếu tác dụng.
Phát hiện mới nhất về sự tồn tại của lực thứ 5

"Siêu lực" thứ 5 là gì? Ảnh minh họa.

Tưởng chừng chúng ta đã khám phá ra đầy đủ những lực tạo nên vũ trụ khi đi sâu tới tận cấp độ nhỏ hơn nguyên tử (hạt sơ cấp). Thế nhưng những hạt nhỏ hơn vẫn được khám phá (như hạt Quark). Điều này cho phép các nhà khoa học tin rằng:
Vẫn có thể có những cấp độ nhỏ hơn mà chúng ta chưa khám phá ra, và do đó còn những lực bí ẩn chi phối cái thể giới siêu vi mô này.
Mới đây, các nhà vật lý của Hungary (đứng đầu là nhà vật lý Attila Krasznahorkay) nghĩ rằng họ đã tìm ra được bằng chứng tồn tại của nó. Một nhóm các nhà vật lý tại Viện Khoa học Hungary đã tiến hành thử nghiệm bắn các proton vào đồng vị lithium-7.
Kết quả là họ thu được một loại hạt boson mới siêu nhẹ, với trọng lượng chỉ bằng 1/34 lần một electron (mà như chúng ta biết các electron gần như không có trọng lượng).
Một nhóm các nhà khoa học đến từ Đại học California, Irvine đã công bố phân tích của họ về thử nghiệm này.

Hạt photon tối hay hạt boson. Ảnh minh họa.

Theo đó, họ phát hiện ra lực bí ẩn thứ 5 mà hạt boson mang theo, không những thế phát hiện này còn lý giải 80 % bí ẩn còn lại của vũ trụ: Vật chất tối và năng lượng tối.
Vì nhiều nhà khoa học tin rằng loại hạt boson mới được phát hiện này có thể chính là "photon tối", (là hạt đối lập với photon sáng đã biết).
Phát hiện này có thể là bước đột phá trong khoa học tự nhiên nói chung cũng như vật lý nói riêng, nếu chứng minh được lực thứ 5 bí ẩn này, Câu hỏi lớn nhất về vũ trụ có thể được giải đáp và chúng ta sẽ vén được màn đêm dày đặc bên ngoài vũ trụ kia.
Nguồn: Internet và techinsider

Lực hấp dẫn: Chất keo dính của vũ trụ và vạn vật

Alex Vũ | 26/05/2016 14:13

1

Nếu bạn tò mò về lý do chính mà các nhà khoa học đang đứng ngồi không yên về sóng hấp dẫn – những gợn sóng trong không-thời gian được hình thành từ sự va chạm của các lỗ đen vũ trụ và các ngôi sao nổ tung – thì đó là bởi vì nó giúp chúng ta trả lời được rất nhiều câu hỏi về lực hấp dẫn.

Trong cuộc sống thường nhật, có đến bốn lực cơ bản của tự nhiên (four fundamental forces of nature) cùng hoạt động và ảnh hưởng lên nhau, để tạo ra được thế giới mà bạn vẫn thấy.
Nếu như bạn nhìn ra cảnh vật bên ngoài trong một đêm mưa gió, bạn có thể nhận thấy được rõ tầm ảnh hưởng của bốn lực cơ bản này.
Lực hấp dẫn khiến cho những chiếc lá và những cành cây gãy rơi xuống mặt đất. Lực điện từ tạo ra ánh sáng trong ngôi nhà bạn và những tia chớp trên bầu trời. Lực hạt nhân nhẹ giúp cho sự tồn tại của các nguyên tử cấu thành vạn vật.
Và cuối cùng, lực hạt nhân nhẹ gây ra sự phân ra nguyên tử và phóng xạ, giúp cho các nhà máy điện hạt nhân hoạt động.

