Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

MW

Thứ Sáu, 30 tháng 12, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 16b . NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN.





GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 16b . NGUYÊN HÀM  - TÍCH PHÂN.   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

16.  NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN . Các khái niệm .

16.2  Phương pháp tính tích phân .    

16.2.1  Tính tích phân xác định   $\int_{a}^{b} f(x)dx$

a. Tính tích phân xác định theo công thức Newton - Leibnitz .

Hàm số $Y =F(x)$  gọi là nguyên hàm của $y=f(x)$  thì  $F'(x)=f(x)$ với  $y=f(x)$ liên tục trên K , $a,b \in K$
Nếu hàm số  $y=f(x)$  có nguyên hàm $Y =F(x)$ trên K , $a,b \in K$  thì $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b)-F(a)$

Ví dụ 1.  Tính các tích phân xác định sau

$I_1=\int_{4}^{9} \sqrt{x}dx $                                      $I_2=\int_{1}^{4} \frac{1}{x}dx $

$I_3=\int_{1}^{6} \sqrt{x+3}dx $                                      $I_4=\int_{0}^{4} \frac{1}{2x+1}dx $

$I_5=\int_{1}^{2} (1-x)^4dx $                                     $I_6=\int_{0}^{1} e^{3-2x}dx $

Lời giải 

*$I_1=\int_{4}^{9} \sqrt{x}dx $
Xét tích phân bất định sau  $I_1=\int  \sqrt{x}dx = \int x^{1/2} dx = 2/3 x^{3/2}+C$
Xem   https://goo.gl/ZLsGZJ
Vậy $I_1=\int_{4}^{9} \sqrt{x}dx = 2/3 x^{3/2}|{4}^{9}= 2/3 [ 9^{3/2}- 4^{3/2}]=38/3$
Xem   https://goo.gl/Mbjz3n



*$I_2=\int_{1}^{4} \frac{1}{x}dx $
Xét tích phân bất định sau  $I_2= \int  \frac{1}{x}dx  = Ln|x|+C$
Xem   https://goo.gl/mSsk21
Vậy $I_2=\int_{1}^{4} \frac{1}{x}dx = Ln|x||{1}^{4}=Ln4-Ln1=Ln4$
Xem   https://goo.gl/g64SB4



Các ví du sau xem ở phần b.


b.  Áp dụng các công thức tích phân cơ bản .

@ Nhân (chia , bình phương) được cứ nhân (chia , bình phương)

Ví dụ 2.

*Tính   $I=\int   (1-x)^4dx $     (BDCB)     
Khai triển biểu thức tích phân   $(1-x)^4 = x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 4 x + 1$
$I=\int  (1-x)^4 dx = \int  [ x^4 - 4 x^3 + 6 x^2 - 4 x + 1]dx = x^5/5 - x^4 + 2 x^3 - 2 x^2 + x + C$


*Tính   $I=\int  ( x+1)(\sqrt{x}+x^2)dx $     (NDCN)     
Khai triển biểu thức tích phân   $( x+1)(\sqrt{x}+x^2) = x^{3/2} + x^3 + x^2 + \sqrt{x}$
$I=\int ( x+1)(\sqrt{x}+x^2)dx = \int  [x^{3/2} + x^3 + x^2 + \sqrt{x}]dx = 2/5 x^{5/2} + 2/3 x^{3/2} + x^4/4 + x^3/3 + C$


*Tính   $I=\int  ( x^2+x+1)/x dx $     (CDCC)
Khai triển biểu thức tích phân  $ (x^2+x+1)/x =x+1+1/x$
 $I=\int  ( x^2+x+1)/x dx = \int [x+1+1/x]dx = x^2/2+x+Lnx +C $


*Tính   $I=\int 2^x ( 3^x + 2^{-x}/cos^2x) dx $     (NDCN)
Khai triển biểu thức tích phân  $ 2^x ( 3^x + 2^{-x}/cos^2x)=6^x+1/cos^2x$
 $I=\int   2^x ( 3^x + 2^{-x}/cos^2x) dx = \int [6^x+1/cos^2x] dx = 6^x/Ln6 +tanx+C $


*Tính   $I=\int  (x^2+2x+5)/(x+1)  dx $     (CDCC)
Khai triển biểu thức tích phân  $ (x^2+2x+5)/(x+1) =x + 1 + 4/(x + 1)$   Dùng bảng chia Horner
 $I=\int  (x^2+2x+5)/(x+1) dx = \int [x + 1 + 4/(x + 1)] dx = 1/2 x^2 +x+ 4 Ln|x + 1| + C $


*Tính   $I=\int  (sin(x/2)+cos(x/2))^2 dx $     (BDCB)
Khai triển biểu thức tích phân  $ (sin(x/2)+cos(x/2))^2 =1+sinx$
 $I=\int   (sin(x/2)+cos(x/2))^2 dx = \int [1+sinx] dx = x-cosx +C $


@ Không nhân (chia , bình phương) được, dùng U.V  hoặc U/V  (công thức tích phân từng phần )

Ví dụ 3.

*Tính   $I=\int  xsinx dx $     (KNDXU.V)   
Công thức tích phân từng phần   $u=x , dv = sinxdx$  ta có $du=dx , v=\int dv = \int sinxdx =-cosx$
$I=\int  xsinx dx = uv - \int vdu=-xcosx - \int (-cosx)dx=-xcosx + sinx +C$


*Tính   $I=\int  x/e^x dx $     (KCDXU/V) 
Công thức tích phân từng phần   $u=x , dv = 1/e^x dx$  ta có $du=dx , v=\int dv = \int  1/e^xdx =-e^{-x}$
$I=\int  x/e^x dx = uv - \int vdu=-x.e^{-x} - \int (-e^{-x})dx=-e^{-x} (x + 1) +C$


 @ Dùng các công thức lượng giác

Ví dụ 4.

