Bất biến gauge - Gauge invariance 1 .

Bất biến gauge -  Gauge invariance .

Trần hồng Cơ .

Ngày 15 tháng 7 năm 2012 .

Dịch , tổng hợp biên soạn và tham khảo tài liệu từ các nguồn 

1. Wikipedia .

2. The Encyclopedia of Science .

3. http://science-documentaries.com/ .

4. http://www.newscientist.com/ .

5. SCholarpedia .

 

Jean Zinn-Justin and Riccardo Guida (2008), Scholarpedia, 3(12):8287. doi:10.4249/scholarpedia.8287 revision #91303[link to/cite this article]

• Jean Zinn-Justin, CEA, IRFU and Institut de Physique Théorique, Centre de Saclay, F-91191 Gif-sur-Yvette, France

* Riccardo Guida, Institut de Physique Théorique, CEA & CNRS, Gif-sur-Yvette, France

Tiến sĩ Zinn-Justin (sinh 1943) đã theo học tại École Polytechnique , tốt nghiệp vào năm 1964. Ông tiếp tục nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Marcel Froissart tại Đại học Orsay, nhận học vị tiến sĩ vào năm 1968. Trong khi Zinn, Justin đã có một vị trí nghiên cứu cùng với nhóm lý thuyết CEA-Saclay, ông cũng đã tham gia các vị trí nghiên cứu tại SUNY Stony-Brook, CERN, Princeton, Harvard, MIT.

Zinn-Justin là người  đã nhận các giải thưởng Gentner-Kastler và bằng khen Humboldt Gay-Lussac. Ông đã là tổng biên tập chính của nhiều ấn phẩm khoa học bao gồm Tạp chí Vật lý  (Journal de Physique ), và Viện Vật lý Tạp chí Vật lý A ( the Institute of Physics Journal of Physics A ), đồng thành viên Ban biên tập của nhiều tạp chí khác. Ông đã chỉ đạo , điều hành các trường học mùa hè Les Houches, Viện lý thuyết và sau đó là Viện Nghiên cứu các định luật cơ bản của vũ trụ (trước đây là Dapnia), cả hai đều thuộc trung tâm Saclay.

Những nghiên cứu Zinn-Justin trong vật lý lượng tử chủ yếu là lý thuyết trường lượng tử và các nhóm tái chuẩn hóa, đặc biệt là cách áp dụng cho vật lý hạt và vật lý thống kê của quá trình chuyển đổi pha . Hợp tác với B.W. Lee ông đã trình bày bằng chứng đầu tiên của sự  có thể tái chuẩn hóa của lý thuyết gauge trong pha đối xứng bị phá vỡ đối với tương tác yếu.

-------------------------------------------------------------------------------------

Trong điện động lực , cấu trúc của các phương trình trường như điện trường E(t,x)  và từ trường B(t,x)  có thể được biểu diễn theo những thành phần của một trường vô hướng A0(t,x) ( thế vô hướng -scalar potential)  và một trường vec tơ  vector field A(t,x) (thế vec tơ -vector potential). Thành phần bất biến gauge có liên quan tới tính chất mà toàn thể các lớp thế vô hướng và thế vec tơ , đều được liên hệ với cái gọi là phép biến đổi gauge , mô tả các trường điện và từ tương tự nhau . Như hệ quả động lực của trường điện từ và động lực hệ điện tích trong bối cảnh điện từ không phụ thuộc vào sự chọn lựa của biểu diễn  (A0(t,x),A(t,x)) theo một lớp thích hợp . Từ đó khái niệm bất biến gauge được mở rông cho những lí‎ thuyết tổng quát hơn , ví dụ như , l‎ thuyết Yang-Mills và Thuyết tương đối tổng quát  General Relativity.  

 

1. Nguyên l‎í biến phân cổ điển và bất biến gauge .

Việc nhấn mạnh về nguyên lí biến phân trong chuyên đề dành cho bất biến gauge có sự thúc đẩy sau đây . Tính chất mà các phương trình cổ điển có thể trích xuất từ nguyên l‎í biến phân đã tuân theo một quy luật cơ bản trong sự lượng tử hóa của các mô hình tương ứng . Trong trường hợp cơ chế điện từ , điều này đòi hỏi sự giới thiệu về thế vec tơ và khái niệm bất biến gauge . Ngược lai , sự mô tả của cơ học lượng tử theo những thành phần tích phân đường lại thu được một sự giải thích tự nhiên cho việc xuất hiện của các nguyên l‎y biến phân trong cơ học cổ điển .

