GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 6b . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Tiếp tuyến với đường tròn

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .


Phần 6b . HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Tiếp tuyến  với đường tròn  

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12

H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen

6.  HÌNH HỌC - Đường cong 2D - Tiếp tuyến với đường tròn

6.2  Tiếp tuyến với đường tròn .

Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,
Nhắc lại
1. Phương trình đường tròn chính tắc  (C)  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
-Tâm $I(a,b)$  bán kính R
-Phương tích của điểm $M(x_M,y_M)$ đối với  (C)  :  $\rho[M,(C)]=IM^2-R^2=(x_M-a)^2+(y_M-b)^2-R^2$
-Vị trí tương đối của điểm $M(x_M,y_M)$ đối với  (C)

2. Phương trình đường tròn tổng quát  (C)  $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$
-Tâm $I(a,b)$  bán kính $R= \sqrt{a^2+b^2-c}$
-Phương tích của điểm $M(x_M,y_M)$ đối với  (C)  :  $\rho[M,(C)]=IM^2-R^2=x_M^2+y_M^2-2ax_M-2by_M+c$

-Vị trí tương đối của đường thẳng (T)  $Ax+By+C=0$  đối với  (C)

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Ax+By+C=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Aa+Bb+C|/\sqrt{A^2+B^2}=R$

-Vị trí tương đối của đường tròn (C1)  đối với đường tròn (C2)
(C1) có tâm  $I_1(a_1,b_1)$ , bán kính $R_1$
(C2) có tâm  $I_2(a_2,b_2)$ , bán kính $R_2$
Đoạn nối tâm là  $I_1I_2 = || <I_2>-<I_1> || = || (a_2-a_1,b_2-b_1) || = \sqrt {(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2}$

Số tiếp tuyến chung trong các trường hợp 

(C1) , (C2)  ngoài nhau :  4

(C1) , (C2)  t.xúc ngoài  :  3

(C1) , (C2)  cắt nhau :  2

(C1) , (C2)  t.xúc trong  :  1

(C1) , (C2)  trong nhau :  0

(C1) , (C2)  đồng tâm :  0

3. Phương trình tiếp tuyến (T) với đường tròn (C) .
Trong phần sau đây đường tròn (C) có tâm I(a,b) và bán kinh là R .

3.1  Phương trình tiếp tuyến (T) tại một điểm M thuộc đường tròn .
Cho (C) :  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ (dạng chính tắc)  hoặc   $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (dạng tổng quát)
và điểm $M(x_M,y_M) \in (C)$
Khi đó  $\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{n_{(T)}}=(A,B)$
Phương trình tiếp tuyến (T) tại M là  : $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$

-Một cách vắn tắt :
Nếu (C) :  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ (dạng chính tắc)  và điểm $M(x_M,y_M) \in (C)$
Phương trình tiếp tuyến (T) tại M là  :  $(x_M-a)(x-a)+(y_M-b)(y-b) = R^2$

Nếu (C) :  $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (dạng tổng quát)  và điểm $M(x_M,y_M) \in (C)$
Phương trình tiếp tuyến (T) tại M là  :  $x_M.x+y_M.y-a.(x_M+x)-b.(y_M+y)+c=0$



3.2   Phương trình tiếp tuyến (T) với đường tròn (C) song song đường thẳng (d) .
Cho (C) :  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ (dạng chính tắc)  hoặc   $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (dạng tổng quát)
và đường thẳng (d)  $Ax+By+C=0$

Phương trình tiếp tuyến (T)  //  (d)  là  : $Ax+By+m=0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Ax+By+m=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Aa+Bb+m|/\sqrt{A^2+B^2}=R$
Giải phương trình này tìm được m .

