GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .
Phần 5 . HÌNH HỌC - Điểm , vector , đường thẳng 2D
DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN MATHEMATICA WOLFRAM | ALPHA .
Giới thiệu .
Bạn đọc truy cập vào đường dẫn http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .
Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :
D : Đại số . Ví dụ D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ H12.3 widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7 widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15 widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 8
D8.1 Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2 Rút gọn phân thức
D8.3 Phân tích thừa số
D8.4 Nhân 2 đa thức
D8.5 Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6 Phân tích thừa số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 10
D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4 Giải phương trình đại số
D10.5 Giải phương trình từng bước
D10.6 Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị
D10.8 Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9 Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10 Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11 Giải phương trình đại số
D10.12 Giải phương trình vô tỷ
D10.13 Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14 Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15 Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16 Giải hệ phương trình
D10.17 Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19 Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20 Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy
HÌNH HỌC 10
H10.1 Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3 Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2 Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 11
D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức ( HORNER )
D11.2 Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên
D11.6 Khai triển nhị thức Newton
GIẢI TÍCH 11
G11.1 Tính gíá trị một chuỗi số theo n
G11.2 Đa thức truy hồi
G11.3 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4 Tính giới hạn của chuỗi số khi $n \rightarrow \infty$
G11.5 Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6 Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7 Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8 Tìm giới hạn của hàm số
G11.9 Tìm giới hạn của hàm số
G11.10 Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12 Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11+12.1 Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị
LƯỢNG GIÁC 11
L11.1 Giải phương trình lượng giác
L11.2 Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3 Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4 Khai triển công thức lượng giác
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
ĐẠI SỐ 12
D12.1 Cấu trúc của số phức
D12.1 Giải phương trình mũ
D12.3 Giải phương trình chứa tham số
D12.4 Giải phương trình bất kỳ ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ , log , căn thức )
D12.5 Giải phương trình mũ
GIẢI TÍCH 12
G12.1 Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2 Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3 Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4 Tìm cực trị của hàm số
G12.5 Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7 Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8 Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9 Tìm nghiệm của các phương trình y = 0 , y ' = 0 , y " = 0
G12.10 Tính tích phân bất định
G12.11 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12 Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13 Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15 Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16 Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17 Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18 Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19 Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20 Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21 Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22 Tích thể tích vật tròn xoay (C) , trục Ox , x =a , x= b
G12.23 Thể tích vật tròn xoay
G12.24 Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25 Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26 Tìm cực trị của hàm số
G12.27 Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28 Tính tích phân xác định
HÌNH HỌC 12
H12.1 Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2 Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3 Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4 Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5 Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6 Tích có hướng 2 vector
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
GIẢI TÍCH CAO CẤP
GI.1 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2 Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.3 Tích phân 2 lớp
GI.5 Tích phân kép
GI.6 Tích phân bội 3
GI.7 Tích phân bội 3
GI.8 Tích phân suy rộng
GI.9 Chuỗi và dãy số
GI.10 Các bài toán cơ bản trong vi tích phân
GI.11 Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12 Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13 Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14 Tính đạo hàm riêng
GI.15 Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16 Tính tổng chuỗi số n = 1...$\infty$
GI.17 Vẽ đồ thị 3 hàm số
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông cùng với các ví dụ minh họa .
Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :
http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
5. HÌNH HỌC - Điểm , vector , đường thẳng 2D .
5.1 Điểm , vector 2D .
Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,
1. Điểm $A(x_A,y_A)$ ; $B(x_B,y_B)$
2. Trung điểm M của AB $\left\{\begin{matrix}
x_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.$
Trọng tâm G của tam giác ABC $x_G= \frac{x_A+x_B+x_C}{3}; y_G= \frac{y_A+y_B+y_C}{3}$
3. Vector tạo từ 2 điểm $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$
4. Module $||\overrightarrow{AB}||=||(x_B-x_A,y_B-y_A)||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
5. Cộng , trừ 2 vector $ \overrightarrow{a}\pm\overrightarrow{b}=(a_1,a_2)\pm(b_1,b_2)=(a_1\pm b_1,a_2\pm b_2)$
6. Nhân vector với vô hướng $k\overrightarrow{a}=(ka_1,ka_2)$
7. Hai vector cùng phương $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\Leftrightarrow a_1/b_1=a_2/b_2$
8. Tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=(a_1,a_2).(b_1,b_2)=a_1b_1+a_2b_2$
9. Góc giữa 2 vector $cos(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}.\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
10. Hình chiếu của $\overrightarrow{b}$ trên $\overrightarrow{a}$
$hc_\overrightarrow{b}/\overrightarrow{a} =\overrightarrow{a}. \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||^2}$
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5.1.1 Vẽ điểm , đoạn thẳng , đa giác .
a. Vẽ điểm
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Lệnh plot{(x,y)} với (x,y) là tọa độ điểm cần vẽ , click Submit
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . plot{(1,4)} hoặc (1,4)
b. Vẽ đoạn thẳng
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Vẽ đoạn thẳng : Lệnh plot{(x1,y1),(x2,y2)} với (x1,y1) và (x2,y2) là tọa độ hai điểm cần vẽ , click Submit
Ví dụ . plot{(1,4),(2,3)}
c. Vẽ đa giác
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
-Vẽ đa giác : Lệnh plot{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn),(x1,y1)} với (xn,yn) là tọa độ các điểm cần vẽ , click Submit
Ví dụ . Vẽ tam giác ABC với A(1,4) , B(2,3) , C(-2,-2)
plot{(1,4),(2,3),(-2,-2),(1,4)}
d. Tính toán các số liệu của tam giác
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
-Tính toán các số liệu của tam giác
Lệnh triangle (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3) , click submit và ô = góc dưới bên phải , xem kết quả
Hoặc truy cập vào http://www.wolframalpha.com nhập triangle (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)
Ví dụ . Tính toán các số liệu của tam giác ABC với A(-5,0) , B(3,-3) , C(0,2)
triangle (-5,0),(3,-3),(0,2)
e. Tính toán các số liệu của tứ giác
Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
-Tính toán các số liệu của tứ giác
Lệnh quadrilateral (-5,0),(3,-3),(0,2),(-4,2), click submit và ô = góc dưới bên phải , xem kết quả
Hoặc truy cập vào http://www.wolframalpha.com nhập quadrilateral (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)
Ví dụ . Tính toán các số liệu của tứ giác ABCD với A(-5,0) , B(3,-3) , C(0,2) , D(-4,2)
quadrilateral (-5,0),(3,-3),(0,2),(-4,2)