 

1.1  Phương trình  Euler-Lagrange

Khoảng năm 1750 ,  Euler và Lagrange đã phát triển phép tính biến phân . Lagrange đã chỉ ra rằng các phương trình chuyển động của cơ học Newton có thể trích xuất từ nguyên l‎í biến phân . Cho trước một hệ động lực được biểu diễn theo các thành phần của hệ tọa độ  

 ta có thể xây dựng phiếm hàm Lagrange

 

, trong đó đạo hàm toàn phần của đại lượng X theo thời gian  t  ký hiệu là X˙  . Tích phân thời gian của phiếm hàm  Lagrange ,

được gọi là tác động ( action )

Áp đặt trạng thái tĩnh của tác động theo sự biến đổi quỹ đạo q(t) , với các điều kiện biên cố định q(t′)=q′  và q(t′′)=q′′ , ta tìm lại được các phương trình chi phối chuyển động cổ điển gọi là các phương trình Euler-Lagrange .

 

Lưu ‎ý rằng việc bổ sung một đạo hàm toàn phần vào phiếm hàm Lagrange

 sẽ thay đổi tác động chỉ bởi các thành phần biên 

mà không ảnh hưởng gì đến phương trình chuyển động .

Phần sau đây , tọa độ  sẽ liên quan đến hệ tọa độ trực giao Descartes , ta cũng k‎ý hiệu . Ta cũng sẽ dùng toán tử vi phân ( vec tơ)

1.2  Hạt phi-tương đối cổ điển trong từ trường .

Định luật Gauss cho từ trường phát biểu rằng dòng của từ trường B(t,q) xuyên qua mọi mặt đóng phải triệt tiêu .  Theo dạng vi phân định luật Gauss được viết

Trong đa tạp thu gọn (contractible manifold ) , theo bổ đề Poincaré , định luật Gauss có thể hợp nhất bằng cách đưa ra một thế vec tơ (vector potential) A(t,q) , dưới dạng

 Lưu ý rằng ta chọn cho A một quy ước dấu ngược với cách thông thường , để bảo đảm tính nhất quán về quy ước giữa các phép biến đổi gauge Abel và phi-Abel

Đồng nhất thức  , có hiệu lực với mọi thế vec tơ trơn A(t,q) , dẫn đến rằng  biểu thức  (4) thỏa mãn định luật Gauss (3).

Hơn nữa , đồng nhất thức , có hiệu lực với mọi thế trơn Ω(t,q) , dẫn đến rằng hai thế vec tơ A và  AΩ , được liên hệ với nhau bởi phép biến đổi gauge 

tương ứng với cùng từ trường vật lí . Vì vậy , thế vec tơ không được xét đến như là một đại lượng vật lí trong cơ học cổ điển  . Các thế vec tơ được liên hệ bởi phép biến đổi gauge , dưới quan điểm vật lí‎ , là một lớp tương đương .

Để đơn giản , trước tiên ta giả sử rằng B(q) , thế vec tơ A(q)  và , như vậy , hàm  Ω trong phép biến đổi (5), là độc lập thời gian t  . Phương trình chuyển động của hạt phi-tương đối có điện tích e  và khối lượng  m  trong từ trường tĩnh ngoài B(q) sẽ có dạng

Cần chú ý rằng , cả hai phương trình (3) và (6) có thể trích xuất tức thời từ nguyên lý tác động  . Ta có thể xét phiếm hàm Lagrange

trong đó  A(q) là một trường vec tơ cho trước . Phương trình  Euler-Lagrange  (2) có thể viết lại 

Sử dụng đồng nhất thức

ta có thể viết lại (8)  như sau

Với việc đồng nhất vec tơ    với từ trường  B(q) , ta tìm lại được định luật Gauss ở dạng (4) và phương trình chuyển động (6).