 Chất keo dính của vũ trụ

Có lẽ tất cả các sinh vật tồn tại trên cuộc đời này đều đã quá quen thuộc với thứ lực đã giúp chúng dính liền với mặt đất thay vì bay lơ lửng trong không gian - lực hấp dẫn.
Nhờ có lực mà tưởng chừng là thứ lực "vô dụng" nhất trong bốn lực cơ bản của tự nhiên này, mà chúng ta biết được một chân lý - tất cả các vật đều rơi từ cao xuống thấp.
Tuy nhiên, khái niệm vạn vật hấp dẫn, tức là hấp dẫn tác động đến toàn bộ vũ trụ, chỉ được khai sinh bởi Newton vào thế kỷ 17. Trong vũ trụ của Aristotle ở thế kỷ 4 TCN, chuyển động thẳng đứng này chỉ đặc trưng cho riêng Trái đất và Mặt trăng.
Trong khi đó, Mặt trời và các hành tinh khác tại thời điểm đó được coi là một "thế giới hoàn hảo", trong đó chuyển động trong không gian của chúng mang hình dáng của một vòng tròn lý tưởng và hoàn toàn tách biệt khỏi lực hấp dẫn.
Điều này cho thấy rằng thứ mà chúng ta coi là một chân lý tất yếu ngày hôm nay, đã khiến con người phải mất đến 1687 năm để giác ngộ!

 Newton và truyền thuyết quả táo rụng

Lực hấp dẫn ngự trị trong thế giới vĩ mô. Nó thường được coi là chất keo dính của vạn vật, bởi tính chất hút các vật này về khía các vật khác.
Ngoài việc giữ cho chúng ta đứng yên trên mặt đất, nó còn giữ cho Mặt trăng quay quanh Trái đất và các hành tinh khác quay xung quanh Mặt trời. Hay xa hơn nữa là giữa các ngôi sao ở trong dải Ngân Hà và các thiên hà trong các đám thiên hà.
Có thể bạn biết rằng đỉnh Everest là đỉnh núi cao nhất thế giới với độ cao 7.2km (tính từ mặt nước biển; đỉnh Everest thua rất nhiều đỉnh khác ví dụ như đỉnh Chimborazo tại Ecuador nếu tính từ tâm Trái đất).
Thế nhưng nó vẫn chưa là gì so với đỉnh Olympic Mons trên sao Hỏa (Mars) với độ cao xấp xỉ 25km.
Tại đây có thể bạn sẽ đặt câu hỏi: Tại sao độ cao các đỉnh núi trên Trái đất lại thua các đỉnh núi trên sao Hỏa xa đến như vậy?

 Everest - đỉnh núi cao nhất trên bề mặt Trái đất, thể hiện cường lực của lực hấp dẫn trên hành tinh này

Câu trả lời chính là trọng lực. Khi một ngọn núi hay một tòa nhà càng cao, thì nền móng của nó sẽ phải chịu một áp lực càng lớn theo cấp số nhân.
Đối với trọng lực của Trái đất, thì khi một vật đạt tới độ cao 15km trên mặt nước biển, áp lực đặt lên nó sẽ lớn đến mức có thể nghiền nát nền móng của chính nó thành chất lỏng.
Trong môi trường sao Hỏa, thì trọng lực yếu hơn trọng lực Trái đất khoảng 2.7 lần, và đó là lý do tại sao sao Hỏa có Olympic Mons, còn chúng ta thì không bao giờ. Và trái lại, một "ngọn núi" trên một ngôi sao neutron chỉ có thể cao khoảng 5mm vì trọng lực khủng khiếp của nó.
Đặc điểm này của trọng lực Trái đất đã có khá nhiều ứng dụng trong thực tế. Vào thời xưa, một loại máy bắn đá.
Có tên gọi trebuchet đã vận dụng năng lượng hấp dẫn từ quả cân đối trọng (counterweight) để phóng các khối đá khổng lồ qua các bức tường thành tưởng chừng không thể cao hơn.
Trong thế giới hiện đại, đặc điểm này được sử dụng một cách hiệu quả nhất trong các bể bơm nước trên cao mà gần như ngôi nhà nào ở Việt Nam cũng có. Nó đồng thời cũng là điều kiện tiên quyết cho các hệ thống nhà máy thủy điện.