5.1.2 Phép toán vector .
a. Trung điểm của đoạn thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . midpoint {(3,4) ,(1,-2)}
Xem http://goo.gl/xE7sXX
b. Vector tạo từ 2 điểm
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/vector-add-subtract-calculator
Ví dụ . Tìm $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$ biết $A(-2,8)$ và $B(1,4) $
Xem https://goo.gl/befMGJ
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tìm $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A)$ biết $A(-2,8)$ và $B(1,4) $
Nhập (1,4) - (-2,8) , Click Submit
Xem http://goo.gl/Zhwg00
Vi dụ . như trên
Nhập vector (1,4) , vector (+2 ,-8) , vector (3,-4)
Ta có vector (1,4) + vector (+2 ,-8) = vector (3,-4)
hay vector (1,4) - vector (-2 ,8) = vector (3,-4)
Xem http://goo.gl/K63eHh
Nhập vector (1,4) + vector (+2 ,-8)
Xem http://goo.gl/5CtV9f
c. Module của vector
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/vector-magnitude-calculator
Ví dụ . Tính module $||(3,-7)||$
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính module ||(3,-7)||
d. Cộng trừ 2 vector
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/vector-add-subtract-calculator
Ví dụ . Tính tổng (3,-4)+5(1,2)
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính tổng (3,-4)+5(1,2)
Nhập vector (3,-4) + vector (5*1 ,5*2)
Xem http://goo.gl/riejBJ
e. Tích vô hướng giữa 2 vector
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/vector-scalar-multiplaction-calculator
Ví dụ . Tính tích vô hướng (1,-4) . (3,-2)
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính tích vô hướng (1,-4) . (3,-2)
f. Góc giữa 2 vector
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/vector-angle-calculator
Ví dụ . Tính góc giữa (3,7), (2,-5)
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . angle between (3,7) and (2,-5)
g. Vector cùng phương ( phụ thuộc tuyến tính - linearly dependent )
Không cùng phương ( khác phương , độc lập tuyến tính - linearly independent )
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Xét xem 2 vector sau có cùng phương ?
$\overrightarrow{a} = (1,-3) $ và $\overrightarrow{b} = (-2,6)$
are (1,-3) and (-2,6) linearly dependent ?
Xem http://goo.gl/TS4EpC
Hoặc vector {(1,-3),(-2,6)}
Xem http://goo.gl/hSKFKb
Kết luận : Đây là 2 vector cùng phương ( phụ thuộc tuyến tính )
Ví dụ . Xét xem 2 vector sau có cùng phương ?
$\overrightarrow{a} = (1,4) $ và $\overrightarrow{b} = (-2,6)$
are (1,4) and (-2,6) linearly dependent ?
Xem http://goo.gl/19injM
Hoặc vector {(1,4),(-2,6)}
Xem http://goo.gl/nPKzLI
Kết luận : Đây là 2 vector không cùng phương ( khác phương , độc lập tuyến tính )
Nhập vector (1,4) , (-2,6) Kết luận : Đây là 2 vector không cùng phương ( khác phương , độc lập tuyến tính )
Xem http://goo.gl/pVxC6E
h. Kiểm tra 3 điểm thẳng hàng
Ba điểm thẳng hàng <=> 2 vector cùng phương ( phụ thuộc tuyến tính)
Ba điểm không thẳng hàng <=> 2 vector không cùng phương (khác phương , độc lập tuyến tính)
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Xét xem 3 điểm (1,3) , (2,-5) , (-1,1) có thẳng hàng không ?
Nhập (1,3) , (2,-5) , (-1,1)
Xem http://goo.gl/wP2FTR
Kết luận : Đây là 3 điểm không thẳng hàng ( 2 vector khác phương , độc lập tuyến tính )
i. Hình chiếu của vector trên vector
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/vector-projection-calculator/
Ví dụ . Tìm hình chiếu của $\overrightarrow{b} = (3,-8)$ trên $\overrightarrow{a} = (1,2)$
Công thức : Hình chiếu của $\overrightarrow{b}$ trên $\overrightarrow{a}$
$hc_\overrightarrow{b}/\overrightarrow{a} =\overrightarrow{a}. \frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{||\overrightarrow{a}||^2}$
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tìm hình chiếu của $\overrightarrow{b} = (3,-8)$ trên $\overrightarrow{a} = (1,2)$
Nhập projection((3,-8),(1,2)) , Click Submit
Nhập vector (3,-8) , vector (1,2) , vector (-13/5,-26/5)
Xem http://goo.gl/ye7LSa
5.2 Đường thẳng 2D .
Mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng (d) $Ax+By+C=0$
Vector chỉ phương $\overrightarrow{a} = (B,-A)$
Pháp vector $\overrightarrow{n} = (A,B)$
Góc giữa 2 đường thẳng $cos[(d_1),(d_2)]=\frac{A_1.B_1+A_2.B_2}{\sqrt{A_1^2+B_1^2}.\sqrt{A_2^2+B_2^2}}$
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $d[M,(d)]= |Ax_M+By_M+C|/ \sqrt{A^2+B^2}$
Phương trình phân giác của 2 đường thẳng $ |A_1x_M+B_1y_M+C_1|/ \sqrt{A_1^2+B_1^2}= |A_2x_M+B_2y_M+C_2|/ \sqrt{A_2^2+B_2^2}$
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng $\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}$
Vector chỉ phương $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$
Điểm $M_0(x_0,y_0) $ thuộc đường thẳng .