*Tính   $I=\int  sinx (2cosx + sin3x) dx $     (NDCN) 
Công thức lượng giác   $ sinx (2cosx + sin3x) = sin2 x + 1/2.cos2 x - 1/2.cos4 x$  (dùng công thức nhân và công thức biến đổi tổng - tích )
$I=\int   sinx (2cosx + sin3x) dx = \int (sin2 x + 1/2.cos2 x - 1/2.cos4 x)dx =1/4 sin2 x - 1/8 sin4 x - 1/2 cos2 x +C$


*Tính   $I=\int  \frac {5tanx.cos^3x + 4}{cos^2x} dx $     (CDCC)
Công thức lượng giác   $ \frac {5tanx.cos^3x + 4}{cos^2x} = 5tanx.cosx + 4 /cos^2x = 5sinx+4/cos^2x$  (dùng công thức cơ bản )
$I=\int   \frac {5tanx.cos^3x + 4}{cos^2x} dx = \int (5sinx + 4 /cos^2x)dx =-5cosx + 4 tanx +C$


*Tính   $I=\int  cosx(sinx + 2cosx) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $cosx(sinx + 2cosx)  =sinxcosx + 2 cos^2 x  = 1/2 sin2 x + 1 + cos2 x$  (dùng công thức nhân )
$I=\int   cosx(sinx + 2cosx) dx = \int ( 1/2 sin2 x + 1 + cos2 x)dx =-1/4cos 2x +x + 1/2sin2x +C$


*Tính   $I=\int  (sinx + 2cosx)^2 dx $     (BDCB)
Khai triển   $(sinx + 2cosx)^2  =sin^2x + 4 cos^2x + 4 sinx.cosx =2sin2x + 3cos^2x + 1 = 2sin2x+1+3/2(1+cos2x)$
$=2sin2x + 5/2 + 3/2cos2x $  (dùng công thức nhân và hạ bậc )
$I=\int  (sinx + 2cosx)^2 dx = \int (2sin2x + 5/2 + 3/2cos2x )dx $ Vậy  $I = 5/2x  - cos2x + 3/4 sin 2x +C$


*Tính   $I=\int  (sin^4x + cos^4x) dx $     (NDCN)
Công thức lượng giác   $sin^4x + cos^4x=1-2sin^2xcos^2x=1-1/2(2sinxcosx)^2=1-1/2sin^22x$  (dùng công thức nhân )
$sin^4x + cos^4x=1-1/4(1-cos4x) = 3/4+1/4cos4x$ (dùng công thức hạ bậc )
$I=\int    (sin^4x + cos^4x) dx = \int (3/4+1/4cos4x)dx =3/4.x + 1/16sin4x +C$


@ Thay đổi biến vi phân  (biến đổi  $dx$ thành $du$ )

Ví dụ 5.

*$I_3=\int_{1}^{6} \sqrt{x+3}dx $     (TDBVP)

Xét tích phân bất định sau
$I_3=\int \sqrt{x+3}dx $  thay đổi biến vi phân  $dx = d(x+3)$  , ta có
$I_3=\int \sqrt{x+3}dx = \int \sqrt{x+3}d(x+3)= \int  (x+3)^{1/2}d(x+3)=2/3. (x+3)^{3/2}+C$
Vậy
$I_3=\int_{1}^{6} \sqrt{x+3}dx = 2/3. (x+3)^{3/2}|_{1}^{6}=2/3.[(6+3)^{3/2}-(1+3)^{3/2}]=38/3$


Xem   https://goo.gl/xkh1CL

*$I_4=\int_{0}^{4} \frac{1}{2x+1}dx $     (TDBVP)

Xét tích phân bất định sau
$I_4=\int_{0}^{4} \frac{1}{2x+1}dx $  thay đổi biến vi phân  $dx = 1/2d(2x+1)$  , ta có
$I_4=\int \frac{1}{2x+1}dx =\int  \frac{1}{2x+1}. 1/2d(2x+1)=1/2  \int  \frac{1}{2x+1}.d(2x+1)=1/2.ln|2x+1| +C$
Vậy
$I_4=\int_{0}^{4} \frac{1}{2x+1}dx = 1/2. ln|2x+1| |_{0}^{4}=Ln3 $


Xem   https://goo.gl/LNKfKm 


*Tính   $I=\int  (1-x)^4dx $     (TDBVP) 
Viết lại  $I=\int  (x-1)^4dx $
Thay đổi biến vi  phân  $ dx = d(x-1)$  ta có $I=\int  (x-1)^4dx =\int  (x-1)^4d(x-1) $
$I=1/5.(x-1)^5+C$


*Tính   $I=\int e^{3-2x}dx $     (TDBVP)
Thay đổi biến vi  phân  $ dx = -1/2d(3-2x)$  ta có $I=\int  e^{3-2x} dx =\int  -1/2 e^{3-2x}.d(3-2x) $
$I=-1/2.e^{3-2x}+C$


c. Một số công thức tích phân bất định phức tạp .



Ví dụ 6 . Tính các tích phân bất định sau

*Tính   $I=\int  \frac{dx}{sin(3x+2)} $     (TPBDPT)
Áp dụng công thức TPBDPT
$I= 1/3 [Ln|sin(3 x/2 + 1)| - Ln|cos(3 x/2 + 1)|] + C=1/3Ln|tan(3x/2+1)|+C$


*Tính   $I=\int  \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} $     (TPBDPT)
Áp dụng công thức TPBDPT
$I=Ln|\sqrt{x^2 + 1} + x| +C$
Xem   https://goo.gl/q1eMrd


*Tính   $I=\int  \sqrt{x^2-1} $     (TPBDPT)
Áp dụng công thức TPBDPT
$I=1/2.x .\sqrt{x^2 - 1} - 1/2 .Ln|\sqrt{x^2 - 1} + x| + C$
Xem   https://goo.gl/M7YdKS


16.2.2  Các phương pháp tính tích phân xác định   $\int_{a}^{b} f(x)dx$

a. Phương pháp đổi  biến số .