 Nhà vật lý học Stephen Hawking trong môi trường không trọng lực

Nếu không có trọng lực, chúng ta sẽ trôi lơ lửng trong không gian, Mặt trăng và các hành tinh và các ngôi sao khác sẽ tan tác trong vũ trụ.
Thế nhưng để được trải nghiệm môi trường không trọng lực lại là một trải nghiệm khá thú vị. Điều đáng tiếc là đó là một đặc quyền không phải người bình thường nào cũng có được.
Tình trạng gần môi trường không trọng lực nhất mà bạn có thể được trải nghiệm mà không cần phải mất đến 20.000USD cho SpaceX của Elon Musk, đó là nhờ đến các trò chơi cảm giác mạnh tại các công viên giải trí.
Điều này là bởi khi con tàu cảm giác mạnh rơi tự do, tốc độ rơi của bạn cũng xấp xỉ tốc độ rơi của chính con tàu đó.
Còn nếu như bạn có đủ tiền để chi trả cho một chuyến du hành tham quan vũ trụ, hãy nhớ rằng tàu vũ trụ của bạn sẽ bắt buộc phải đạt đến tốc độ 7 dặm một giây, tức là khoảng 40.555km/h, để có thể vượt ra khỏi tầm kiểm soát của trọng lực Trái đất.
Nếu không thì tính mạng của bạn sẽ nằm trong tình trạng cực kỳ nguy hiểm, bởi tàu vũ trụ của bạn có thể sẽ bị rơi trở về mặt đất và nổ tung. Một con số khủng khiếp cho một cuộc tham quan nguy hiểm cũng không kém, và với một chi phí khổng lồ!

 Liên kết làm nên sức mạnh

Lực hấp dẫn trên thực tế lại cực kỳ yếu. Nếu so sánh với các lực cơ bản của tự nhiên còn lại, thì lực hấp dẫn là lực yếu nhất. Ở mức độ các hạt sơ cấp, lực hấp dẫn gần như không đáng kể.
Trong nguyên tử hydrogen, nguyên tử cơ bản và nhẹ nhất trong số các nguyên tố vũ trụ, thì lực hấp dẫn giữa electron và proton thì nhỏ hơn lực điện liên kết vào khoảng 10⁴⁰ (1 và 40 số 0 theo sau) lần.
Do đó, nếu lực điện không tồn tại để níu giữ electron và proton, lực hấp dẫn sẽ không đủ sức giữ chúng ở gần nhau với khoảng cách dưới vài chục tỷ năm ánh sáng. Nguyên tử hydrogen lúc đó sẽ phồng to ra cho đến khi chiếm trọn toàn bộ vũ trụ.

 Cấu tạo nguyên tử hydrogen

Vì cường độ hấp dẫn phụ thuộc vào khối lượng hai vật, và vì nguyên tử hydrogen cũng vô cùng nhỏ bé (10^-27 gram), nên lực hấp dẫn giữa electron và proton yếu đến vậy là phải.
Vì thế nên để thể hiện "uy quyền" của mình, lực hấp dẫn phải thể hiện nó thông qua những vật có khối lượng lớn hơn và chứa nhiều các hạt hơn. Và con số các hạt này lại lớn đến mức không tưởng tượng nổi.
Một gram nước dù có chứa tới 10²⁴ hạt, nhưng vẫn chưa có ảnh hưởng gì. Bạn có thể cảm nhận thấy một "sức hút" kỳ lạ nào đó đến từ một cô gái nặng 50kg hay một chàng trai 70kg, nhưng tôi dám cá với bạn đó vẫn không phải là lực hấp dẫn.