Lưu ý .
*Tiếp tuyến song song với trục hoành Ox  là  : $By+m=0$  Với  $B \neq 0$
*Tiếp tuyến song song với trục tung   Oy  là   : $Ax+m=0$  Với  $A \neq 0$


3.3   Phương trình tiếp tuyến (T) với đường tròn (C) vuông góc đường thẳng (d) .
Cho (C) :  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ (dạng chính tắc)  hoặc   $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (dạng tổng quát)
và đường thẳng (d)  $Ax+By+C=0$

Phương trình tiếp tuyến (T)  _|_  (d)  là  : $Bx-Ay+m=0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Bx-Ay+m=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Ba-Ab+m|/\sqrt{A^2+B^2}=R$
Giải phương trình này tìm được m .

Lưu ý .
*Tiếp tuyến vuông góc với trục hoành Ox  là  : $Ax+m=0$  Với  $A \neq 0$
*Tiếp tuyến vuông góc với trục tung   Oy  là   : $By+m=0$  Với  $B \neq 0$


3.4   Phương trình tiếp tuyến (T) với đường tròn (C) đi qua điểm M1 không thuộc (C) .
Cho (C) :  $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ (dạng chính tắc)  hoặc   $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ (dạng tổng quát)
và điểm   $M_1(x_1,y_1)$

Phương trình tiếp tuyến (T) đi qua $M_1(x_1,y_1)$  là  : $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |A(a-x_1)+B(b-y_1)|/\sqrt{A^2+B^2}=R$
Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B . Chọn A và B tương ứng .

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


6.2.1   Các loại tiếp tuyến cơ bản với đường tròn .

a. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ 1 .  Khảo sát (C)  (x-1)^2+(y+2)^2 =5  và điểm  M(3,-1) .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại M .

Bước 1.  Tìm tâm I và bán kính R của (C)
Ta có  tâm I(1,-2) , $R= \sqrt{5}$
Xét vị trí tương đối của điểm M và  đường tròn (C) tâm I(1,-2) , $R= \sqrt{5}$
Nhập  segment (0,0) (3,-1) , circle center (1,-2) radius  = sqrt(5)   Xem   http://goo.gl/IVTDe9
Hoặc nhập  x=3 , y= -1, (x-1)^2+(y+2)^2 =5                               Xem   http://goo.gl/VebQ9P
Kết luận  $M \in (C)$


Bước 2.   $\overrightarrow{MI}=<I> - <M> = \overrightarrow{n_{(T)}}=(A,B)$
Phương trình tiếp tuyến (T) tại M là  : $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$

Nhập  (1,-2)-(3,-1)  ta có  (-2,-1)    $\overrightarrow{n_{(T)}}=(A,B) =(-2,-1) $
Viết phương trình tiếp tuyến (T) tại M(3,-1)
Nhập  -2(x-3)-1(y+1)=0   ta có    (T)  : -2x - y + 5 = 0

Xem   http://goo.gl/IB5Jp2

Kiểm tra
Nhập   -2x - y + 5 = 0 , (x-1)^2+(y+2)^2 =5  
Xem    http://goo.gl/134P7m
Nhập  segment (0,0) (3,-1) , circle center (1,-2) radius  = sqrt(5) , line -2x - y + 5 = 0
Xem   http://goo.gl/WrG644
Hoặc nhập   -2x - y + 5 = 0 , (x-1)^2+(y+2)^2 =5 , x=3 ,y=-1
Xem   http://goo.gl/LqgYsj

Viết nhanh   Với điểm  $M(3,-1) \in (C)$
Nhập   (3-1)(x-1)+(-1+2)(y+2) =5
Xem   http://goo.gl/ippC8V
Kiểm tra
Nhập    (x-1)^2+(y+2)^2 =5  ,   (3-1)(x-1)+(-1+2)(y+2) =5 , x=3,y=-1
Xem   http://goo.gl/XJsSkG



Ví dụ 2.  Khảo sát (C) : x^2+y^2-2x+4y=0 .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại những điểm thuộc (C) có hoành độ bằng 2 .