3. Phương trình tham số của đường thẳng $x=x_0+t.a_1;y=y_0+t.a_2$
Vector chỉ phương $\overrightarrow{a} = (a_1,a_2)$
Điểm $M_0(x_0,y_0) $ thuộc đường thẳng .
4. Phương trình điểm - điểm của đường thẳng $\frac{x-x_N}{x_M-x_N}=\frac{y-y_N}{y_M-y_N}$
Điểm $M(x_M,y_M) $ và $(x_N,y_N) $ thuộc đường thẳng .
5. Phương trình hệ số góc - điểm của đường thẳng $y-y_0=k.(x-x_0)$
Với k là hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng .
Điểm $M_0(x_0,y_0) $ thuộc đường thẳng .
6. Phương trình đại số của đường thẳng $y = b.x +a$
Với b là hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng .
a là tung độ gốc (giao điểm của đường thẳng và trục tung Oy) của đường thẳng .
7. Phương trình đoạn chắn của đường thẳng $\frac{x}{m}+\frac{y}{n}=1$
Với m là hoành độ gốc (giao điểm của đường thẳng và trục hoành Ox) của đường thẳng .
n là tung độ gốc (giao điểm của đường thẳng và trục tung Oy) của đường thẳng .
8. Vị trí tương đối của điểm M và đường thẳng (d) $Ax+By+C=0$
$d[M,(d)]= |Ax_M+By_M+C|/ \sqrt{A^2+B^2}$
$d[M,(d)]>0 \Leftrightarrow M \notin (d)$
$d[M,(d)]=0 \Leftrightarrow M \in (d)$
9. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng (d1) $A_1x+B_1y+C_1=0$ và (d2) $A_2x+B_2y+C_2=0$
$A_1/A_2=B_1/B_2=C_1/C_2 \Leftrightarrow (d1) \equiv (d2)$
$A_1/A_2=B_1/B_2 \neq C_1/C_2 \Leftrightarrow (d1) // (d2)$
$A_1/A_2 \neq B_1/B_2 \Leftrightarrow (d1) \cap (d2)$
5.2.1 Viết phương trình đường thẳng .
a. Phương trình hệ số góc - điểm
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line m =? , at ( x0 , y0 ) , click Go
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc = 4 và đi qua điểm $M(-1,-6)$
Line m=4 , at (-1,-6)
Xem https://goo.gl/MbnGCR
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc = 4 và đi qua điểm $M(-1,-6)$
line , slope = 4 , through (-1,-6)
Xem http://goo.gl/YxKezL
*Dùng widget H10.II.1 DUONG THANG HE SO GOC-DIEM
b. Phương trình điểm - điểm
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) click Go
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-2,4)$ và $N(1,2)$
Line (-2,4) , (1,2)
Xem https://goo.gl/I4s0ZJ
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-2,4)$ và $N(1,2)$
line through (-2,4) , (1,2)
Xem http://goo.gl/t69YVw
*Dùng widget H10.II.1 DUONG THANG DIEM-DIEM
c. Phương trình đường thẳng song song
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Parallel Ax + By + C=0 , at (x1,y1) click Go
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2,-5)$ và song song với $x +2y - 4 =0$
Parallel x+2y - 4 =0 , at (2,-5)
Xem https://goo.gl/fGcLxv
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(2,-5)$ và song song với $x +2y - 4 =0$
line , parallel to x+2y-4=0 through (2,-5)
Xem http://goo.gl/Vo4x6C
*Dùng widget H10.II.1 DTHANG SSONG (D) QUA M
d. Phương trình đường thẳng vuông góc
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Perpendicular Ax + By + C=0 , at (x1,y1) click Go
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-8,10)$ và vuông góc với $2x +3y - 6 =0$
Perpendicular 2x+3y-6=0 , at (-8,10)
Xem https://goo.gl/J6CBPr
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-8,10)$ và vuông góc với $2x +3y - 6 =0$
line normal 2x+3y-6=0 through (-8,10)
Xem http://goo.gl/TwI7Xi
Hoặc line perpendicular 2x+3y-6=0 through (-8,10)
Xem http://goo.gl/tnBct8
*Dùng widget H10.II.1 DTHANG VUONG GOC (D) QUA M
e. Giao điểm của 2 đường thẳng - Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ 1. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng đi qua điểm $x-y+2=0 $ và $2x+3y+1=0$
x-y+2=0 , 2x+3y+1=0
Xem http://goo.gl/znjo6l
*Dùng widget H10.II.1 KHAO SAT DUONG THANG
Nhập x-y+2=0 , 2x+3y+1=0
Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng đi qua điểm $x-y+2=0 $ và $2x-2y+1=0$
x-y+2=0 , 2x-2y+1=0
Xem http://goo.gl/UgISHH
f. Góc giữa 2 đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính góc giữa 2 đường thẳng $-2x + 5y +2=0 $ và $3x+7y+1=0$
Pháp vector của 2 đường thẳng là $ \overrightarrow{n_1}=(-2,5)$ và $ \overrightarrow{n_2}=(3,7)$
Nhập angle between (-2,5), (3,7)
Xem http://goo.gl/bVQFGJ
Nhập -2x + 5y +2=0 , 3x+7y+1=0
Xem http://goo.gl/L8aZrU
*Dùng widget H10.II.1 TINH GOC GIUA 2 DUONG THANG
g. Khoảng cách
* Từ 1 điểm đến đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính khoảng cách từ điểm $M(1,-3)$ đến đường thẳng $4x + 3y - 5 =0 $
Nhập Distance from (1,-3) to 4x + 3y - 5 =0
Xem http://goo.gl/Z48pR0
*Dùng widget H10.II.1 KHOANG CACH TU DIEM DEN DUONG THANG
* Giữa 2 đường thẳng song song
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song (d1) $3x+4y+1=0$ và (d2) $3x+4y+6=0$
- Chọn điểm M1 trên (d1) , tính d[M1,(d2)]
Nhập distance between 3x+4y+1=0 and 3x+4y+6=0
Xem http://goo.gl/kjtsT4
*Dùng widget H10.II.1 KHOANG CACH 2 DUONG THANG SONG SONG
h. Viết phương trình phân giác của 2 đường thẳng
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng $3x-4y+5=0$ và $5x + 12y -7 =0$
Nhập 3x-4y+5=0 , 5x + 12y -7 =0 , ( 3x-4y+5)/sqrt(3^2+4^2) = ( 5x+12y-7)/sqrt(5^2+12^2) , ( 3x-4y+5)/sqrt(3^2+4^2) =- ( 5x+12y-7)/sqrt(5^2+12^2)
Xem http://goo.gl/TFtzf0
Kết luận : phương trình 2 đường phân giác là $7x-56y+50=0$ và $32x+4y+15=0$
*Dùng widget H10.II.1 DUONG PHAN GIAC CUA 2 DTHANG
i. Viết phương trình đường thẳng song song và cách một đoạn là a .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng (d) $6x-8y+5=0$ một đoạn là 2 .