Ở cấp độ cuộc sống thường ngày của chúng ta, thì ngoài trọng lực Trái đất, lực hấp dẫn vẫn không thể đạt được sức ảnh hưởng quan trọng. Chỉ ở cấp độ thiên văn nó mới có thể tìm được tiếng nói của riêng mình.
Khối lượng của Trái đất (khoảng 6 x 10²⁷g, tương đương 6 x 10²⁴kg) giữ cho chính chúng ta và Mặt trăng không trôi nổi trong không gian. Mặt trời (10³³g), các ngôi sao (10³³g), các thiên hà (10⁴⁵g), các cụm thiên hà (10⁴⁶g), các đám thiên hà (10⁴⁸g).
Và cuối cùng là vũ trụ giãn nở (?) tạo nên các bậc thang tăng dần về khối lượng và dựng nên một vương quốc ngày càng được mở rộng được cai trị bởi ông chủ độc tài mang tên lực hấp dẫn.

• Title The many faces of Earth
• Released: 22/04/2016
• Length 00:00:30
• Language English
• Footage Type Animation
• Copyright ESA
• Description From their vantage points some 800 km high, Earth-observing satellites ‘see’ our planet in more ways than one. Different sensors see different aspects such as topography, temperature and atmospheric make-up.

http://www.esa.int/spaceinvideos/Videos/2016/04/The_many_faces_of_Earth
http://www.esa.int/Education/Teach_with_Rosetta

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 14h . KHẢO SÁT HÀM SỐ - Điểm đặc biệt của hàm số.

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 14h . KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Điểm đặc biệt của hàm số .   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

https://www.geekandnerd.org/mathematics-problem-solver-online/

https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

14.  KHẢO SÁT HÀM SỐ  - Điểm đặc biệt .

14.11  Điểm đặc biệt của hàm số .

14.11.1 Tìm điểm uốn của hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y''(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2+x+5)/(x^2+x+1)$

Lời giải

*Dùng widget  G12.I.1 TIM DIEM UON CUA HAM SO    https://goo.gl/FxdxU9

Điểm uốn : $M_1(-1,5);M_2(0,5)$


Ví dụ 2. 
Tìm điểm uốn của hàm số $y=(x^2-1)^2-5$

Lời giải

Điểm uốn : $M_1(-1/ \sqrt{3},-41/9);M_2(1/ \sqrt{3},-41/9)$


14.11.2 Tìm tập hợp điểm uốn của hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm uốn tại $x=x_{0} \Leftrightarrow $
+ Đạo hàm cấp 2 :  $y''(x_{0})=0 $
+ Đạo hàm cấp 2 $y'(x)$ đổi dấu khi đi qua $x_{0}$

Giải phương trình y''=0, tìm nghiệm m(x)
Khử m giữa y,x bằng cách thay m(x) vào y=f(x)

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tập hợp điểm uốn của hàm số $y=x^3-3*(m-1)*x^2+2mx-1$

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 TIM TAP HOP DIEM UON (bt9.1)    https://goo.gl/1MqUct

Xem  https://goo.gl/1zF5hf
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM TAP HOP DIEM UON (bt9.2)    https://goo.gl/Ac34Cw

Tập hợp điểm uốn của hàm số là hàm bậc 3 : $y=-2x^3+2x^2+2x-1$
Xem  https://goo.gl/mfkmGf

14.11.3 Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Hàm số có điểm cố định tại $M(x_0,y_0)  \Leftrightarrow  y_0=f(x_0,m) $ thỏa với mọi m

Xét  (Cm) : y = f(x,m) ;
Rút m làm thừa số chung .
Chuyển về dạng mA+B=0
Giải hệ A=0 ,B=0  tìm được điểm cố định

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+(m+1)x-1$

Lời giải .

Xét  (Cm) :$ y = x^3-mx^2+(m+1)x-1$ .
Rút m làm thừa số chung .
Chuyển về dạng mA+B=0 :  $m(x^2-x) + y +1 -x^3-x =0$
Giải hệ A=0 ,B=0 : $x^2-x =0 ;  y +1 -x^3-x =0$
Thu được  $x=0,y=-1$ ;  $x=1,y=1$
Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(0,-1);M_2(1,1)$

*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.1)    https://goo.gl/t78vJU

*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.2)    https://goo.gl/jGrK59

Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(0,-1);M_2(1,1)$
Tuy nhiên một số trường hợp điểm cố định của đồ thị hàm số chỉ tồn tại khi thỏa mãn các điều kiện của tham số . Hãy xét ví dụ sau đây :

Ví dụ 2. 
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=(x^2-mx+m-1)/(x+2m)$

Lời giải .
Tìm điều kiện tồn tại hàm số hữu tỷ ( phần dư Horner  hoặc trong khai triển Laurent phải khác 0 )

*Dùng  widget  G12.I.1 TIM PHAN DU CUA HAM SO HUU TY     https://goo.gl/hjWp3G

Giải điều kiện  $6m^2+m-1 \neq 0  \Leftrightarrow  m \neq -1/2 ;m \neq 1/3$
Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số $y=(x^2-mx+m-1)/(x+2m)$
*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.1)    https://goo.gl/t78vJU

Xem  https://goo.gl/yB6TLE
*Dùng  widget  G12.I.1 DIEM CO DINH CUA (Cm) (bt8.2)    https://goo.gl/jGrK59

Vậy hàm số có 2 điểm cố định $M_1(1,0);M_2(-2/3,5/6)$
Điều kiện là $m \neq -1/2 ;m \neq 1/3$.
Xem  https://goo.gl/By5qb3


14.11.4 Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

*Đối với hàm số bậc 3  $(C) : y = f(x) = ax^3+bx^2+cx+d,a \neq 0$
TÂM ĐỐI XỨNG = ĐIỂM UỐN
Tìm điểm uốn của hàm số
Áp dụng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.1)     https://goo.gl/Zv1wg7
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)     https://goo.gl/Vwg1F2
Đây là phép tịnh tiến với  $x0,y0$ là tọa độ điểm uốn
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu
Ta chứng minh hàm số mới  Y = F(X)  là hàm số lẻ ( đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )

*Đối với hàm số hữu tỷ  $(C) : y = f(x) = (ax^2+bx^2+c)/(dx+f)$
TÂM ĐỐI XỨNG = GIAO ĐIỂM TIỆM CẬN ĐỨNG , TIỆM CẬN XIÊN
*Đối với hàm số nhất biến  $(C) : y = f(x) = (ax+b)/(cx+d)$
TÂM ĐỐI XỨNG = GIAO ĐIỂM TIỆM CẬN ĐỨNG , TIỆM CẬN NGANG

Tìm giao điểm của các tiệm cận tương ứng
Áp dụng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)     https://goo.gl/h1cePT
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)     https://goo.gl/Vwg1F2
Đây là phép tịnh tiến với  $x0,y0$ là tọa độ điểm uốn
Áp dụng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu
Ta chứng minh hàm số mới  Y = F(X)  là hàm số lẻ ( đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O )


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.1)     https://goo.gl/Zv1wg7

Tâm đối xứng $I(1,0)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,0)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2

Xem  https://goo.gl/WFeJiV
Chứng minh hàm số mới $y=x^3-3x$  là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu

Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=x^3 -3 x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/yQm9TQ

Ví dụ 2. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=(x^2+x+1)/(x-1)$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)    https://goo.gl/h1cePT

Tâm đối xứng là $I(1,3)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,3)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2

Xem  https://goo.gl/rKtxaC
Chứng minh hàm số mới  $y=x+3/x$ là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu

Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=x+3/x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/iVjjTf

Ví dụ 3. 
Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số $y=(2x+1)/(x-1)$

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TAM DOI XUNG CUA DO THI (bt10.2)    https://goo.gl/h1cePT

Tâm đối xứng là $I(1,2)$
Phép tịnh tiến tâm $I(1,2)$
*Dùng  widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.1)    https://goo.gl/Vwg1F2

Xem  https://goo.gl/gk12PM
Chứng minh hàm số mới  $y=3/x$ là lẻ .
*Dùng widget  G12.I.1 BIEN DOI DO THI Y+y0=f(X+x0) (bt11.2)     https://goo.gl/1oHeCu