@ Tích phân đổi biến loại 1 . (DB1)
Ghi nhớ :
 " Cái gì đạo hàm gần giống bên ngoài thì đặt nó = u "
Đặt u = ruột , tính du = ... dx , đổi cận

Ví dụ 7.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int_{1}^{2}  (1-x)^4dx $     (DB1)
Viết lại  $I=\int_{1}^{2}  (x-1)^4dx $
Đặt   $ u = x-1 ; du =dx $  đổi cận  $x=1 \Rightarrow u = 0$ , $x=2 \Rightarrow u = 1$
$I= \int_{0}^{1}  u^4du = 1/5.u^5|_{0}^{1}=1/5$


*Tính   $I=\int_{0}^{1} e^{3-2x}dx $     (DB1)
Đặt   $ u = 3-2x ; du =-2dx ; dx = -1/2du $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u = 3$ , $x=1 \Rightarrow u = 1$
$I= \int_{3}^{1} -1/2 e^{u}du = -1/2. e^{u}|_{3}^{1}=1/2 e (e^2 - 1)≈8.6836$


*Tính   $I=\int_{\pi/6}^{\pi/2} cotxdx $     (DB1)
Viết lại $I=\int_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{cosx}{sinx}dx $
Đặt   $ u = sinx ; du =cosxdx $  đổi cận  $x= \pi/6 \Rightarrow u = sin(\pi/6)=1/2$ , $x=\pi/2 \Rightarrow u = sin(\pi/2)=1$
$I= \int_{1/2}^{1} \frac{1}{u} du = Ln|u||_{1/2}^{1}= Ln2 ≈0.69315$

*Tính   $I=\int_{0}^{4} x.\sqrt{x^2+9} dx $     (DB1)
Đặt   $ u = x^2+9 ; du =2xdx ; du/2=xdx$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u =9$ , $x=4 \Rightarrow u = 25$
$I= \int_{9}^{25} \sqrt{u}.1/2. du = 1/2.u^{3/2}.2/3|_{9}^{25}= 1/3 u^{3/2}|_{9}^{25}=  98/3≈32.667$


*Tính   $I=\int_{0}^{Ln2} \frac{e^x}{e^x+1} dx $     (DB1)
Đặt   $ u = e^x+1 ; du =e^xdx $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u =2$ , $x=Ln2 \Rightarrow u = 3$
$I= \int_{2}^{3} \frac{du}{u}= Ln|u| |_{2}^{3}=  Ln|3/2|$


*Tính   $I=\int_{0}^{\pi/2} sinx.\sqrt{1+cosx} dx $     (DB1)
Đặt   $ u = 1+cosx ; du =-sinxdx ; -du=sinxdx$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u =2$ , $x=\pi/2 \Rightarrow u = 1$
$I= \int_{2}^{1} \sqrt{u}.(- du) = -2/3 u^{3/2}|_{2}^{1}=2/3 (2 \sqrt{2} - 1)≈1.2190 $


@ Tích phân đổi biến loại 2 . (DB2)
Ghi nhớ :
 Cái gì đạo hàm khác bên ngoài thì đặt  u = toàn bộ "
Đặt u = vỏ & ruột , lũy thừa phá căn , giải ngược , vi phân 2 vế , tính dx = ... du , đổi cận

Ví dụ 8.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int_{0}^{1}  x. \sqrt{1-x} dx $     (DB2)
Đặt   $ u = \sqrt{1-x} ;u^2=1-x ; x=1-u^2 ; -2udu =dx $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u = 1$ , $x=1 \Rightarrow u = 0$
$I= \int_{1}^{0} (1-u^2).u(-2udu)  = \int_{0}^{1} (1-u^2).2u^2du = \int_{0}^{1} (2u^2-2u^4)du =  2/3.u^3-2/5u^5|_{0}^{1}== 4/15≈0.266667$


*Tính   $I=\int_{0}^{3}  \frac {x^3}{\sqrt{x^2+16}} dx $     (DB2)
Viết lại $I=\int_{0}^{3}  \frac {x^2}{\sqrt{x^2+16}} xdx $
Đặt   $ u = \sqrt{x^2+16} ;u^2=x^2+16 ; x^2=u^2 -16 ; udu =xdx $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u = 4$ , $x=3 \Rightarrow u = 5$
$I= \int_{4}^{5} \frac {u^2-16}{u}.udu)  = \int_{4}^{5} (u^2-16) du = 1/3u^3-16u||_{4}^{5} =  = 13/3≈4.3333$


*Tính   $I=\int_{0}^{\pi/2}  \frac{sin(x-\pi/2)Ln(1+sinx)}{1+sinx} dx $     (DB2)
Viết lại $I=\int_{0}^{\pi/2}  - \frac{ cosx.Ln(1+sinx)}{1+sinx} dx $
Đặt   $ u = Ln(1+sinx) ; e^u=1+sinx ; e^udu = cosxdx $  đổi cận  $x=0 \Rightarrow u = 0$ , $x=\pi/2 \Rightarrow u = Ln2$
$I= \int_{0}^{Ln2}  - \frac{u.e^u}{e^u}du  = \int_{0}^{Ln2} (-u) du = -u^2/2||_{0}^{Ln2}  = -1/2 Ln^2(2)≈-0.24023$


@ Tích phân đổi biến loại 3 . (DB3)
Ghi nhớ :
 " Dành cho các dạng hàm số vô tỷ hoặc hữu tỷ - lượng giác hóa "

Dạng $k^2-X^2$  đặt  $X= ksint$
Tính $dX=kcostdt$  , đổi cận

Dạng $k^2+X^2$  đặt  $X= ktant$
Tính $dX= \frac{k}{cos^2t}dt$  , đổi cận

Dạng $X^2-k^2$  đặt  $X= \frac{k}{cost}$
Tính $dX= \frac{ksint}{cos^2t}dt$  , đổi cận 