Bước 1 . Chọn điểm $M \in (d)$ $Ax+By+C=0$ với $x=0,y=-C/B$ (tung độ gốc) hoặc $x=-C/A ,y=0$ (hoành độ gốc)
Tính khoảng cách từ điểm $M(0,-C/B)$ đến (d1) $Ax+By+m=0$
Giải phương trình $d[M,(d1)=|A.0+B.(-C/B)+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=|-C+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=a$ tìm được giá trị của m .
Cụ thể với (d) $6x-8y+5=0$
Nhập 6x-8y+5=0 ta tìm được $x=0,y=5/8$ vậy $M(0,5/8)$
Nhập solve(|6*0-8*(5/8)+m|/sqrt(6^2+8^2)=2) ta có m = -15 , m = 25
Xem http://goo.gl/tMtKEL
Xem http://goo.gl/POSV70
Bước 2 . Thế m vào phương trình (d1) $Ax+By+m=0$
Với m = -15 (d11) $6x-8y-15=0$
Với m = 25 (d12) $6x-8y+25=0$
Bước 3 . Kiểm tra
Tính $d[M,(d11)$ và $d[M,(d12)$
Nhập 6x-8y+5=0 ,6x-8y-15=0,6x-8y+25=0
Xem http://goo.gl/ZE5Rfg
Xem http://goo.gl/0bvqTQ
Xem http://goo.gl/FfZMPq
*Dùng widget H10.II.1 DTHANG SSONG,KH.CACH = a
k. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một điểm .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với (d) $2x+y-5=0$ qua điểm $M(1,-2)$
Bước 1 . Kiểm tra điểm $M(x_M,y_M)$ xem có thuộc đường thẳng (d) không bằng cách tính khoảng cách
$k=d[M,(d)]=|Ax_M+By_M+C|/ \sqrt{A^2+B^2}|$ ($\neq 0$)
Tính khoảng cách từ điểm $M(x_M,y_M)$ đến (d1) $Ax+By+m=0$
Giải phương trình $d[M,(d1)=|A.x_M+B.y_M+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=k$ tìm được giá trị của m .
Cụ thể với (d) $2x+y-5=0$ và $M(1,-2)$
Nhập distance from (1,-2) to 2x+y-5=0 ta có $k = \sqrt{5}$
Gọi (d1) $2x+y+m=0$
Nhập solve(|2*1+(-2)+m|/sqrt(2^2+1^2)=sqrt(5)) ta tìm được $m = \pm 5$
Xem http://goo.gl/nR4XgS
Xem http://goo.gl/qeaAQY
Bước 2 . Loại giá trị m trùng với $C=-5$ trong phương trình (d) $2x+y-5=0$ ban đầu , vậy $m=5$
Thế m vào phương trình (d1) $2x+y+m=0$
Với m = 5 (d1) $2x+y+5=0$
Bước 3 . Kiểm tra
Tính $d[M,(d1)$ distance from (1,-2) to 2x+y+5=0
Nhập 2x+y-5=0 ,2x+y+5=0
*Dùng widget H10.II.1 DTHANG DXUNG DTHANG QUA M
l. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một đường thẳng song song .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với (d1) $5x-12y+4=0$ qua đường thẳng
(d) $5x-12y+8=0$
Bước 1 . Chọn điểm $M \in (d)$ $Ax+By+C=0$ với $x=0,y=-C/B$ (tung độ gốc) hoặc $x=-C/A ,y=0$ (hoành độ gốc)
Tính khoảng cách k từ điểm $M(0,-C/B)$ đến (d1) $Ax+By+C_1=0$
$k=d[M,(d1)=|A.x_M+B.y_M+C_1|/ \sqrt{A^2+B^2}$
Gọi (d2) $Ax+By+m=0$
Giải phương trình $d[M,(d2)=|A.x_M+B.y_M+m|/ \sqrt{A^2+B^2}=k$ tìm được giá trị của m .