 

1.3  Nguyên lý bất biến gauge .

Công thức  (7) trực tiếp cho thấy rằng trong một phép biến đổi gauge độc lập thời gian (5) , phiếm hàm Lagrange chỉ được sửa đổi bởi một đạo hàm thời gian toàn phần  . Như đã giải thích trước đó ,  sự thay đổi này không ảnh hưởng đến các phương trình chuyển động, cái mà do đó có thể được biểu diễn bằng các thành phần của đại lượng gauge độc lập. Ngược lại, nguyên lý bất biến-gauge của các phương trình chuyển động, đó là , các tính chất mà phiếm hàm Lagrange thay đổi chỉ bởi một đạo hàm thời gian toàn phần  trong một phép biến đổi gauge độc lập thời gian , sẽ hạn chế các dạng của các thành phần của thế vector , vì thế ảnh hưởng dạng hiển của các phương trình chuyển động.

Việc tìm kiếm phiếm hàm Lagrange thích hợp đối với các trường thế vector tổng quát phụ thuộc vào thời gian, sau đó tự nhiên sẽ dẫn đến yêu cầu bất biến đối với các phép biến đổi gauge phụ thuộc vào thời gian. Tuy nhiên, một phép biến đổi gauge phụ thuộc vào thời gian (5) sẽ không còn bổ sung thêm vào phiếm hàm Lagrange (7) một đạo hàm thời gian toàn phần nữa . Thật vậy,

Vì vậy, chúng ta sẽ xem xét các phiếm hàm Lagrange tổng quát hơn

trong đó để khử đi đạo hàm thời gian riêng phần     −e∂Ω(t,q) / ∂t ,  ta sẽ đưa ra một phép biến đổi thế vô hướng bổ sung  A0(t,q)  như sau

dựa theo phép biến đổi  gauge phụ thuộc thời gian . Từ đó suy ra rằng với phép biến đổi gauge phụ thuộc thời gian  (5), (10)  thì phiếm hàm Lagrange (9) sẽ có dạng 

Các phương trình chuyển động cổ điển tương ứng ( bất biến gauge )  sau đó có thể viết là 

trong đó đại lượng bất biến gauge

có thể đồng nhất với điện trường và

  

Khi mọi trường đều tĩnh ,  A0 (q) có thể được xác định bằng thế tĩnh điện và  eA0 (q) tương ứng với năng lượng tĩnh điện.

1.4  Phiếm hàm Hamilton cổ điển trong  từ trường và điện trường .

Từ phiếm hàm Lagrange cổ điển (9), sau khi áp dụng phép biến đổi Legendre,

với

Ta thu được phiếm hàm cổ điển Hamilton , là hàm của những biến không gian pha (p,q)  (p,q)

Dựa vào phép biến đổi gauge (5), (10) phiếm hàm Lagrange biến đổi bởi một đạo hàm thời gian toàn phần , (11). Trong cơ cấu của phiếm hàm Hamilton, điều này tương ứng với một sự thay đổi của  động lượng liên hợp và thế vô hướng bởi vì 

Đặc biệt, trong sự hiện diện của từ trường, mối quan hệ giữa vận tốc và động lượng là 

là phụ thuộc gauge , nó chỉ ra rằng động lượng liên hợp p không còn là đại lượng vật lý nhưng chỉ có động lượng liên hợp tổng quát hóa  p+eA(t,q) còn là đại lượng vật lý mà thôi  .

2.  Hạt lượng tử phi-tương đối tính, không spin (spinless)  trong một từ trường tĩnh .

2.1  Cơ học lượng tử - phương trình Schrödinger.

 Cơ học lượng tử được xây dựng trong các trạng thái vật lý, mô tả bởi các vector ψ định chuẩn đơn vị thuộc không gian phức Hilbert ( trạng thái thuần ), và  của các toán tử  trên .

Đặc biệt, những quan sát vật lý được mô tả bằng các toán tử tự liên hợp. Dự đoán vật lý trong cơ học lượng tử liên quan đến giá trị kỳ vọng toán tử của dạng ( trong đó  (⋅, ⋅) là ký hiệu tích vô hướng trong H): điều này dẫn tới là chúng không bị ảnh hưởng bởi phép biến đổi unitar là cái  hoạt động trên cả hai vectơ và các toán tử như

Trong đó là toán tử unitar , nghĩa là thỏa mãn

Từ những quy tắc này,  rõ ràng thấy rằng nhân  vectơ trạng thái với một pha (  một  phép biến đổi  nhóm toàn cục U (1) )
  thì các toán tử và  các dự đoán vật lý không thay đổi.
 Sự tiến triển thời gian của vector trạng thái bị chi phối bởi phương trình Schrödinger (Schrödinger 1926)

trong đó   phiếm hàm lượng tử tự liên hợp Hamilton ( quantum Hamiltonian self-adjoint  operator) và  là hằng số Planck .

