GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 7a . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Conics - Ellipse

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .


Phần 7a . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Conics - Ellipse  

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

7.  HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Conics - Ellipse

7.1  Ellipse .

Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,

1. Phương trình chính tắc của Ellipse  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Bán trục lớn   $max(a,b)$
Bán trục nhỏ  $min(a,b)$
Chu vi  $4 a E(1-b^2/a^2)$  trong đó $E(m)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 2 với tham số $m=k^2$
Diện tích  $\pi ab$
Tham số tiêu   focal parameter  $p=  (a^2 b^2)/(\sqrt{1-(a^2 b^2)/max(a, b)^4} max(a, b)^3)$
Tâm sai  eccentricity   $e = \sqrt{1-(a^2 b^2)/max(a, b)^4}$
Phương trình hình chữ nhật cơ sở
$x= \pm a , y = \pm b$


* Nếu  $a>b$  ta có Ellipse nằm ngang
$a^2=... \Rightarrow  a = ...  \Rightarrow  2a = ... $  (độ dài trục lớn) ; đỉnh lớn $A_2,1(\pm a,0)$
$b^2=... \Rightarrow  b = ...  \Rightarrow  2b = ... $  (độ dài trục nhỏ) ; đỉnh nhỏ $B_2,1(0,\pm b)$
$c^2=a^2-b^2=... \Rightarrow  c = ...  \Rightarrow  2c = ... $  (tiêu cự) ; tiêu điểm $F_2,1(\pm c,0)$
Tâm sai $e=c/a$  đường chuẩn $x=\pm  \frac{a}{e}$
Bán kính tiêu $MF_1,2=a \pm ex$
Phương trình hình chữ nhật cơ sở
$x= \pm a , y = \pm b$
Chu vi  $4 a E(1-b^2/a^2)$  trong đó $E(m)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 2 với tham số $m=k^2$
Diện tích  $\pi ab$


** Nếu  $a<b$  ta có Ellipse nằm dọc
$a^2=... \Rightarrow  a = ...  \Rightarrow  2a = ... $  (độ dài trục nhỏ) ; đỉnh nhỏ $A_2,1(\pm a,0)$
$b^2=... \Rightarrow  b = ...  \Rightarrow  2b = ... $  (độ dài trục lớn) ; đỉnh lớn $B_2,1(0,\pm b)$
$c^2=b^2-a^2=... \Rightarrow  c = ...  \Rightarrow  2c = ... $  (tiêu cự) ; tiêu điểm $F_2,1(\pm c,0)$
Tâm sai $e=c/b$  đường chuẩn $y=\pm  \frac{b}{e}$
Bán kính tiêu $MF_1,2=b \pm ex$
Phương trình hình chữ nhật cơ sở
$x= \pm a , y = \pm b$
Chu vi  $4 a E(1-b^2/a^2)$  trong đó $E(m)$ là tích phân elliptic đầy đủ loại 2 với tham số $m=k^2$
Diện tích  $\pi ab$

Lưu ý
Trong nội dung tiếp sau chúng ta sẽ khảo sát chủ yếu các trường hợp Ellipse nằm ngang ( a > b ) .

Ví dụ 1.   Khảo sát Ellipse (E)  $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$   ,  $a>b$
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Nhập   x^2/25+y^2/9=1
Xem   http://goo.gl/40oDZf
*Dùng  widget KHAO SAT ELLIPSE  do tác giả soạn sẵn như sau

*******
*******

Ví dụ 2.   Khảo sát Ellipse (E)  $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$   ,  $b>a$
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Nhập   x^2/4+y^2/9=1
Xem    http://goo.gl/9SU3Pn
*Dùng  widget KHAO SAT ELLIPSE

2. Phương trình tiếp tuyến với Ellipse .

2.1  Phương trình tiếp tuyến (T) tại một điểm M thuộc Ellipse .
Cho (E) :  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (T)   $Ax+By+C=0$
và điểm $M(x_M,y_M) \in (E)$