Ví dụ 9.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int_{0}^{2}  1/   \sqrt{4-x^2} dx $     (DB3)
Đặt   $ x =2sint  ; dx=2costdt$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow t = 0$ , $x=2 \Rightarrow t = \pi/2$
$I= \int_{0}^{\pi/2} 1/   \sqrt{4-4sin^2t} .2costdt  = \int_{0}^{pi/2} dt =  t|_{0}^{\pi/2}= π/2≈1.5708$


*Tính   $I=\int_{0}^{3/2}  1/  (9+4x^2) dx $     (DB3)
Đặt   $ x =3/2 tant  ; dx= 3/2 \frac{1}{cos^2t} dt$  đổi cận  $x=0 \Rightarrow t = 0$ , $x=3/2 \Rightarrow t = \pi/4$
$I= \int_{0}^{\pi/4}  \frac{1}{9+9tan^2t} . 3/2 \frac{1}{cos^2t} dt = 3/18  \int_{0}^{\pi/4}  dt =  t|_{0}^{\pi/4}= π/24≈0.13090 $
Xem   https://goo.gl/knxPgr


*Tính   $I=\int_{1}^{2} 1/ (x. \sqrt{x^2-1}) dx $     (DB3)
Đặt   $ x =1/cost  ; dx= \frac{sint}{cos^2t} dt$  đổi cận  $x=1 \Rightarrow t = 0$ , $x=2 \Rightarrow t = \pi/3$
$I= \int_{0}^{\pi/3}  \frac{1}{1/cost . \sqrt{1/cos^2t-1}} .\frac{sint}{cos^2t} dt =\int_{0}^{\pi/3}  dt= t|_{0}^{\pi/3}= \pi/3 ≈ 1.0472$
Xem   https://goo.gl/knxPgr


b. Phương pháp tích phân từng phần .


@ Áp dụng cho tích phân có đuôi lượng giác  $sinkxdx , coskxdx$
Ghi nhớ :
" U đầu , dV đuôi "

Đặt   $u =...  (x)  \Rightarrow du = ...dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = sinkxdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int sinkx dx = -1/k. coskx$  (dv biểu thức chứa hàm lượng giác .dx )
Hoặc
$dv = coskxdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int coskx dx = 1/k. sinkx$
Khi đó
$I= uv - \int vdu$


Ví dụ 10.  Tính các tích phân xác định sau

*Tính   $I=\int  x. cosx dx $     (TP)
Đặt   $u =x  \Rightarrow du = dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = cosxdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int cosx dx = sinx$  (dv biểu thức chứa $cosx.dx$ )
Khi đó
$I= uv - \int vdu = xsinx - \int sinxdx= xsinx + cosx +C$
 Dùng  widget  G12.II.1 TICH PHAN BAT DINH - NGUYEN HAM   https://goo.gl/f2Geaw




@ Áp dụng cho tích phân có đuôi hàm mũ  $e^{kx}dx , a^{kx}dx$
Ghi nhớ :
" U đầu , dV đuôi "

Đặt   $u =...  (x)  \Rightarrow du = ...dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = e^{kx}dx  \Rightarrow  v= \int dv = \int  e^{kx} dx = 1/k. e^{kx}$  (dv biểu thức chứa hàm mũ .dx )
Hoặc
$dv = a^{kx}dx  \Rightarrow  v= \int dv = \int a^{kx} dx =  \frac{a^{kx}}{klna}$
Khi đó
$I= uv - \int vdu$


*Tính   $I=\int  x. e^x dx $     (TP)
Đặt   $u =x  \Rightarrow du = dx$      ( u biểu thức chứa x )
$dv = e^xdx  \Rightarrow  v= \int dv = \int e^x dx = e^x$  (dv biểu thức chứa  $e^x.dx$ )
Khi đó
$I= uv - \int vdu = xe^x - \int e^xdx= xe^x - e^x +C$



@ Áp dụng cho tích phân có đuôi hàm logarith  $lnxdx , log_axdx$
Ghi nhớ :
" U log , dV  còn lại "

Đặt   $u =lnx  \Rightarrow du = 1/x dx$      ( u biểu thức chứa hàm log )
$dv = ... dx  \Rightarrow  v= \int dv = \int ... dx $  (dv biểu thức còn lại chứa dx )
Hoặc
$u = log_ax  \Rightarrow  du= \frac{1}{xlna} dx$
Khi đó
$I= uv - \int vdu$


*Tính   $I=\int  lnx dx $     (TP)
Đặt   $u =lnx  \Rightarrow du = 1/x dx$      ( u biểu thức chứa lnx )
$dv = dx  \Rightarrow  v= \int dv = \int dx = x$  (dv biểu thức còn lại chứa dx )
Khi đó
$I= uv - \int vdu = xlnx - \int x.1/x dx= xlnx -  x +C$








Trần hồng Cơ
Ngày 15/11/2016







 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Even in darkness light dawns for the upright, for those who are gracious and compassionate and righteous. 

Psalm 112:4 

 Mục-đích của sự răn-bảo, ấy là sự yêu-thương, bởi lòng tinh-sạch, lương-tâm tốt và đức-tin thật mà sanh ra.

I Ti-mô-thê 1:5


Thứ Bảy, 24 tháng 12, 2016

CÂU CHUYỆN GIÁNG SINH 2016 */* .



CÂU  CHUYỆN GIÁNG SINH 2016  */* .



Kết quả hình ảnh cho christmas gifs



Hình ảnh có liên quan






















SỰ GIÁNG SANH BỞI NỮ ĐỒNG TRINH CỦA ĐẤNG CHRIST.