Bước 1.  Tìm tâm I và bán kính R của (C)
-Tâm $I(a,b)$  bán kính $R= \sqrt{a^2+b^2-c}$
Cụ thể với  (C) : x^2+y^2-2x+4y=0 .
Nhập   find center and radius  x^2+y^2-2x+4y=0    ta có  radius | sqrt(5)~~2.23607 , center | (1, -2)
Xem   http://goo.gl/vGFl2j

Tìm các điểm M thuộc (C) có hoành độ bằng 2
Nhập   x^2+y^2-2x+4y=0 , x=2   ta có   M{x = 2,   y = 0}  ,   M{x = 2,   y = -4}
Xem   http://goo.gl/6e32T1


Bước 2.   $\overrightarrow{MI}=<I> - <M> = \overrightarrow{n_{(T)}}=(A,B)$
Phương trình tiếp tuyến (T) tại M là  : $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$

*Tại  M(2,0)
Nhập  (1,-2)-(2,0)  ta có  (-1,-2)    $\overrightarrow{n_{(T)}}=(A,B) =(-1,-2) $
Viết phương trình tiếp tuyến (T) tại M(2,0)
Nhập  -1(x-2)-2(y-0)=0   ta có    (T1) :  -x-2y+2 = 0
Xem   http://goo.gl/oSboeb

*Tại  M(2,-4)
Nhập  (1,-2)-(2,-4)  ta có  (-1,2)    $\overrightarrow{n_{(T)}}=(A,B) =(-1,2) $
Viết phương trình tiếp tuyến (T) tại M(2,-4)
Nhập  -1(x-2)+2(y+4)=0   ta có    (T2) : -x+2 y+10 = 0
Xem   http://goo.gl/6EYUzx

Kiểm tra
{(T1),(C), M(2,0)}  Nhập   -x-2y+2 = 0 , x^2+y^2-2x+4y=0 , x =2,y=0     Xem   http://goo.gl/GohHol

{(T2),(C),M(2,-4)} Nhập  -x+2 y+10 = 0 , x^2+y^2-2x+4y=0 , x =2,y=-4 Xem   http://goo.gl/PQEKim

{(C), (T1), M(2,0) ,(T2) , M(2,-4)}
Nhập   x^2+y^2-2x+4y=0 , -x-2y+2 = 0 , x =2,y=0 , -x+2 y+10 = 0 , x =2,y=-4
Xem   http://goo.gl/o1a49u

b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ 1 .  Khảo sát (C)  (x+1)^2+(y-3)^2 =4  và đường thẳng (d)  3x - 4y + 7 = 0 .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với (d) .

Bước 1. Tìm tâm I , bán kính R của (C)

Nhập  (x+1)^2+(y-3)^2 =4  ,  3x - 4y + 7 = 0  ta có radius | 2  ,  center | (-1, 3)
Xem   http://goo.gl/CcLAjm
Xét vị trí tương đối giữa (C) và (d)  , kết luận  (C cắt (d)
Xem    http://goo.gl/t4xz9P

Đường thẳng (d)  $Ax+By+C=0$
Phương trình tiếp tuyến (T)  //  (d)  là  : $Ax+By+m=0$
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Aa+Bb+m|/\sqrt{A^2+B^2}=R$

Cụ thể với  (d)  3x - 4y + 7 = 0  thì  (T)  (d)  3x - 4y + m = 0
Nhập   distance from (-1,3) to 3x - 4y + m = 0   ta có   (m-15)/5    Xem   http://goo.gl/4XYRBK

Giải phương trình   $|m-15|/5 = 2$  

Nhập  solve   ((m-15)/5)^2 = 2^2   ta có  m = 5 , m = 25               Xem   http://goo.gl/9C2Tqe  

Bước 2.  Viết phương trình tiếp tuyến (T)
* Với m = 5   (T1) :  3x - 4y + 5 = 0
* Với m = 25 (T2) :  3x - 4y +25 = 0

Kiểm tra
Nhập   (x+1)^2+(y-3)^2 =4 , 3x - 4y + 7 = 0 , 3x - 4y + 5 = 0 , 3x - 4y + 25 = 0
Xem   http://goo.gl/7kxdeF

Công cụ W|A rất mạnh trong tính toán symbolic , bạn đọc có thể viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng (d)  ngay cả trong các trường hợp đường tròn (C) chứa tham số .