Hàm số sau khi biến đổi  $(C1') : y=3/x$  là hàm lẻ , Đồ thị màu tím (violet) đối xứng qua gốc tọa độ O . Xem  https://goo.gl/mCWv8c


14.11.5 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) cách đều Ox,Oy .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Giải hệ phương trình  ${y(C),y=x (PG1)} , {y(C),y=-x (PG2)}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+5x : (C)$ cách đều 2 trục tọa độ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CACH DEU Ox,Oy (bt22)     https://goo.gl/Q5LtvP
 Giải hệ ${y(C),y=x (PG1)}$

Giải hệ  ${y(C),y=-x (PG2)}$

Các điểm $M(0,0);M(1,1);M(4,4);M(2,-2);M(3,-3)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .


14.11.6 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) cách đều 2 đường tiệm cận .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x)/Q(x) : (C) $ [1]
Tìm phương trình đường tiệm cận đứng $P(x)=0 \Leftrightarrow x = x_0$ hay $x-x_0=0$
Tìm phương trình đường tiệm cận nagng $lim_{x-> \infty} P(x)/Q(x) = y_0 \Leftrightarrow y = y_0$ hay $y-y_0=0$
 Khoảng cách  $d[M,(TCD)]=d[M,(TCN)]$ [2]
Giải hệ [1],[2]

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(2x-1)/(x-1) : (C)$ cách đều 2 đương 2 tiêm cận .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CACH DEU 2 T/CAN (bt23)     https://goo.gl/pnQPyk

Các điểm $M(0,1);M(2,3)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .
Xem  https://goo.gl/NfVmGA


14.11.7 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) khoảng cách từ M đến Oy gấp k lần khoảng cách từ M đến Ox .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
 $d[M,Oy]=kd[M,Ox]$
Giải hệ phương trình  ${y(C),x=ky (th1)} , {y(C),x=-ky (th2)}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=x^3-5x^2+5x : (C)$  thỏa  $d[M,Oy]=1/5. d[M,Ox]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,Oy]=kd[M,Ox] (bt24)     https://goo.gl/FQUGtp
 Giải hệ ${y(C),x=ky (th1)};k>0$

Giải hệ ${y(C),x=-ky (th2)};k<0$

Các điểm $M(0,0);M(5,25)$ thỏa mãn điều kiện của bài toán .
Xem  https://goo.gl/xuwqFp

Ví dụ 2. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x-1)/(x-2) : (C)$  thỏa  $d[M,Oy]=2 . d[M,Ox]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,Oy]=kd[M,Ox] (bt24)     https://goo.gl/FQUGtp
 Giải hệ ${y(C),x=ky (th1)};k>0$

Giải hệ ${y(C),x=-ky (th2)};k<0$

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .

$x = -\sqrt{2} ≈ -1.41421 ; y = (1 + \sqrt{2})/(2 + \sqrt{2}) ≈ 0.707107$
$x = \sqrt{2} ≈ 1.41421 ; y = (\sqrt{2} - 1)/(\sqrt{2} - 2) ≈ -0.707107$
$x = 2 - \sqrt{2} ≈ 0.585786 ; y =( -1 + \sqrt{2})/ \sqrt{2} ≈ 0.292893$
$x = 2 + \sqrt{2} ≈ 3.41421 ; y = (1 + \sqrt{2})/ \sqrt{2} ≈ 1.70711$


14.11.8 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$  (C) khoảng cách từ M đến TCĐ gấp k lần khoảng cách từ M đến TCN .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Tìm phương trình các đường tiệm cận đứng và ngang .
 $d[M,TCD]=kd[M,TCN]$
Giải hệ phương trình  ${y(C),d[M,TCD]=kd[M,TCN]}$

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(2x-1)/(x-1) : (C)$  thỏa  $d[M,TCD]=1/4. d[M,TCN]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,TCD]=kd[M,TCN] (bt25)     https://goo.gl/6VF6PS

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(1/2;0) ; M(3/2;4)$
Xem  https://goo.gl/ybJmRH

Ví dụ 2. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(3 x + 2)/(x + 1) : (C)$  thỏa  $d[M,TCD]=4. d[M,TCN]$ .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) d[M,TCD]=kd[M,TCN] (bt25)     https://goo.gl/6VF6PS

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(-3;7/2) ; M(1;5/2)$
Xem  https://goo.gl/utcKGh


14.11.9 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=f(x)$ có tọa độ là số nguyên .
a. Quy tắc chung .