Cụ thể với (d) $5x-12y+8=0$
Nhập 5x-12y+8=0 ta tìm được $x=0,y=2/3$ vậy $M(0,2/3)$
Nhập distance from (0,2/3) to 5x-12y+4 = 0 ta có $k=4/13$
Nhập solve |5*0-12*2/3+m|/sqrt{5^2+12^2}=4/13 thu được m = 4 , m = 12
Xem http://goo.gl/5OHO3O
Xem http://goo.gl/5LKSyg
Xem http://goo.gl/1hmvJm
Bước 2 . Loại giá trị m trùng với $C_1=4$ trong phương trình (d) $5x-12y+4=0$ ban đầu , vậy $m=12$
Thế m vào phương trình (d2) $5x-12y+m=0$
Với m = 12 (d2) $5x-12y+12=0$
Bước 3 . Kiểm tra
Tính $d[M,(d2)$ distance from (0,2/3) to 5x-12y+12=0
Nhập 5x-12y+4=0 , 5x-12y+8=0 , 5x-12y+12=0
Xem http://goo.gl/fNCZUn
m. Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng qua một đường thẳng bất kỳ .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đối xứng với (d1) $5x-12y+2=0$ qua đường thẳng
(d) $8x-6y+1=0$
Bước 1 . Tìm giao điểm M của (d1) $A_1x+B_1y+C_1=0$ và (d) $Ax+By+C=0$
Chọn điểm $N \in (d)$ lưu ý $N \neq M$ , $Ax+By+C=0$ với $x=0,y=-C/B$ (tung độ gốc) hoặc $x=-C/A ,y=0$ (hoành độ gốc)
Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ _|_ (d) qua N
Tìm giao điểm K của $(\Delta)$ và (d1)
Tìm điểm H đối xứng với điểm K qua N bằng công thức $2N-K=H$
Cụ thể với (d1) $5x-12y+2=0$ và (d) $8x-6y+1=0$
Nhập 5x-12y+2=0 , 8x-6y+1=0 ta tìm được $x=0,y=1/6$ vậy $M(0,1/6)$
Chọn $N \in (d)$ với $y=0,x=-1/8$ vậy $N(-1/8,0)$
Nhập line normal 8x-6y+1=0 through (-1/8,0) ta có $(\Delta)$ $y = -(3*x)/4-3/32$
Nhập y = -(3*x)/4-3/32 , 5x-12y+2=0 ta tìm được $x = -25/112, y = 33/448$
Vậy $K(-25/112,33/448)$
Nhập 2(-1/8,0) - (-25/112,33/448) ta có $-3/112, -33/448$
Vậy $H(-3/112,-33/448)$
Bước 2 . Viết phương trình đường thẳng MH , đây chính là đường thẳng (d2)
Viết phương trình đường thẳng (d2) đi qua $M(0,1/6)$ và $H(-3/112,-33/448)$
(phương trình điểm-điểm)
Nhập line through (0,1/6) , (-3/112,-33/448)
Ta có (d2) $-323 x+36 y-6 = 0$
Bước 3 . Kiểm tra
Tính $d[K,(d)]$ và $d[H,(d)$
distance from (-25/112,33/448) to 8x-6y+1=0
distance from (-3/112,-33/448) to 8x-6y+1=0
Nhập 5x-12y+2=0 , 8x-6y+1=0 , -323x + 36y - 6 =0 , y = -(3*x)/4-3/32
Xem http://goo.gl/bDzuYqXem http://goo.gl/pjqPyn
Xem http://goo.gl/90EskC
*Dùng widget H10.II.1 DTHANG DX DTHANG QUA DTHANG BAT KY
n. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và cách đều 2 điểm khác .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm K(-2,3) cách đều 2 điểm A(1,4) và B(-1,2)
Bước 1 . Xét xem 3 điểm K , A , B có thẳng hàng không .
*Nếu có , xét xem K có phải là trung điểm của AB không .
+Nếu K là trung điểm của AB , viết phương trình đường thẳng đi qua K có hệ số góc m (trung trực của AB qua K là trường hợp đặc biệt) , đây chính là đường thẳng cần tìm .
++Nếu K không phải là trung điểm của AB , bài toán vô nghiệm .
*Nếu không , tìm tọa độ trung điểm M của AB .
Cụ thể với K(-2,3) , A(1,4) và B(-1,2)
Nhập (-2,3) , (1,4) , (-1,2) đây là 3 điểm không thẳng hàng
Nhập midpoint{ (1,4) , (-1,2) } ta có trung điểm M của AB là M(0,3)
Xem http://goo.gl/31JsYx
Xem http://goo.gl/NHhWfh
Bước 2 .
Viết phương trình đường thẳng KM (trung tuyến KM trong tam giác KAB)
Viết phương trình đường thẳng qua K và song song AB .
Nhập line through (-2,3) , (0,3) ta được (KM) $y-3=0$
Tính độ dốc của AB nhập slope of (1,4) , (-1,2) ta có độ dốc = 1
Nhập line , slope = 1 through (-2,3)
Xem http://goo.gl/4K5Frw
Xem http://goo.gl/WUbVdt
Xem http://goo.gl/vo4vlo
Bước 3 . Kiểm tra
Nhập implicitplot [-x+y-5 = 0 , y - 3=0 , y=0 , x=0 , y = x+3, -1<=x<=1]
Xem http://goo.gl/kjqVy4
o. Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và tạo một góc $ \alpha^{\circ}$ với đường thẳng khác .
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1,3) tạo một góc $45^{\circ}$ với đường thẳng (d1) $3x+4y+5=0$
Bước 1 . Xác định pháp vector của (d1) $A1x+B1y+C1=0$ , ta có $ \overrightarrow{n_{d1}}=(A1,B1)$
Phương trình đường thẳng cần tìm (d) $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$ , có pháp vector là
$ \overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{AA_1+BB_1}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=cos\alpha^{\circ}$
Tìm được quan hệ giữa A , B .
Chọn A và B tương ứng .