Ví dụ 2 .  Khảo sát (C)  x^2+y^2-2kx+2(k+1)y +2k^2+2k-8=0  và đường thẳng (d) 12x+5y+4=0 .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) song song với (d) .

Nhập  find center and radius  x^2+y^2-2kx+2(k+1)y +2k^2+2k-8=0    Xem   http://goo.gl/18Zb2n
Ta có  radius | 3  ,  center | (k, -k-1)     Tâm  I(k,-k-1)  bán kính R = 3

(T) // (d)  nên  (T)  12x+5y+m=0 .
Nhập   distance from (k,-k-1) to 12x +5y + m = 0   ta có    1/13 (7 k+m-5)    Xem   http://goo.gl/Fg9X5n

Giải phương trình   $1/13 (7 k+m-5) = 3$  

Nhập  solve  (1/13 (7 k+m-5))^2=3^2  for  m
Thu được   m = -7k -34 ,  m = 44  - 7k

Viết phương trình tiếp tuyến (T)
* Với m = -7k - 34   (T1) :  12x +5y - 7k - 34 = 0
* Với m = 44  - 7k   (T2) :  12x +5y + 44 - 7k = 0

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát (C)  (x-3)^2+(y-1)^2 =5  và đường thẳng (d)  x - 2y + 3 = 0 .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với (d) .

Bước 1. Tìm tâm I , bán kính R của (C)
Nhập   find center and radius  (x-3)^2+(y-1)^2 =5  ta có  radius | sqrt(5) , center | (3, 1)
Tâm  I(3,1)  bán kính R = sqrt(5)
Xem   http://goo.gl/H1WUzo

Đường thẳng (d)  $Ax+By+C=0$
Phương trình tiếp tuyến (T)  _|_  (d)  là  : $Bx-Ay+m=0$
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Ba-Ab+m|/\sqrt{A^2+B^2}=R$

Cụ thể với  (d)  x - 2y + 3 = 0  thì  (T)  2x + y +m = 0
Nhập   distance from (3, 1) to  2x + y +m = 0  ta có   (m+7)/sqrt(5)   

Xem   http://goo.gl/7QyWYI

Giải phương trình $| (m+7)/ \sqrt{5} |= \sqrt{5}$
Nhập  solve   ((m+7)/sqrt(5))^2 = 5   tìm được  m = -12 ,  m = -2
Xem   http://goo.gl/O0OTkA

Bước 2.  Viết phương trình tiếp tuyến (T)
* Với m = -12   (T1) :  2x + y - 12 = 0
* Với m = -2    (T2) :  2x + y - 2 = 0

Kiểm tra
Nhập   (x-3)^2+(y-1)^2 =5 ,  x - 2y + 3 = 0 , 2x + y - 12 = 0  , 2x + y - 2 = 0
Xem    http://goo.gl/mDykZA

d. Tiếp tuyến đi qua một điểm không thuộc đường tròn  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát (C)  (x-1)^2+(y+2)^2 =4  và điểm  M1(3,1) .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) đi qua M .

Bước 1.  Tìm tâm I và bán kính R của (C)
Xét vị trí tương đối của điểm $M1(x_1,y_1)$  và  đường tròn (C) tâm I(a,b) , bán kính R .
Phương trình tiếp tuyến (T) đi qua $M_1(x_1,y_1)$  là  : $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |A(a-x_1)+B(b-y_1)|/\sqrt{A^2+B^2}=R$
Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B . Chọn A và B tương ứng .