Giải hệ   $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ,  $Ax+By+C=0$
Nhập  solve {x^2/a^2+y^2/b^2=1, Ax+By+C=0}   ta có

Để (E) tiếp xúc với (T) thì  $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Tiếp điểm M
$x_M = -a^2 A C/(a^2 A^2+b^2 B^2) $
$y_M = -b^2 B C)/(a^2 A^2+b^2 B^2) , B \neq 0$

Xem    http://goo.gl/2oLXb9


Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là    $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Tiếp tuyến tại M thuộc (E) :  $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$  nên  $C=-(Ax_M+By_M)$
Thay vào điều kiện tiếp xúc , thu được
 $a^2 A^2+b^2 B^2-(Ax_M+By_M)^2=0$  giải phương trình này tìm quan hệ giữa A , B  , chọn A , B tương ứng .

 -Một cách vắn tắt :
Điểm $M(x_M,y_M) \in (E)$  phương trình tiếp tuyến với (E) tại M là
$x_Mx/a^2+y_My/b^2=1$

Lưu ý .
Nếu   $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2>0$  thì (E) cắt (T)  tại 2 điểm phân biệt .
Nếu   $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2<0$  thì (E) không cắt (T)  .


2.2   Phương trình tiếp tuyến (T) với Ellipse (E) song song đường thẳng (d) .
Cho (E) :  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (d)   $Ax+By+C=0$

Phương trình tiếp tuyến (T)  //  (d)  là  : $Ax+By+m=0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Ax+By+m=0$  và Ellipse (E)
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là    $a^2 A^2+b^2 B^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .

Lưu ý
*Tiếp tuyến song song với trục hoành Ox  là  : $y= \pm b$
*Tiếp tuyến song song với trục tung   Oy  là   : $x= \pm a$

2.3   Phương trình tiếp tuyến (T) với Ellipse (E) vuông góc đường thẳng (d) .
Cho (E) :  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , đường thẳng (d)   $Ax+By+C=0$

Phương trình tiếp tuyến (T)  _|_  (d)  là  : $Bx-Ay+m=0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Bx-Ay+m=0$  và Ellipse (E)
Điều kiện tiếp xúc (T) với (E) là    $a^2 B^2+b^2 A^2-m^2=0$
Giải phương trình này tìm được m .

Lưu ý
*Tiếp tuyến vuông góc với trục hoành Ox  là  : $x= \pm a$
*Tiếp tuyến vuông góc với trục tung   Oy  là   : $y= \pm b$  

2.4   Phương trình tiếp tuyến (T) với Ellipse (E) đi qua điểm M1 không thuộc (E) .
Cho (E) :  $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(dạng chính tắc) , và điểm   $M_1(x_1,y_1) \notin (E)$

Phương trình tiếp tuyến (T) đi qua $M_1(x_1,y_1)$  là  : $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$
nên  $C=-(Ax_1+By_1)$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$  và Ellipse (E)
 $a^2 A^2+b^2 B^2-C^2=0$
Thay vào điều kiện tiếp xúc , thu được
$a^2 A^2+b^2 B^2-(Ax_1+By_1)^2=0$

Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B . Chọn A và B tương ứng .

Với phương trình (E) chính tắc có tâm $I(x_0,y_0)$  khác O(0,0) 
$(x-x_0)^2/a^2+(y-y_0)^2/b^2=1$
Điều kiện tiếp xúc (T) : Ax+By+C=0 với (E) là   
 $a^2 A^2+b^2 B^2=(Ax_0+By_0+C)^2$
Xem    http://goo.gl/IzTYU4

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7.1.1   Khảo sát Ellipse và điểm , đoạn thẳng , đường thẳng , đường tròn .

a. Khảo sát Ellipse .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Khảo sát   x^2/9+y^2/4 =1
Nhập       x^2/9+y^2/4 =1
*Dùng widget KHAO SAT ELLIPSE