LỜI GIỚI THIỆU:
Trong bài học trước chúng ta học biết Chúa Jêsus là thần. Ngài là con Đức Chúa Trời. Trong câu chuyện giáng sinh, chúng ta học biết Đức Chúa Jêsus đã trở thành người- mặc lấy hình thể loài người. (Phi 2:5-8). Chúng ta tin rằng vì cớ tội lỗi của A-đam mọi người sanh ra sau đó đều mang bản tính tội lỗi của tổ tông truyền lại. Vậy làm thế nào mà Chúa Jêsus sinh ra mà không phải mang bản tính tội lỗi.
Thi 51:5 "Kìa tôi sinh ra trong sự gian ác..."
Thi 58:3 "Kẻ ác bị sai lầm từ trong tử cung, chúng nó nói dối lầm lạc từ khi mới lọt lòng mẹ "
Nếu Đấng Christ thừa hưởng bản tính tội lỗi thì Ngài là tội nhân và chết mất và tội lỗi mình, cho dù Đấng Christ sống một đời vô tội Ngài cũng không thể cứu rỗi được một linh hồn nào. Nếu Đấng Christ được sinh ra mà không mang bản tánh tội lỗi, thì làm thế nào có được như thế?
Đức Chúa Cha đã giải quyết nan đề này bằng việc mà ta gọi là sự Giáng sinh bởi nữ đồng trinh. Sự mầu nhiệm nầy cần được các cơ đốc nhân tin tưởng, tôn kính và tiếp nhận. Câu trả lời hợp lý duy nhất với nan đề này là bản tính tội lỗi được di truyền từ người Cha sang người con chứ không phải từ người mẹ sang người con. Chúa Jêsus không có cha là người vì Đức Thánh Linh chính là Cha Ngài. Bà Ma-ri là mẹ nhưng không truyền bản tính tội lỗi cho Hài nhi Jêsus.
Thật lạ lùng thay Đức Chúa Trời chúng ta là Đấng đã giải quyết nan đề nầy, ngõ hầu chúng ta có được Đấng Cứu thế có khả năng thực sự cứu chuộc chúng ta khỏi tội lỗi qua sự Ngài hy sinh đền tội trên thập tự giá.
I. CỰU ƯỚC DỰ BÁO VỀ SỰ GIÁNG SINH BỞI NỮ ĐỒNG TRINH:
- Sáng 3:15 là lời hứa đầu tiên về Đấng cứu chuộc ban cho loài người sau khi tổ phụ chúng ta sa ngã.
- Sáng 12:1-3 Đức Chúa Trời kêu gọi Áp-ra-ham là cha của tuyển dân Y-sơ-ra-ên.
-Sáng 49:10 Phước hạnh nầy được ban cho qua chi phái Giu-đa.
- 2 Sa-mu-ên 7:8-16 Đấng cứu thế phải sanh ra trong dòng vua Đa-vít, là "con vua Đa-vít "
- Ê-sai 7:14 "Nầy một nữ đồng trinh sẽ chịu thai và sanh một con trai, và người ta sẽ đặt tên con trai đó là Em-ma-nu-ên "Ma-thi-ơ 1:23.
- Ê-sai 9:6.
II. LỜI TIÊN NẦY ỨNG NGHIỆM TRONG LỊCH SỬ:
Ma-thi-ơ 1:18-25 tường thuật chuyện giáng sinh bời trinh nữ giống như Lu-ca 2:4-7, Ma-ri được hứa gả cho Giô-sép nhưng chưa thành hôn. Đấng Christ được sinh ra bởi một trinh nữ nhưng là một trinh nữ đã hứa gả ngõ hầu nàng có thể được thành hôn sau này để bảo vệ thanh danh của nàng.
Sự thọ thai của Ma-ri là hoàn toàn từ Đức thánh Linh chứ không do Giô-xép hoặc bất cứ ai khác. Đức Chúa Trời bảo đảm điều này để ban cho chúng ta một Đấng cứu thế toàn vẹn. Chúa đã khuyến khích Giô-xép cưới Ma-ri làm vợ để bảo vệ nàng khỏi sự nghiêm khắc của luật pháp (Lê-vi ký 20:10). Ma-thi-ơ 1:25 kể lại cho chúng ta biết rằng dầu Giô-xép và Ma-ri cưới nhau rồi nhưng họ không hề ăn ở với nhau như vợ chồng cho đến khi sinh Chúa Jêsus. Đức Chúa Trời quan tâm đặc biệt đó đưa câu Kinh thánh nầy với đầy chi tiết cần thiết, đẻ tỏ cho chúng ta biết rằng Đấng cứu thế không bị ô nhiễm bởi một người cha là người trần gian.
III. KINH THÁNH DẠY VỀ SỰ GIÁNG SINH BỞI TRINH NỮ:
Một số người cố gắng chủ trương rằng Phao-lô không dạy về việc Đấng Christ giáng sinh bởi trinh nữ. Đúng ra, Phao-lô không dùng lời diễn đạt như từ liệu nầy, nhưng Phao-lô đã biết về Đấng Christ phục sanh trong I Cô-rinh-tô 15:8 và thừa nhận Ngài là Đấng làm ứng nghiệm Ê-sai 7:14. Phao-lô đã viết trong Cô-lô-se 1:15-17 trình bày một bức tranh về sự cao cả của Chúa Jêsus Christ. Tiên tri Ê-sai đã tiên tri về việc Đấng Christ Giáng sinh bởi nữ đồng trinh từ 740 năm,trước khi việc nầy xảy ra. Ma-thi-ơ đã chép rõ ràng rằng Chúa Jêsus được sinh bởi nữ đồng trinh, thọ thai bởi Đức Thánh Linh Ma-thi-ơ 1:18,20,23. Lu-ca một bác sĩ y khoa, rất quan tâm đến hiện tượng nầy, mọi trẻ em đều có cha, ai là cha của hài nhi Jêsus?
Nếu cha của Ngài là người thường thì Ngài mang bản tính tội lỗi và chúng ta vẫn còn mang tội lỗi.
Lu-ca giải thích rất cẩn thận về sự thọ thai phi thường nầy trong Lu-ca 1:27,31,34,35.
Lu-ca 1:34 Ma-ri hỏi thiên sứ câu hỏi đầy tình cảm, làm thế nào tôi có con được khi tôi chưa lấy chồng? Điều nầy là lời tự thú của Ma-ri chưa hề chăn gối và nàng vẫn còn đồng trinh.
Lu-ca 1:35 Thiên sứ cẩn thận giải thích rằng Đức Thánh Linh sẽ là cha của Hài nhi Jêsus.
IV. MỤC ĐÍCH SỰ GIÁNG SINH BỞI TRINH NỮ:
1. Để giãi bày Cha. Giăng 1:18 Chúa Jêsus đến để giãi bày Cha cho chúng ta.
2. Để nối nhịp cầu đứt đoạn giữa Đức Chúa Trời và loài người. 1 Ti-mô-thê 2:5.
3. Để cứu vớt nhân loại Hê-bơ-rơ 2:14,16, đây là mục đích chính đưa Jêsus Giáng thế.
4. Để giải thoát toàn bộ công trình sáng tạo. Rô-ma 8:19-22 V.TẦM QUAN TRỌNG CỦA