Cụ thể với  (C)  (x-1)^2+(y+2)^2 =4  và điểm  M1(3,1) .
Nhập  find center and radius of  (x-1)^2+(y+2)^2 =4   ta có  radius | 2   center | (1, -2)
Xem   http://goo.gl/XkwG5j
Ta có  tâm I(1,-2) , R = 2                                                  
Xét vị trí tương đối của điểm M1(3,1)  và  đường tròn (C) tâm I(1,-2) , R = 2
Nhập   segment (0,0) (3,1) , circle center (1,-2) radius  = 2    Xem   http://goo.gl/up7JYW
Hay nhập  (x-1)^2+(y+2)^2 =4 , x=3,y=1                             Xem   http://goo.gl/feaf6s
Kết luận  $M1  \notin (C)$

Phương trình tiếp tuyến (T) đi qua $M_1(3,1)$  là  : $A(x-3)+B(y-1)=0$
-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)   $A(x-3)+B(y-1)=0$  và đường tròn (C)
Với  tâm I(1,-2) ,  $d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |A(1-3)+B(-2-1)|/\sqrt{A^2+B^2}=2$
Giải phương trình này tìm được quan hệ giữa A , B .
Nhập  solve   (A(1-3)+B(-2-1))^2/(A^2+B^2)=4                 Xem    http://goo.gl/qodW4X
Thu được  {B = 0 , A =/= 0}  ,   {B = -(12 A)/5 , A =/=0}


Bước 2 .  Chọn A và B tương ứng .
*Với  {B = 0 , A =/= 0}   chọn  B = 0 , A = 1  , ta có  (T) $x-3=0$
*Với  {B = -(12 A)/5 , A =/=0}   chọn  A = 5 , B = -12  , ta có  (T) $5(x-3)-12(y-1)=0$

Kiểm tra
Nhập  (x-1)^2+(y+2)^2 =4, 5(x-3)-12(y-1)=0, x-3=0         Xem   http://goo.gl/P6mCU1

6.2.2   Một số dạng tiếp tuyến phức tạp với đường tròn .

a. Tiếp tuyến với đường tròn hợp với trục hoành một góc $\alpha^{\circ}$ .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát (C)  $(x-2)^2+(y-1)^2 = 2$  .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) hợp với trục hoành một góc $45^{\circ}$ .

Bước 1.  Tìm tâm I và bán kính R của (C)  
Cần nhớ rằng  $Ax+By+C=0  \Leftrightarrow  y = - A/B.x - C/B$  với  $B  \neq  0$
Hệ số góc của đường thẳng là  $k=tan \alpha = -A/B$
Tiếp tuyến (T) có dạng  $Ax+By+C=0$  với   $-A/B = tan \alpha$ , $m=-C/B$  có thể viết lại
 (T)  $x.tan \alpha  - y + m =0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $x. tan \alpha - y + m =0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow   |a.tan \alpha  - b + m |/\sqrt{tan^2 \alpha+1}=R$
Giải phương trình này thu được m .

Cụ thể với  (C)  (x-2)^2+(y-1)^2 = 2  và góc $\alpha = 45^{\circ}$ .
Nhập find center and radius of  (x-2)^2+(y-1)^2 =2   ta có  radius |  sqrt(2)  ,   center | (2, 1)
Xem   http://goo.gl/vIGIKW
Tâm I(2,1) ,  R = sqrt(2)  ,  $\alpha = 45^{\circ}$
Phương trình tiếp tuyến   (T)  $x.tan45^{\circ}  - y + m =0$
Điều kiện tiếp xúc
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow   |2 tan(45) - 1 + m |/\sqrt{(tan45)^2+1}= \sqrt{2} $
Giải phương trình tìm m .
Nhập  solve  (2tan(45) - 1 + m )^2 /((tan45)^2+1)=2    ta có  m = - 3  ,  m =  1
Xem   http://goo.gl/SWMgwh


Bước 2.  Viết phương trình tiếp tuyến
(T1)  x.tan45  - y - 3 = 0
(T2)  x.tan45  - y +1 = 0