2.2  Phiếm hàm Hamilton trong từ trường và bất biến gauge .

Bây giờ chúng ta khảo sát phiếm hàm Hamilton (12) giới hạn bởi A(q) độc lập thời gian t  và  A  0(t,q)=0 .

" Nguyên lý tương ứng "  đề xuất phiếm hàm Hamilton lượng tử như là hàm Hanilton cổ điển (12)  trong đó các biến không gian pha ,  vị trí  q và động lượng liên hợp    p , được thay thế bởi các toán tử lượng tử tự liên hợp tương ứng   qˆ và    đáp ứng mối quan hệ qua lại cổ điển . Được bổ sung bởi các điều kiện hermit ( tính tự-liên hợp  của các toán tử quan sát được) để sửa chữa các thứ tự của các toán tử trong các tích , điều này dẫn đến các toán tử lượng tử Hamilton .  Ta có thể kiểm tra đẳng thức sau 

 Trong đó 
 


 và AΩ  là biến đổi gauge của A thỏa mãn 

Phép biến đổi gauge của một thế vec tơ , do đó gây ra một sự biến đổi unitar trên toán tử động lượng hiệp biến liên hợp   pˆ+eA(qˆ)  và do đó , sẽ tác động trên  phiếm hàm  Hamilton 

  trong đó ta vừa giới thiệu ký hiệu  Hˆ(A) để nhấn mạnh sự phụ thuộc của phiếm hàm Hamilton vào thế vec tơ .  Bây giờ ta sẽ thực hiện phép biến đổi unitar tương ứng trên vec tơ   ψ(t) trong phương trình Schrödinger (14) 


Từ đây chúng ta có thể xây dựng các nguyên lý bất biến gauge trong cơ học lượng tử như sau :

 " * Tất cả các kết quả vật lý  là bất biến trong một phép biến đổi gauge đồng thời trên một trường vector A và vector trạng thái ψ (t) (phương trình (17), (18)).
**  Bất biến gauge đảm bảo rằng kết quả vật lý không phụ thuộc vào sự lựa chọn cụ thể về các thế vector trong các lớp tương đương " .

 Các nguyên lý bất biến gauge yêu cầu các toán tử vật lý trải qua cùng một phép biến đổi unitar
Đối với các toán tử là hàm của qvà    ,  điều này dẫn tới là chúng có thể phụ thuộc vào qvà      chỉ thông qua tổ hợp   pˆ+eA(qˆ) . 
Trái lại, các điều kiện bất biến gauge theo ý nghĩa của yêu cầu rằng các kết quả vật lý vẫn không thay đổi trong một phép biến đổi gauge (18) mà không thực hiện các phép biến đổi unitar tương ứng (13) trên các toán tử, là một nguyên lý động lực tương phản với điều kiện bất biến toàn cục : điều này dẫn đến giới thiệu trong phiếm hàm Hamilton của một thế vector và, do đó, sự hiện diện của một từ trường cũng như một hình thức cụ thể của các toán tử vật lý.

2.3  Biểu diễn hàm sóng . 

Các không gian Hilbert có thể được lựa chọn trong một vectơ trạng thái được đại diện bởi các chức năng ψ (t, q) (hàm sóng) mà trên đó và  hoạt động giống như

Phép biến đổi unitar trong (16) sẽ có dạng

Tác động trên hàm sóng ψ (t, q), những phép biến đổi này tạo ra, tại mỗi điểm q trong không gian, một biểu diễn của các nhóm tích  U (1) của các số phức có mô đun = 1. Biến đổi nhóm làm thay đổi pointwise được gọi là biến đổi nhóm địa phương, trái ngược với biến đổi nhóm toàn cục , nơi phép biến đổi tác động  như nhau ở khắp mọi nơi (trong trường hợp hiện tại, Ω (q) là hằng với mọi q). Bất biến gauge sẽ kéo theo bất biến của các kết quả vật lý trong phép biến đổi địa phương U (1) .

Động lượng liên hợp hiệp biến hoạt động như một toán tử vi phân cấp 1  . Ta định nghĩa

Như một hệ quả của phép biến đổi (15), đạo hàm hiệp biến D thỏa mãn

trong đó ta dùng ký hiệu DA  để nhấn mạnh tính phụ thuộc của nó trên  A .A 

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

 Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas. 

Albert Einstein .