*Tìm tập xác định của hàm số $y=f(x) : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý :
TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ; dk : DƯ chia hết cho MẪU


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x-5)/(x+1) : (C)$  có tọa độ là số nguyên .

Lời giải .
*Dùng  widget  G12.I.1 TIM M : (C) CO TOA DO NGUYEN (bt26)     https://goo.gl/QVqE2L

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(0;-5) ; M(1;-2);M(2;-1);M(5;0);M(-7;2);M(-4;3);M(-3;4);M(-2;7)$

Xem  https://goo.gl/NkUKz1

14.11.10 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số  $y=P(x)/Q(x)$  sao cho { d[M,TCĐ]+d[M,TCB] }min .

a. Quy tắc chung .

Cho hàm số  $y=P(x) / Q(x)  : (C) $  có TCĐ $x-x0=0$ , TCN  $y-y0=0$
*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x) / Q(x)  : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý : Thay biểu thức hàm số  TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ;
Tính tổng khoảng cách {d[M,TCD]+d[M,TCN]}
Áp dụng BDT Cauchy

b. Các ví dụ .

Ví dụ 1. 
Tìm điểm M trên đồ thị hàm số $y=(x+2)/(x+1) : (C)$   sao cho {d[M,TCD]+d[M,TCN]} đạt min .

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 M/{d[M,TCD]+d[M,TCN]}min (bt27)     https://goo.gl/PmdqEJ

Các điểm thỏa mãn điều kiện của bài toán .
$M(0;2) ;M(-2;0)$

Xem  https://goo.gl/KsvhU2

14.11.11 Tìm 2 điểm M,N trên đồ thị hàm số  $y=P(x)/Q(x)$  sao cho MNmin .
a. Quy tắc chung .

Cho $(C): y = P(x) / Q(x)$ , tìm M,N trên 2 nhánh (C) : MN min
*Tìm tập xác định của hàm số $y=P(x) / Q(x)  : (C) $
Dùng thuật chia Horner tìm biểu thức của hàm sô .
Lưu ý :
TỬ / MẪU = THƯƠNG + DƯ / MẪU ; dk : DƯ chia hết cho MẪU
M trên nhánh TRÁI (C), N trên nhánh PHẢI (C)
$xM=xTCD- \alpha , xN= xTCD+ \beta ; \alpha , \beta > 0$
Tìm MN , áp dụng bất đẳng thức Cauchy 2 lần , tìm được MNmin và $\alpha$
Từ trị số của $\alpha$ ta có tọa độ diểm M,N .

b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm 2 điểm M,N trên đồ thị hàm số $y=(x+2)/(x+1) : (C)$  (HSNB) sao cho MNmin.

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 M,N : 2 NHANH (C)/{MN}min (bt28.1)     https://goo.gl/49DxFA

*Tìm M trên nhánh TRÁI (C)

*Tìm N trên nhánh PHẢI (C)

*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min(bt28.2)    https://goo.gl/q8BLmb
Nhập tung độ yM và yN vừa tìm được vào

Xem  https://goo.gl/R74zeZ
Vậy $\alpha=\beta=1 ;M(-2,0);N(0;2)$

Ví dụ 2. 

Tìm 2 điểm M,N  trên đồ thị hàm số $y=(x^2+x+1)/(x+1) : (C)$  (HSHT) sao cho MNmin. .

Lời giải .