Xem    http://goo.gl/NaaZWZ

b. Vẽ Ellipse và điểm .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Khảo sát   x^2/9+y^2/4 =1  và điểm M(2,-3)
Nhập  ellipse center (0,0) semimajor = 3 semiminor =2 , segment (0,0)  (2,-3)

Xem   http://goo.gl/1qNUjc

Kết luận :  Điểm M(2,-3) ở ngoài (E)
Hoặc nhập    x=2 , y = -3 , x^2/9+y^2/4 =1
Xem   http://goo.gl/rrgcEy

c. Vẽ Ellipse và đoạn thẳng .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Khảo sát   x^2/9+y^2/4 =1  và đoạn thẳng MN  với M(2,-3)  N(-1,4)
Nhập  ellipse center (0,0) semimajor = 3 semiminor =2 , segment   (2,-3) (-1,4)
Xem    http://goo.gl/mHQ6vt

Kết luận :  Đoạn  MN cắt (E)


d. Vẽ Ellipse và đường thẳng .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Khảo sát   x^2/9+y^2/4 =1  và đường thẳng  (d)  x - y + 6 = 0
Nhập   x^2/9+y^2/4 =1  ,  x - y +6 = 0
Xem   http://goo.gl/HiQL7H

Kết luận :  Đường thẳng (d) không cắt (E)

e. Vẽ Ellipse và đường tròn .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Khảo sát   x^2/9+y^2/4 =1  và đường tròn  (C)  x^2 + y^2  = 5
Nhập   x^2/9+y^2/4 =1  ,   x^2 + y^2  = 5
Xem    http://goo.gl/icuYjB

Kết luận :  Đường tròn (C) cắt (E) tại 4 điểm .



7.1.2   Viết phương trình Ellipse  .

a. Viết phương trình Ellipse biết tâm , trục lớn , trục nhỏ .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) biết tâm I(-2,1) , nửa trục lớn = 5 , nửa trục nhỏ = 3
Nhập      with x0=-2 , y0=1 , a= 5 , b=3 , find (x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1
Xem    http://goo.gl/xa6dWn
Xem    http://goo.gl/9Jeor7
*Dùng widget H10.II.3 KHAO SAT ELLIPSE

Hoặc nhập   ellipse center (-2,1) semimajor=5 , semiminor=3
Xem    http://goo.gl/B4vpqu

*Dùng widget H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC LON,TRUC NHO

b. Viết phương trình Ellipse biết tâm ,  trục lớn , tiêu cự .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) biết tâm I(-3,2) , nửa trục lớn = 5 , nửa tiêu cự = 4
*Dùng widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC LON,TIEU CU  

c. Viết phương trình Ellipse biết tâm ,  trục nhỏ , tiêu cự .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) biết tâm I(1/2,-5/2) , nửa trục nhỏ = 4 , nửa tiêu cự = 3
*Dùng widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC NHO,TIEU CU

d. Viết phương trình Ellipse biết tâm ,  trục lớn , tâm sai e .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) biết tâm I(2,-3) , nửa trục lớn = 5 , tâm sai = 3/5
*Dùng widget H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC LON,TAM SAI

e. Viết phương trình Ellipse biết tâm ,  trục nhỏ , tâm sai e .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) biết tâm I(1,-1) , nửa trục nhỏ = 3 , tâm sai = 4/5
*Dùng  widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC NHO,TAM SAI

f. Viết phương trình Ellipse biết tâm ,  tiêu cự , tâm sai e .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) biết tâm I(-1,-2) , tiêu cự = 6 , tâm sai = 3/5
Nhập   solve [t=3/5,c=3,a^2=c^2/t^2,b^2=a^2-c^2,a>0,b>0]   for a and b
( t là tâm sai e)
 Ta có  a = 5  ,  b = 4
Xem    http://goo.gl/ZFcp5P
Sau đó viết phương trình (E)
Nhập  ellipse center (-1,-2) semimajor=5 , semiminor=4
Xem    http://goo.gl/6OUlum