Cụ thể với điểm M(1,3) , góc $\alpha =45^{\circ}$ , đường thẳng (d1) $3x+4y+5=0$
Pháp vector của (d1) $3x+4y+5=0$ , ta có $ \overrightarrow{n_{d1}}=(3,4)$
Bước 2 . Viết phương trình đường thẳng (d) $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$ với A , B vừa tìm được ở trên .
-Với $A = 1, B =-7$ ta có phương trình (d) $1(x-1)-7(y-3)=0$
Nhập 1(x-1)-7(y-3)=0
Xem http://goo.gl/uWMpTv (d) $x - 7 y + 20 = 0$
-Với $A = 7 , B = 1$ ta có phương trình (d) $7(x-1)+1(y-3)=0$
Nhập 7(x-1)+1(y-3)=0
Xem http://goo.gl/3qzGOk (d) $7x + y -10 = 0$
Bước 3 . Kiểm tra
Nhập 3x+4y+5=0 , 1(x-1)-7(y-3)=0 , 7(x-1)+1(y-3)=0
Xem http://goo.gl/FBfRgI$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{AA_1+BB_1}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{A_1^2+B_1^2}}=cos\alpha^{\circ}$
Tìm được quan hệ giữa A , B .
Chọn A và B tương ứng .
Cụ thể với điểm M(1,3) , góc $\alpha =45^{\circ}$ , đường thẳng (d1) $3x+4y+5=0$
Pháp vector của (d1) $3x+4y+5=0$ , ta có $ \overrightarrow{n_{d1}}=(3,4)$
Phương trình đường thẳng cần tìm (d) $A(x-1)+B(y-3)=0$ , có pháp vector là
$ \overrightarrow{n_{d}}=(A,B)$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{A.3+B.4}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{3^2+4^2}}=cos 45^{\circ}$
Tính góc giữa 2 pháp vector , giải phương trình
$cos(\overrightarrow{n_{d}},\overrightarrow{n_{d1}})=\frac{\overrightarrow{n{d}}.\overrightarrow{n_{d1}}}{||\overrightarrow{n_{d}}||.||\overrightarrow{n_{d1}}||}=
\frac{A.3+B.4}{\sqrt{A^2+B^2}.\sqrt{3^2+4^2}}=cos 45^{\circ}$
Nhập solve (3A+4B)/ (sqrt(A^2+B^2)*sqrt(3^2+4^2)) = cos(45)
Ta có $B = -7A$ , $B = A/7$
Chọn A và B tương ứng như sau : $A = 1, B =-7$ , $A = 7 , B = 1$
Xem http://goo.gl/1fcgxZBước 2 . Viết phương trình đường thẳng (d) $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$ với A , B vừa tìm được ở trên .
-Với $A = 1, B =-7$ ta có phương trình (d) $1(x-1)-7(y-3)=0$
Nhập 1(x-1)-7(y-3)=0
Xem http://goo.gl/uWMpTv (d) $x - 7 y + 20 = 0$
-Với $A = 7 , B = 1$ ta có phương trình (d) $7(x-1)+1(y-3)=0$
Nhập 7(x-1)+1(y-3)=0
Xem http://goo.gl/3qzGOk (d) $7x + y -10 = 0$
Bước 3 . Kiểm tra
Nhập 3x+4y+5=0 , 1(x-1)-7(y-3)=0 , 7(x-1)+1(y-3)=0
*Dùng widget H10.II.1 CHUM DTHANG HOP VOI (d) GOC ALPHA
Nhập A1=3 , B1=4 , alpha =45
Chọn A và B tương ứng như sau : $A = 1, B =-7$ , $A = 7 , B = 1$
*Dùng widget H10.II.1 DTHG QUA M,CO PHAP VECTOR n=(A,B)
5.2.1 Một số bài toán về phương trình đường thẳng trong tam giác .
a. Viết phương trình đường thẳng 3 cạnh tam giác
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line (x1,y1) , (x2,y2) , click Go
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng 3 cạnh tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Line (1,-3) , (2,4) (cạnh AB) $ y=7x-10$
Line (1,-3) , (-1,2) (cạnh AC) $y =-\frac{5}{2}x- \frac{1}{2}$
Line (2,4) , (-1,2) (cạnh BC) $y=\frac{2}{3}x+\frac{8}{3}$
Xem https://goo.gl/iIVW38
Xem https://goo.gl/7hJVfy
Xem https://goo.gl/8aQGrl
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường thẳng 3 cạnh tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập Line (1,-3) , (2,4) (cạnh AB) $-7x+y+10=0$
Nhập Line (1,-3) , (-1,2) (cạnh AC) $5x+2y+1=0$
Nhập Line (2,4) , (-1,2) (cạnh BC) $-2x+3y-8=0$
Nhập segment [A(1,-3) , B(2,4)] , segment [A(1,-3) , C(-1,2)] , segment [B(2,4) , C(-1,2)]
Xem http://goo.gl/sr0Rpu
Xem http://goo.gl/5wwJrZ
Xem http://goo.gl/hwaqUy
Xem http://goo.gl/NKxDsJ
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Midpoint (x,y) (x,y) , click Go - tìm trung điểm của cạnh tương ứng
Nhập Line (x1,y1) , (x2,y2) , click Go - viết phương trình trung tuyến
Ví dụ . Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập Midpoint(2,4) (-1,2) trung điểm M(1/2,3)
Nhập Line (1,-3) (1/2,3) trung tuyến AM $y=-12x+9$
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình trung tuyến AM của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập midpoint {(2,4),(-1,2)} trung điểm M(1/2,3)
Nhập line (1,-3) , (1/2,3) trung tuyến AM $12x+y-9=0$
Kiểm tra
Nhập segment [(2,4),(-1,2)] , segment [(1,-3),(1/2,3)]
Xem http://goo.gl/u6tTEW
Nhập -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , 12x+y-9=0
Xem http://goo.gl/EN9lbi
*Dùng widget
c. Viết phương trình trung trực của cạnh tam giác
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Midpoint (x,y) (x,y) , click Go - tìm trung điểm (x1,y1) của cạnh tương ứng
Nhập Line (x1,y1) , (x2,y2) , click Go - viết phương trình cạnh tương ứng