Kiểm tra
Đổi góc $\alpha = 45^{\circ}$  ra radian ,   $\alpha = \pi/4$
Nhập  (x-2)^2+(y-1)^2 =2 , xtan(pi/4)  - y - 3 = 0
Nhập  (x-2)^2+(y-1)^2 =2 , xtan(pi/4)  - y +1 = 0
Nhập  (x-2)^2+(y-1)^2 =2 , xtan(pi/4)  - y - 3 = 0 , xtan(pi/4)  - y +1 = 0
Xem   http://goo.gl/uKdCWX
Xem   http://goo.gl/DTu94J
Xem  http://goo.gl/oaE1JQ

b. Tiếp tuyến với đường tròn hợp với trục tung một góc $\alpha^{\circ}$ .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát (C)  $(x-\sqrt(3))^2+(y-1)^2 = 1$  .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) hợp với trục tung một góc $30^{\circ}$ .

Lưu ý : Tiếp tuyến (T) hợp với trục tung một góc $\alpha^{\circ}$  nghĩa là góc của (T) và trục hoành là
$90^{\circ}-\alpha^{\circ}$ .

Bài toán quy về viết phương trình tiếp tuyến với (C) hợp với trục hoành một góc $90^{\circ}-\alpha^{\circ}$ .

Bước 1.  Tìm tâm I và bán kính R của (C)
Tiếp tuyến (T) có dạng  $Ax+By+C=0$  với   $-A/B = tan \alpha$ , $m=-C/B$  có thể viết lại
 (T)  $x.tan \alpha  - y + m =0$

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $x. tan \alpha - y + m =0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow   |a.tan \alpha  - b + m |/\sqrt{tan^2 \alpha+1}=R$
Giải phương trình này thu được m .

Cụ thể với  (C)  $(x-\sqrt(3))^2+(y-1)^2 = 1$   và góc $\alpha =90^{\circ}- 30^{\circ}=60^{\circ}$ .
Nhập find center and radius of  (x-sqrt(3))^2+(y-1)^2 = 1   ta có  radius | 1   center | (sqrt(3), 1)
Tâm I(sqrt(3), 1)  và bán kính R = 1
Xem   http://goo.gl/gUfmgu

Phương trình tiếp tuyến   (T)  $x.tan60^{\circ}  - y + m =0$
distance from  (sqrt(3), 1) to  xtan60  - y + m =0   ta có   (m+2)/2    Xem   http://goo.gl/vLWu5u

Điều kiện tiếp xúc
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow   |sqrt(3) tan(60) - 1 + m |/\sqrt{(tan60)^2+1}= 1 $
Giải phương trình tìm m .
Nhập  solve   (sqrt(3) tan(60) - 1 + m )^2/((tan60)^2+1)= 1  ta có  m = -4  ,  m = 0
Xem   http://goo.gl/Sa79ix     hoặc   xem   http://goo.gl/SkgDBA

Bước 2.  Viết phương trình tiếp tuyến
(T1)  x.tan60  - y - 4 = 0
(T2)  x.tan60  - y  = 0

Kiểm tra
Đổi góc $\alpha = 60^{\circ}$  ra radian ,   $\alpha = \pi/3$
Nhập  (x-\sqrt(3))^2+(y-1)^2 = 1 ,  xtan(pi/3)  - y - 4 = 0
Nhập  (x-\sqrt(3))^2+(y-1)^2 = 1 ,  xtan(pi/3)  - y  = 0
Nhập  (x-\sqrt(3))^2+(y-1)^2 = 1 ,  xtan(pi/3)  - y - 4 = 0 ,  xtan(pi/3)  - y  = 0
Xem   http://goo.gl/ZrcBaQ
Xem   http://goo.gl/uc7t5S
Xem   http://goo.gl/dz64wj

c. Tiếp tuyến với đường tròn hợp với đường thẳng một góc $\alpha^{\circ}$ .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát (C)  $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$  .
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) hợp với đường thẳng (d1)  x - 2y + 3 = 0 một góc $45^{\circ}$ .