V. TÍN LÝ GIÁNG SINH BỞI TRINH NỮ:
Ngày nay, các nhà thần học Tân phái và các nhà vô tín tấn công Giáo lý này, cũng như họ tấn công Giáo lý về sự hư hoại hoàn toàn của nhân loại,về Thần tánh Chúa Jêsus và về sự hà hơi của Thánh Kinh.
Nếu loài người hoàn toàn hư hoại thì họ mới cần một Đấng cứu thế để giải cứu họ. Đấng giải cứu này phải là người Thánh và có khả năng Chúa Jêsus chính là Chúa cứu thế duy nhất của nhân loại. Phương cách duy nhất để Chúa Jêsus trở thành người mà không mang bản tánh tội lỗi, ấy là Ngài phải được sanh ra bởi trinh nữ. Một trinh nữ là một thiếu nữ chưa hề ăn ở với một người đàn ông nào. Ma-ri vẫn là một trinh nữ cho đến sau khi sanh Chúa Jêsus. Sau đó, Ma-ri và Giô-xép đã sống với nhau như chồng và vợ.
Sự cứu rỗi gắn chặt với giáo lý này. Nếu Chúa Jêsus không sanh ra bởi trinh nữ, Ngài vẫn là tội nhân như chúng ta và không thể cứu chúng ta ra khỏi tội, chúng ta vẫn hư mất.
1. Đây là lẽ thật không thể chối bỏ. Đây là điều Kinh thánh dạy cách rõ ràng. Chúng ta tin nhận sự hà hơi của Thánh kinh và chúng ta tin rằng sự dạy dỗ này là tuyệt đối thật.
2. Đây là chân lý không thể thay đổi. Giáo lý này đứng vững với Thánh Kinh và không thay đổi theo thời gian,theo tư tưởng hay theo lý thuyết của loài người (Hê-bơ-rơ 13:8).
3. Đây là một lẽ thật cần kíp. Giáo lý này thiết cho kế hoạch cứu rỗi. Một Cứu Chúa không sinh ra bởi trinh nữ không thể cứu được một linh hồn nào.
4. Đây là một Lẽ thật không thể nhận biết hết được. Đây là một mầu nhiệm kín dấu trong Đức Chúa Trời. Có thể nói sự sống và sự sinh sản cũng là một sự mầu nhiệm. Làm thế nào một cây truyền sự sống vào hạt của nó ngày nay vẫn còn là sự mầu nhiệm đối với chúng ta. I Cô-rinh-tô 4:1 là Cơ đốc nhân chúng ta là những người quản lý "các sự mầu nhiệm của Đức Chúa Trời."
5. Đây là Lẽ thật vô điều kiện. Tôi tin rằng Lẽ thật phải được mỗi chúng ta thừa nhận vô điều kiện. Rô-ma 10:9, chúng ta phải thừa nhận Jêsus là Chúa, và nếu Ngài không sinh bởi trinh nữ Ngài không thể là Chúa Cứu thế vì Ngài phá bỏ lời tiên tri trong Kinh thánh.
6. Đây là Lẽ thật hữu ích, vì Đức Chúa Trời toàn năng bây giờ đã nhập thể với đủ tư cách một con người, vả lại là người vô tội, không mang bản tính tội lỗi, một người có thể cứu vớt người khác. Em-ma-nu-ên nghĩa là Đức Chúa Trời ở cùng chúng ta. Điều này đã thành hiện thực vì Đức Chúa Trời đã đến sống trên quả đất với chúng ta.
7. Đây là Lẽ thật không thể loại bỏ được, vì hằng năm chúng ta đều nhắc đến qua Lễ Giáng sinh. Chúng ta phải không ngừng dạy dỗ Lẽ thật này cho thế giới ngày nay.
VI. Ý NGHĨA SỰ GIÁNG SINH BỞI TRINH NỮ :
Chúa Jêsus Christ không phải là một con ma, Ngài là người thật bằng xương bằng thịt. Phi 2:7 Ngài trở thành anh cả chúng ta. Chúa Jêsus cũng là Đức Chúa Trời vì Ngài đầu thai bởi Thánh Linh. Jêsus Christ là vô tội vì Ngài sanh bởi trinh nữ không mang bản tính sa ngã hư hoại của con người. Ngài không nhiễm nguyên tội.
VII. NHỮNG SỰ CHỐNG ĐỐI GIÁO LÝ NẦY :
1. Giáo lý này chỉ tìm thấy được trong vài câu Kinh thánh. Thật ra một câu Kinh thánh xác định cũng đủ, nhưng ở đây cả Ê-sai, Ma-thi-ơ và Lu-ca đều xác quyết.
2. Chính Chúa Jêsus không hề tự tuyên bố Ngài sanh ra bởi trinh nữ. Đúng ra, Chúa ngụ ý trong Giăng 6:51 "Ta là bánh từ trời xuống."
3. Các khoa học gia không chấp nhận việc này vì nó ngược lại với quy luật sinh học. Chúa Jêsus không đến bằng sự thụ thai bình thường mà bằng một phép lạ.
4. Những người khác chống lại giáo lý này vì cho rằng nó mầu nhiệm quá. Thật ra, sự sống là một phép lạ, kỳ diệu mầu nhiệm.
5. Các thần học gia hiện đại không thừa nhận tín lý này. Điều này không làm thay đổi sự thật vì Kinh thánh đã dạy đến bằng lời tiên tri và bằng lịch sử có thật.
KẾT LUẬN:
Chúng ta tạ ơn Đức Chúa Trời ví Ngài đã tìm cách đưa Đấng Cứu thế vào thế gian mà không nhiễm nguyên tội tổ tông. Hãy dạy giáo lý mãi mỗi lần đến lễ Giáng sinh.
Câu hỏi ôn:
1. Tại sao Chúa Jêsus không nhiễm bản tính tội lỗi? (Thi 51:5).
2. Lời hứa đầu tiên về Chúa Cứu thế trong Kinh thánh được chép ở đâu?
3. Lời tiên tri Cựu ước về sự sanh bởi trinh nữ ở đâu?
4. Lời tiên tri này ứng nghiệm ra sao?
5. Bốn mục đích sự sanh bởi trinh nữ là gì?
6. Hậu quả việc từ khước thần tánh Đấng Christ và sự giáng sinh bởi trinh nữ của Ngài?
7. Tại sao mầu nhiệm này không thể hiểu cách trọn vẹn?
8. Sợi dây nối liền sự sống động giữa thần tánh Đấng Christ và sự ra đời bời trinh nữ của Ngài là gì?
9. Khía cạnh thực tế của giáo lý này đối với chúng ta ngày nay ra sao?
10. Tại sao các nhà tân phái cố chối bỏ giáo lý này?
oooOoooOoooOoooOooo