*Dùng  widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TIEU CU,TAM SAI
Lưu ý : Nhập tâm sai e = (3/5)  ( dạng phân số hoặc căn số phải để trong dấu ngoặc )

g. Viết phương trình Ellipse biết tâm , trục lớn , qua điểm M .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) có tâm I(1,-1) , trục lớn = 10 , đi qua M(1,-4)
Phương trình Ellipse (E)  $(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1$
Điểm  $M(x_M,y_M) \in (E)$ nên $(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Xét   $a= ...;(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Giải hệ phương trình tìm được b .

Cụ thể với tâm I(1,-1) , ta có   (x-1)^2/a^2+(y+1)^2/b^2=1
Điểm M(1,-4) trên (E) nên  (1-1)^2/a^2+(-4+1)^2/b^2=1
Xét  a =5 , (1-1)^2/a^2+(-4+1)^2/b^2=1
Nhập solve  a =5 , (1-1)^2/a^2+(-4+1)^2/b^2=1  thu được  b = 3
Xem   http://goo.gl/ZWGnKY

*Dùng  widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC LON,QUA DIEM M

Vậy phương trình (E) là  $(x-1)^2/5^2+(y+1)^2/3^2=1$
*Dùng widget H10.II.3 KHAO SAT ELLIPSE
Nhập  (x-1)^2/5^2+(y+1)^2/3^2=1,x=1,y=-4

h. Viết phương trình Ellipse biết tâm , trục nhỏ , qua điểm M .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) có tâm I(-3,1) , trục nhỏ = 6 , đi qua M(2,1)
Phương trình Ellipse (E)  $(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1$
Điểm  $M(x_M,y_M) \in (E)$ nên $(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Xét   $b= ...;(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Giải hệ phương trình tìm được a .

Cụ thể với tâm I(-3,1) , ta có   (x+3)^2/a^2+(y-1)^2/b^2=1
Điểm M(2,1) trên (E) nên  (2+3)^2/a^2+(1-1)^2/b^2=1
Xét  b =3 , (2+3)^2/a^2+(1-1)^2/b^2=1
Nhập  solve   b =3 , (2+3)^2/a^2+(1-1)^2/b^2=1   thu được  a = 5
Xem   http://goo.gl/cqaYVo

*Dùng  widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TRUC NHO,QUA DIEM M

Vậy phương trình (E) là  $(x+3)^2/5^2+(y-1)^2/3^2=1$
*Dùng widget H10.II.3 KHAO SAT ELLIPSE
Nhập   (x+3)^2/5^2+(y-1)^2/3^2=1 , x=2,y=1
Xem    http://goo.gl/mPFQiK

i. Viết phương trình Ellipse biết tâm , tiêu cự , qua điểm M .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) có tâm I(-3,1) , tiêu cự = 6 , đi qua M(2,1)
Phương trình Ellipse (E)  $(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1$
Điểm  $M(x_M,y_M) \in (E)$ nên $(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Xét   $c= ...;(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Giải hệ phương trình tìm được a , b .

Cụ thể với tâm I(-3,1) , ta có   (x+3)^2/a^2+(y-1)^2/b^2=1
Điểm M(2,1) trên (E) nên  (2+3)^2/a^2+(1-1)^2/b^2=1
Xét  c =3 , (2+3)^2/a^2+(1-1)^2/b^2=1
Nhập  solve   [c =3 , a^2-b^2=c^2, (2+3)^2/a^2+(1-1)^2/b^2=1,a>0,b>0]  for a , b
  thu được  a = 5 , b = 4
Xem   http://goo.gl/n7AjZg

*Dùng widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM.TIEU CU ,QUA DIEM M