Lưu ý :
+Góc hợp bởi 2 đường thẳng (d) và (d1) có hệ số góc tương ứng là k và k1 được tính bởi công thức
$tan[(d),(d1)]= \frac{k-k1}{1+k.k1}$
Hoặc

++Xác định pháp vector của đường thẳng cho trước
 (d1) $A1x+B1y+C1=0$ , ta có  $ \overrightarrow{n_{d1}}=(A1,B1)$

Phương trình đường thẳng cần tìm (d)  $Ax+By+C=0$ ,  có pháp vector là 

$ \overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$

Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{AA_1+BB_1}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=cos\alpha^{\circ}$
Tìm được quan hệ giữa A , B .
Chọn A và B tương ứng .

Bước 1.  Tìm tâm I và bán kính R của (C)
Tiếp tuyến (T) có dạng  $Ax+By+m=0$   có pháp vector là  $ \overrightarrow{n_{T}}=(A,B)$
Xác định pháp vector của (d1) $A1x+B1y+C1=0$ , ta có  $ \overrightarrow{n_{d1}}=(A1,B1)$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình tìm quan hệ giữa A và B
$\frac{AA_1+BB_1}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=cos\alpha^{\circ}$

Cụ thể với   $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$ , (d1)  x - 2y + 3 = 0  và góc $\alpha=45^{\circ}$ .
Nhập  find center and radius of  (x-2)^2+(y-1)^2 = 9  ta có  radius | 3  ,  center | (2, 1)
Tâm I(2,1)  bán kính R = 3
Xem   http://goo.gl/Dq0RnX

Xác định pháp vector của (d1) $x - 2y + 3 = 0$ , ta có  $ \overrightarrow{n_{d1}}=(1,-2)$
Tính góc giữa 2 pháp vector ,
$(A*1+B*(-2))/((sqrt(A^2+B^2)*sqrt(1^2+(-2)^2)))=cos45$
Nhập   (A*1+B*(-2))/((sqrt(A^2+B^2)*sqrt(1^2+(-2)^2)))=cos45
Hoặc nhập  solve (A*1+B*(-2))/((sqrt(A^2+B^2)*sqrt(1^2+(-2)^2)))=cos(45)
 ta có  {A =/= 0, B = -A/3}  ,   {A =/= 0, B = 3 A}
Xem   http://goo.gl/H0EDqt      Xem   http://goo.gl/qTEoS0

Chọn { A = 3 , B = -1 }  và  {  A = 1 , B = 3 }


Bước 2.  Viết phương trình tiếp tuyến
Tiếp tuyến (T) có dạng  $Ax+By+m=0$
*Với { A = 3 , B = -1 }  (T1)  $3x-y+m=0$
Tâm I(2,1)  bán kính R = 3

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Ax+By+m=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Aa+Bb+m|/\sqrt{A^2+B^2}=R$
Nhập  distance from (2,1) to 3x-y+m=0  ta có  (m+5)/sqrt(10)   Xem   http://goo.gl/HFHreR
Giải phương trình  :  solve  ((m+5)/sqrt(10))^2 = 3^2  thu được  ${m = -5-3 \sqrt{10} , m = 3 \sqrt{10}-5}$          Xem   http://goo.gl/5ZP0IO

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) với { A = 3 , B = -1 } là
(T11)  $3x-y -5-3 \sqrt{10}=0$
(T12)  $3x-y +3 \sqrt{10}-5=0$


**Với {  A = 1 , B = 3 }  (T1)  $x+3y+m=0$
Tâm I(2,1)  bán kính R = 3

-Điều kiện tiếp xúc của đường thẳng (T)  $Ax+By+m=0$  và đường tròn (C)
$d[I,(T)]=R \Leftrightarrow |Aa+Bb+m|/\sqrt{A^2+B^2}=R$
Nhập  distance from (2,1) to x+3y+m=0  ta có  (m+5)/sqrt(10)   Xem   http://goo.gl/i7V7nk
Giải phương trình  :  solve  ((m+5)/sqrt(10))^2 = 3^2  thu được  ${m = -5-3 \sqrt{10} , m = 3 \sqrt{10}-5}$          Xem   http://goo.gl/5ZP0IO