Hình ảnh có liên quanHình ảnh có liên quan




















 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Even in darkness light dawns for the upright, for those who are gracious and compassionate and righteous. Psalm 112:4 

 Mục-đích của sự răn-bảo, ấy là sự yêu-thương, bởi lòng tinh-sạch, lương-tâm tốt và đức-tin thật mà sanh ra. I Ti-mô-thê 1:5





Thứ Ba, 22 tháng 11, 2016

GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN . Phần 16a . NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN




GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG BẰNG CÁC CÔNG CỤ TRỰC TUYẾN .

Phần 16a . NGUYÊN HÀM  - TÍCH PHÂN.   

DANH MỤC CÔNG CỤ GIẢI TOÁN TRỰC TUYẾN  MATHEMATICA  WOLFRAM | ALPHA .

Giới thiệu .

Bạn đọc truy cập vào đường dẫn  http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen  để sử dụng các widgets giải toán trực tuyến W|A Mathematica theo chỉ mục trong danh sách dưới đây .

Những widgets này đã được tác giả sắp xếp theo từng môn học và cấp lớp theo ký hiệu như sau :

D : Đại số . Ví dụ  D8.1 widget dùng cho Đại số lớp 8 , mục 1 - Khai triển , rút gọn biểu thức đại số .
H : Hình học . Ví dụ  H12.3  widget dùng cho Hình học lớp 12 , mục 3 - Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian .
G : Giải tích . Ví dụ : G11.7  widget dùng cho Giải tích lớp 11 , mục 7 - Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
GI : Giải tích cao cấp I . Ví dụ GI.15  widget dùng cho Giải tích cao cấp I , mục 15 - Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GII : Giải tích cao cấp II .


++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


 ĐẠI SỐ 8

D8.1  Khai triển , rút gọn biểu thức đại số
D8.2  Rút gọn phân thức
D8.3  Phân tích thừa số
D8.4  Nhân 2 đa thức
D8.5  Khai triển tích số ( có thể dùng để khai triển Newton )
D8.6  Phân tích thừa số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 10

D10.1 Giải phương trình nguyên Diophante
D10.2 Giải phương trình tuyệt đối
D10.3 Giải phương trình chứa tham số
D10.4  Giải phương trình đại số
D10.5  Giải phương trình từng bước
D10.6  Giải bất phương trình minh hoạ bằng đồ thị

D10.8  Tính giá trị biểu thức hàm số
D10.9  Giải bất phương trình đại số và minh hoạ bằng đồ thị
D10.10  Giải bất phương trình đại số - tìm miền nghiệm
D10.11  Giải phương trình đại số
D10.12  Giải phương trình vô tỷ
D10.13  Giải phương trình minh hoạ từng bước
D10.14  Giải phương trình dạng hàm ẩn
D10.15  Giải hệ thống phương trình tuyến tính , phi tuyến
D10.16  Giải hệ phương trình
D10.17  Vẽ miền nghiệm của bất phương trình đại số
D10.19  Tối ưu hoá hàm 2 biến với các ràng buộc
D10.20  Tìm giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành Ox , trục tung Oy

HÌNH HỌC 10

H10.1  Tính diện tích tam giác trong hệ toạ độ Oxy
H10.3  Khảo sát conic ( đường tròn , Ellipse , Parabola , Hyperbola )
H10.2  Tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng trong Oxy



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 11

D11.1 Thuật chia Euclide dùng cho số và đa thức  ( HORNER )
D11.2  Tính tổng nghịch đảo của n số tự nhiên




D11.6  Khai triển nhị thức Newton


GIẢI TÍCH 11


G11.1  Tính gíá trị một chuỗi số  theo n
G11.2  Đa thức truy hồi
G11.3  Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số
G11.4  Tính giới hạn của chuỗi số khi  $n \rightarrow  \infty$
G11.5  Tìm hàm số ngược của hàm số cho trước
G11.6  Tìm đạo hàm của hàm số hợp - giải thích
G11.7   Tính đạo hàm cấp cao của hàm số
G11.8   Tìm giới hạn của hàm số
G11.9   Tìm giới hạn của hàm số
G11.10  Tính đạo hàm hàm số có dạng U/V
G11.11  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước
G11.12  Tìm đạo hàm của hàm số cho trước