Vậy phương trình (E) là  $(x+3)^2/5^2+(y-1)^2/4^2=1$
*Dùng widget H10.II.3 KHAO SAT ELLIPSE
Nhập   (x+3)^2/5^2+(y-1)^2/4^2=1 , x=2,y=1
Xem    http://goo.gl/rJ9fnM

k. Viết phương trình Ellipse biết tâm , tâm sai , qua điểm M .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) có tâm I(-3,2) , tâm sai = 4/5 , đi qua M(-3,-4)
Phương trình Ellipse (E)  $(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1$
Điểm  $M(x_M,y_M) \in (E)$ nên $(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Xét   $e=c/a= ...;(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Giải hệ phương trình tìm được a , b .

Cụ thể với tâm I(-3,2) , ta có   (x+3)^2/a^2+(y-2)^2/b^2=1
Điểm M(-3,-4) trên (E) nên  (-3+3)^2/a^2+(-4-2)^2/b^2=1
Xét  e = c/a =4/5 ,(-3+3)^2/a^2+(-4-2)^2/b^2=1
Nhập  solve   [ c/a =4/5 , c^2=a^2-b^2,(-3+3)^2/a^2+(-4-2)^2/b^2=1,a>0,b>0,c>0]  for a , b
  thu được  a = 10 , b = 6 , c = 8
Xem    http://goo.gl/jKW7F5

*Dùng  widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,TAM SAI,QUA DIEM M

Vậy phương trình (E) là  $(x+3)^2/10^2+(y-2)^2/6^2=1$
*Dùng widget H10.II.3 KHAO SAT ELLIPSE
Nhập   (x+3)^2/10^2+(y-2)^2/6^2=1 , x=-3,y=-4
Xem     http://goo.gl/Wf3tGS

l. Viết phương trình Ellipse biết tâm , qua 2 điểm M , N .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .   Viết phương trình (E) có tâm I(-3,2) , đi qua M(-3,-4) và N(7,2)
Phương trình Ellipse (E)  $(x-x0)^2/a^2+(y-y0)^2/b^2=1$
Điểm  $M(x_M,y_M) \in (E)$ nên $(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$
Điểm  $N(x_N,y_N)  \in (E)$ nên $(x_N-x0)^2/a^2+(y_N-y0)^2/b^2=1$

Xét   $(x_M-x0)^2/a^2+(y_M-y0)^2/b^2=1$  và  $(x_N-x0)^2/a^2+(y_N-y0)^2/b^2=1$
 Giải hệ phương trình tìm được a , b , c .

Cụ thể với tâm I(-3,2) , ta có   (x+3)^2/a^2+(y-2)^2/b^2=1
Điểm M(-3,-4) trên (E) nên  (-3+3)^2/a^2+(-4-2)^2/b^2=1
Điểm N(7,2) trên (E) nên  (7+3)^2/a^2+(2-2)^2/b^2=1


Xét   (-3+3)^2/a^2+(-4-2)^2/b^2=1 , (7+3)^2/a^2+(2-2)^2/b^2=1
Nhập  solve [(-3+3)^2/a^2+(-4-2)^2/b^2=1 , (7+3)^2/a^2+(2-2)^2/b^2=1, c^2=a^2-b^2,a>0,b>0,c>0]  for a , b and c
  thu được  a = 10 , b = 6 , c = 8
Xem    http://goo.gl/sbc4si

*Dùng  widget  H10.II.3 ELLIPSE CO TAM,QUA 2 DIEM M,N

Vậy phương trình (E) là  $(x+3)^2/10^2+(y-2)^2/6^2=1$
*Dùng widget H10.II.3 KHAO SAT ELLIPSE
Nhập   (x+3)^2/10^2+(y-2)^2/6^2=1 , x=-3,y=-4,x=7,y=2
Xem     http://goo.gl/I91kjc

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Trần hồng Cơ
10/05/2015

------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Mục đích cuộc sống càng cao thì đời người càng giá trị.

 Geothe