Nhập Perpendicular Ax+By+C =0 at (x1,y1) - viết phương trình trung trực
Ví dụ . Viết phương trình trung trực cạnh BC của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập Midpoint (2,4) (-1,2) trung điểm M(1/2,3)
Nhập Line (2,4) , (-1,2) phương trình BC : $y=2/3x+ 8/3$
Nhập Perpendicular y=2/3x+8/3 at (1/2,3) trung trực cạnh BC : $y=-3/2x+15/4$
Xem https://goo.gl/wRSByK
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình trung trực cạnh BC của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập midpoint {(2,4), (-1,2)} trung điểm M(1/2,3)
Nhập (2,4) - (-1,2) ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{n_{Tr.Truc}}=(A,B)=(3,2)$
Phương trình trung trực cạnh BC là $A(x-x_M)+B(y-y_M)=0$
Nhập 3(x-1/2)+2(y-3) = 0 trung trực cạnh BC : $6x+4y-15=0$
Kiểm tra
Nhập line of line segment [(2,4),(-1,2)] , line 6 x+4 y-15 = 0
Xem http://goo.gl/IVMlSO
Xem http://goo.gl/vPKnZs
Xem http://goo.gl/EfvicW
Nhập -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , 6x+4y-15=0
Xem http://goo.gl/yBtde3
d. Viết phương trình đường cao của tam giác
1. Nguồn https://www.symbolab.com/solver/line-equation-calculator
Nhập Line (x1,y1) , (x2,y2) , click Go - viết phương trình cạnh đáy tương ứng
Nhập Perpendicular Ax+By+C =0 at (x1,y1) , click Go - viết phương trình đường cao qua đỉnh tương ứng
Ví dụ . Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập Line (2,4) ,(-1,2) phương trình BC : y=2/3x+ 8/3
Nhập Perpendicular y=2/3x+8/3 at (1,-3) phương trình đường cao AH : $y= -3/2x - 3/2$
Xem https://goo.gl/ZPTvVI
Xem https://goo.gl/kDkf5A
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường cao AH của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Nhập (2,4) - (-1,2) ta có $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{n_{Tr.Truc}}=(A,B)=(3,2)$
Phương trình đường cao AH _|_ cạnh BC là $A(x-x_A)+B(y-y_A)=0$
Nhập 3(x-1) + 2(y+3) = 0 phương trình đường cao AH : $3x + 2y + 3 = 0$
Tìm chân đường cao H kẻ từ đỉnh A , nhập y=2/3x+ 8/3 , 3x+2y+3=0 ta có H(-25/13 ,18/13 )
Xem http://goo.gl/be6WFb
Kiểm tra
Xem http://goo.gl/A1b1rs
Xem http://goo.gl/M9p9fS
Hoặc
Nhập -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , 3x + 2y + 3=0
Xem http://goo.gl/tLaSoI
e. Viết phương trình đường phân giác của tam giác
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Viết phương trình đường phân giác AD của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Gọi D(x,y) là chân đường phân giác trong của góc A , ta có quan hệ $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}$
viết ở dạng vector như sau $AC.\overrightarrow{DB}=-AB.\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow AC.\overrightarrow{DB}+AB.\overrightarrow{DC}=0$
Hay $AC.\overrightarrow{BD}+AB.\overrightarrow{CD}=0$
Một cách hình thức có thể viết $AC.(D-B)+AB.(D-C)=0<=>D.(AB+AC)=AB.C+AC.B$
Khi đó điểm D chân phân giác trong góc A được tìm bởi công thức
$<D>=\frac{AB.<C>+AC.<B>}{AB+AC}$ trong đó ký hiệu $< ... >$ chỉ tọa độ của điểm trong dấu < , >
Bằng cách hoán vị tròn A, B , C
Tọa độ điểm E chân phân giác trong góc B : BE
$<E>=\frac{BA.<C>+BC.<A>}{BA+BC}$
Tọa độ điểm F chân phân giác trong góc C : CF
$<F>=\frac{CA.<B>+CB.<A>}{CA+CB}$
Bước 1. Khảo sát tam giác ABC
Cụ thể với tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2) , chân phân giác trong D của góc A sẽ là
Nhập triangle A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2) ta có $AB = \sqrt{50}; AC= \sqrt{29} ; BC= \sqrt{13}$
Tìm chân phân giác trong D của góc A
Nhập ( sqrt(50)(-1,2) + sqrt(29)(2,4) ) / ( sqrt(50)+sqrt(29) )
Tọa độ điểm D là
${(2 \sqrt{29}-5 \sqrt{2})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{29}), (10 \sqrt{2}+4 \sqrt{29})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{29})}$
Bước 2. Viết phương trình đường thẳng AD
Nhập line {(2 sqrt(29)-5 sqrt(2))/(5 sqrt(2)+sqrt(29)), (10 sqrt(2)+4 sqrt(29))/(5 sqrt(2)+sqrt(29))} , (1,-3)
Phương trình phân giác trong AD của góc A :
$(25 \sqrt{2}+7 \sqrt{29}) x+(10 \sqrt{2}-\sqrt{29}) y-10 \sqrt{29}+5 \sqrt{2} = 0$
Bước 3. Kiểm tra
Nhập -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , (25 sqrt(2)+7 sqrt(29)) x+(10 sqrt(2)-sqrt(29)) y-10 sqrt(29)+5 sqrt(2) = 0
Xem http://goo.gl/hXLXZm
Xem http://goo.gl/NahstF
Xem http://goo.gl/8vrPbT
Xem http://goo.gl/LFoCjF
f. Tìm tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tìm tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Gọi 3 phân giác trong của tam giác là AD , BE , CF .