*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min (bt28.3)     https://goo.gl/Qf9izk

*Tìm M trên nhánh TRÁI (C)

*Tìm N trên nhánh PHẢI (C)

*Dùng  widget  G12.I.1 M,N:2 NHANH(C)/{MN}min(bt28.4)    https://goo.gl/sSXwcq
Nhập tung độ yM và yN vừa tìm được vào , thay $\alpha = \beta$

Xem  https://goo.gl/PEL6XM
Vậy $\alpha=\beta = 1/2^{1/4}  ;M(-1/2^{1/4} - 1,-1 - 1/2^{1/4} - 2^{1/4});N(1/2^{1/4} - 1; -1 + 1/2^{1/4} + 2^{1/4})$

Hay   $\alpha=\beta = 1/2^{1/4} =1/\sqrt[4]{2}$
$M( -1 - 1/\sqrt[4]{2}  ; -1 - 1/\sqrt[4]{2} - \sqrt[4]{2} )$
$N( -1 + 1/\sqrt[4]{2} ; -1 + 1/\sqrt[4]{2} + \sqrt[4]{2})$



14.11.12 Tìm điểm M trên trục hoành ( tung ) từ đó kẻ được một số tiếp tuyến với đồ thị hàm số  $y=f(x)$  .
a. Quy tắc chung .

Điềm $M\in Oy\Leftrightarrow M(0,m)$ ; $M\in Ox\Leftrightarrow M(m,0)$
*Tìm tập xác định của hàm số $y= f(x) : (C) $
Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M
$+M(0,m) \in Oy : y-m=k(x-0) \Leftrightarrow y = kx + m (T)$
$++M(m,0) \in Ox : y-0=k(x-m) \Leftrightarrow y = kx - km (T)$

*Dùng diều kiện tiếp xúc
$\left\{\begin{matrix}
y(C)=y(T) [1] \\ y'(C)=y'(T)[2]
\end{matrix}\right.$

*Thế [2] vào [1] , đưa về phương trình bậc 2 (hoặc 3) theo x , m [3] .

LƯU Ý :
Nếu [3] là phương trình bậc 2 :
Điều kiện $a \neq 0 ; \Delta = b^2-4ac$

0 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac<0$ hoặc $a = 0 ; b = 0 ; c \neq 0$
1 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac=0$ hoặc $a = 0 ; b \neq 0$
2 tiếp tuyến : $a \neq 0;\Delta = b^2-4ac>0$

Nếu [3] là phương trình bậc 3 :
 Đưa [3] về dạng $g(x)=h(m)$ .
Áp dung khảo sát hàm số $g(x)$ cho $h(m)$ di động , tìm trị số m .


b. Các ví dụ .
Ví dụ 1. 
Tìm  điểm M trên Oy có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với  đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+2 : (C)$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm M
$+M(0,m) \in Oy : y-m=k(x-0) \Leftrightarrow y = kx + m (T)$
Dùng diều kiện tiếp xúc
$\left\{\begin{matrix}
y(C)=y(T) [1] \\ y'(C)=y'(T)[2]
\end{matrix}\right.$

Hay
$\left\{\begin{matrix}
x^3-3x^2+2= kx + m  [1] \\ 3x^2-6x=k[2]
\end{matrix}\right.$

Thế [2] vào [1] , đưa về phương trình bậc 2 (hoặc 3) theo x , m [3] .
Xem  https://goo.gl/eivGpb
Thu được  $m=-2 x^3 + 3 x^2 + 2$ [3]
Vẽ đồ thị hàm số $y=-2 x^3 + 3 x^2 + 2$ , cho m di động . Để [3] có 2 nghiệm thì $m=2;m=3$
Xem  https://goo.gl/H7ER8E

Điểm $M(0,2);M(0,3)$ thỏa mãn điều kiện bài toán .






Trần hồng Cơ
Ngày 08/06/2016




 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Love not the world, neither the things that are in the world. If any man love the world, the love of the Father is not in him. For all that is in the world, the lust of the flesh, and the lust of the eyes, and the pride of life, is not of the Father, but is of the world. 

1 John 2:15-16 KJV 

 Chớ yêu thế gian cùng những gì trong thế gian. Nếu ai yêu thế gian thì sự kính yêu Thượng Đế không ở trong người ấy. 

 I Giăng 2:15