Vậy phương trình tiếp tuyến với (C) với { A = 1 , B = 3 } là
(T21)  $x+3y -5-3 \sqrt{10}=0$
(T22)  $x+3y +3 \sqrt{10}-5=0$

Kiểm tra 

[(C),(d1),(T11),(T12)]

Nhập   (x-2)^2+(y-1)^2 = 9 ,  x - 2y + 3 = 0 , 3x-y -5-3sqrt(10)=0 , 3x-y +3sqrt(10)-5=0

[(C),(d1),(T21),(T22)]

Nhập   (x-2)^2+(y-1)^2 = 9 ,  x - 2y + 3 = 0 , x+3y -5-3sqrt(10)=0 , x+3y +3sqrt(10)-5=0

[(C),(d1),(T11),(T12)] [(C),(d1),(T21),(T22)]

Nhập   (x-2)^2+(y-1)^2 = 9 ,  x - 2y + 3 = 0 , 3x-y -5-3sqrt(10)=0 , 3x-y +3sqrt(10)-5=0 , x+3y -5-3sqrt(10)=0 , x+3y +3sqrt(10)-5=0

Xem   http://goo.gl/rHEkpc
Xem   http://goo.gl/6QjMq1
Xem   http://goo.gl/iD4WgA

d. Tiếp tuyến chung của 2 đường tròn  .  
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A 
Nhập trực tiếp vào ô  Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp  http://www.wolframalpha.com

Ví dụ .  Khảo sát (C1)  $(x-2)^2+(y-1)^2 = 1$  và     (C2)  $(x+1)^2+(y-2)^2 = 4$   .
Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

Bước 1.  Xét vị trí tương đối của (C1) và (C2)
Nhập  (x-2)^2+(y-1)^2 = 1  ,  (x+1)^2+(y-2)^2 = 4    kết luận  (C1) ngoài (C2)
Xem    http://goo.gl/d30oa8
Phương trình tiếp tuyến chung có dạng $Ax+By+m=0$
Điều kiện tiếp xúc
$d[I_1,(T)]=R_1$    với  tâm $I_1=(2,1)$  và  $R_1=1$
$d[I_2,(T)]=R_2$    với  tâm $I_2=(-1,2)$  và  $R_2=2$
Nhập  distance from (2,1) to  Ax+By+m=0      ta có   sqrt((2 A+B+m)^2/(A^2+B^2))
Nhập  distance from (-1,2) to  Ax+By+m=0    ta có   sqrt((-A+2 B+m)^2/(A^2+B^2))
Xem   http://goo.gl/d8rT3W
Xem   http://goo.gl/59ZHyy



Bước 2. Giải hệ phương trình tìm A , B , m
Nhập   solve  sqrt((2 A+B+m)^2/(A^2+B^2)) =  1 , sqrt((-A+2 B+m)^2/(A^2+B^2)) = 2
Xem   http://goo.gl/sqRnOs

Viết phương trình tiếp tuyến chung
* Với {A =/= 0 , B = 0 , m = -A } chọn A = 1 , m = -1
(T1)  x - 1 = 0
** Với {A =/= 0 , B = -3A/4 , m = 0 } chọn A = 4 , B = -3
(T2)  4x - 3y = 0

*** Với {A =/= 0 , B = 4A/3 , m = -5A } chọn A = 3 , B = 4 , m = -15
(T3)  3x + 4y - 15 = 0

**** Với {A = 0 , B =/= 0 , m = 0 } chọn  B = 1
(T4)  y  = 0

Kiểm tra
Nhập  (x-2)^2+(y-1)^2 = 1,(x+1)^2+(y-2)^2 = 4,x - 1 = 0, 4x - 3y = 0,3x + 4y - 15 = 0,y  = 0
Xem    http://goo.gl/jn2lCY

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Trần hồng Cơ
06/05/2015

------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Mục đích cuộc sống càng cao thì đời người càng giá trị.

 Geothe