$AB = \sqrt{50}; AC= \sqrt{29} ; BC= \sqrt{13}$
Bước 1 . Viết phương trình phân giác AD
Như trên , phương trình phân giác trong AD của góc A :
$(25 \sqrt{2}+7 \sqrt{29}) x+(10 \sqrt{2}-\sqrt{29}) y-10 \sqrt{29}+5 \sqrt{2} = 0$
Bước 2 . Viết phương trình phân giác BE
Tọa độ điểm E chân phân giác trong góc B : BE
$<E>=\frac{BA.<C>+BC.<A>}{BA+BC}$
Tìm chân phân giác trong E của góc B
Nhập ( sqrt(50)(-1,2) + sqrt(13)(1,-3) ) / ( sqrt(50)+sqrt(13) )
Tọa độ điểm E là
${(\sqrt{13}-5 \sqrt{2})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{13}), (10 \sqrt{2}-3 \sqrt{13})/(5 \sqrt{2}+\sqrt{13})}$
Nhập line {(sqrt(13)-5 sqrt(2))/(5 sqrt(2)+sqrt(13)), (10 sqrt(2)-3 sqrt(13))/(5 sqrt(2)+sqrt(13))} , (2,4)
Phương trình phân giác trong BE của góc B :
$(-10 \sqrt{2}-7 \sqrt{13}) x+(15 \sqrt{2}+\sqrt{13}) y+10 \sqrt{13}-40 \sqrt{2} = 0$
Bước 3.
Cho AD cắt BE ta có tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Nhập (25 sqrt(2)+7 sqrt(29)) x+(10 sqrt(2)-sqrt(29)) y-10 sqrt(29)+5 sqrt(2) = 0 , (-10 sqrt(2)-7 sqrt(13)) x+(15 sqrt(2)+sqrt(13)) y+10 sqrt(13)-40 sqrt(2) = 0
Tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là
$x = (-10+\sqrt{26}+2 \sqrt{58})/(10+\sqrt{26}+\sqrt{58}) $,
$y = (3 (28 \sqrt{2}-20 \sqrt{13}+20 \sqrt{29}+\sqrt{754}))/((10 \sqrt{2}-\sqrt{29}) (10+\sqrt{26}+\sqrt{58}))$
Dạng gần đúng $ J (0.45479,1.5482)$
Xem http://goo.gl/s0USP8
Xem http://goo.gl/CGrFhY
Xem http://goo.gl/REL6Mc
Bước 4. Kiểm tra
Nhập -7x+y+10=0 , 5x+2y+1=0 , -2x+3y-8=0 , (25 sqrt(2)+7 sqrt(29)) x+(10 sqrt(2)-sqrt(29)) y-10 sqrt(29)+5 sqrt(2) = 0 , (-10 sqrt(2)-7 sqrt(13)) x+(15 sqrt(2)+sqrt(13)) y+10 sqrt(13)-40 sqrt(2) = 0
Bán kính đường tròn nội tiếp là $ r=S_{\Delta ABC}/p $ với $p= \frac{AB+BC+CA}{2}$ (nửa chu vi)
Ta có $r = 19/( 5 \sqrt{2}+\sqrt{13}+\sqrt{29})$
r = 19/( 5 sqrt(2)+sqrt(13)+sqrt(29))
Nhập circle center (0.45479,1.5482) radius = 19/( 5 sqrt(2)+sqrt(13)+sqrt(29)) , triangle A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Xem http://goo.gl/Cru7Yx
g. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác
2. Công cụ Giải toán trực tuyến W|A
Nhập trực tiếp vào ô Your Problem , Click Submit
Hoặc nhập trực tiếp http://www.wolframalpha.com
Ví dụ . Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC với A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Gọi I(a,b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
AI = BI = CI
Xác định $ \overrightarrow{AI}=<I>-<A>$ = (a,b) - (1,-3) = (a-1,b+3)
Xác định $ \overrightarrow{BI}=<I>-<B>$ = (a,b) - (2,4) = (a-2,b-4)
Xác định $ \overrightarrow{CI}=<I>-<C>$ = (a,b) - (-1,2) = (a+1,b-2)
-Cho $||\overrightarrow{AI}|| = ||\overrightarrow{BI}||$
Nhập simplify (|| (a-1,b+3) || = || (a-2,b-4) ||) ta có $a+7b=5$
-Cho $||\overrightarrow{AI}|| = ||\overrightarrow{CI}||$
Nhập simplify( || (a-1,b+3) || = || (a+1,b-2) ||) ta có $4a=10b+5$
Nhập a+7 b = 5 , 4 a = 10 b+5
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : $I(85/38,15/38)$
Có thể giải vắn tắt :
Nhập solve {|| (a-1,b+3) || = || (a-2,b-4) || , || (a-1,b+3) || = || (a+1,b-2) ||}
Ta tìm được tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : $I(85/38,15/38)$
Xem http://goo.gl/6fxSFH
Xem http://goo.gl/tpXYWt
Xem http://goo.gl/Q39Mt1
Xem http://goo.gl/JnW9m3
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là : R = $5 \sqrt{754} / 38$
Xem http://goo.gl/3QRkQN
Kiểm tra
Nhập circle center (85/38,15/38) radius = 5 sqrt(754)/38 , triangle A(1,-3) , B(2,4) , C(-1,2)
Xem http://goo.gl/tDNOpX
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Trần hồng Cơ
25/04/2015
-------------------------------------------------------------------------------------------
Mục đích cuộc sống càng cao thì đời người càng giá trị.
Geothe