G11+12.1   Tính đạo hàm ,tích phân , giới hạn , vẽ đồ thị


LƯỢNG GIÁC 11

L11.1   Giải phương trình lượng giác
L11.2   Giải phương trình lượng giác trên một đoạn
L11.3   Tìm chu kỳ của hàm số tuần hoàn
L11.4   Khai triển công thức lượng giác



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

ĐẠI SỐ 12

D12.1   Cấu trúc của số phức
D12.1   Giải phương trình mũ
D12.3   Giải  phương trình chứa tham số
D12.4   Giải  phương trình  bất kỳ  ( Bậc 2 , 3 , ... , mũ  , log , căn thức )
D12.5   Giải phương trình mũ



GIẢI TÍCH 12


G12.1  Vẽ đồ thị biểu diễn phương trình
G12.2    Khảo sát hàm số hữu tỷ
G12.3   Vẽ đồ thị trong toạ độ cực (Polar)
G12.4    Tìm cực trị của hàm số
G12.5    Vẽ đồ thị hàm số 2D
G12.6   Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số
G12.7    Vẽ nhiều hàm số - Basic plot. To plot two or more functions, enter {f1(x), f2(x),...}
G12.8    Tìm điểm uốn của hàm số cho trước
G12.9    Tìm nghiệm của các phương trình  y = 0 , y ' = 0 ,  y " = 0
G12.10    Tính tích phân bất định
G12.11    Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.12   Tính tích phân bất định minh hoạ từng bước
G12.13   Tìm đường tiệm cận của hàm số
G12.14   Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.15  Tìm giao điểm của hàm số đa thức và trục hoành Ox - Vẽ đồ thị .
G12.16    Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi (C1) , (C2)
G12.17    Vẽ đồ thị hàm số ( có đường tiệm cận )
G12.18   Vẽ đồ thị 2D , 3D
G12.19   Tìm hoành độ giao điểm giữa 2 đường cong (C1) , (C2)
G12.20    Vẽ đường cong tham số 3D
G12.21    Tính diện tich mặt tròn xoay
G12.22    Tích thể tích vật tròn xoay  (C) , trục  Ox , x =a , x= b
G12.23    Thể tích vật tròn xoay
G12.24    Tích thể tích vật tròn xoay (C1) , (C2) , trục OX , x = a , x = b
G12.25    Khảo sát hàm số đơn giản
G12.26    Tìm cực trị của hàm số
G12.27    Tìm nguyên hàm của hàm số
G12.28    Tính tích phân xác định


HÌNH HỌC 12


H12.1  Tính khoảng cách 2 điểm trong 2D , 3D
H12.2   Viết phương trình mặt phẳng qua 3 điểm trong không gian
H12.3  Viết phương trình tham số của đường thẳng trong không gian
H12.4   Tìm công thức thể tích , diện tích hình không gian
H12.5   Vẽ đồ thị 2D , mặt 3D
H12.6    Tích có hướng 2 vector



++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

GIẢI TÍCH CAO CẤP

GI.1    Vẽ đồ thị , mặt 3D
GI.2   Vẽ đồ thị , mặt  3D
GI.3    Tích phân 2 lớp
GI.5    Tích phân kép
GI.6    Tích phân bội 3
GI.7    Tích phân bội 3
GI.8    Tích phân suy rộng
GI.9    Chuỗi và dãy số
GI.10    Các bài toán cơ bản trong vi  tích phân
GI.11     Vẽ hàm từng khúc ( piecewise ) - dùng để xét tính liên tục của hàm số
GI.12    Tính đạo hàm và tích phân một hàm số cho trước
GI.13     Vẽ đồ thị hàm số trong hệ toạ độ cực
GI.14     Tính đạo hàm riêng
GI.15    Khai triển hàm số bằng đa thức TAYLOR
GI.16    Tính tổng chuỗi số  n = 1...$\infty$
GI.17     Vẽ  đồ thị  3 hàm số

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Bài viết sau đây mô tả các khái niệm toán học và hướng dẫn tính toán chi tiết bằng công cụ trực tuyến , bạn đọc có thể tham khảo những nội dung chính yếu được đề cập đến trong giáo trình toán phổ thông  cùng với các ví dụ minh họa  .

Một số website hữu ích phục vụ cho việc giảng dạy và học tập môn toán :

http://quickmath.com/
http://analyzemath.com/
http://www.intmath.com/
http://www.mathportal.org
https://www.mathway.com/
https://www.symbolab.com/
http://www.graphsketch.com/
http://www.meta-calculator.com/online/?home
http://cohtrantmed.yolasite.com/widgets-tructuyen
https://www.geekandnerd.org/edu-courses/

16.  NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN . Các khái niệm .

16.1 Khái niệm  .    

16.1.1 Nguyên hàm  $Y =F(x)$
  
a. Bài toán nguyên hàm .

Quá trình tìm hàm số $Y =F(x)$  thỏa mãn đẳng thức  $F '(x) =f (x)$  gọi là tìm nguyên hàm của hàm số $y=f(x)$ .

Hàm số $Y =F(x)$  gọi là nguyên hàm của $y=f(x)$




Ví dụ 1. 

Hàm độ dốc của đường cong  $(C)  y = f(x) $  tại điểm $M(-1,2)$  là $y'= f '(x)= 2x+4$ . Vậy biểu thức hàm số $y=f(x)$ là gì ?

Lời giải

Nguyên hàm $Y=F(x)$  có bậc lớn hơn bậc của  $f '(x)= 2x+4$ nên sẽ có dạng $Y=F(x)= Ax^2+Bx+C$
Tại điểm $M(-1,2)$   thỏa  $2=A-B+C$  (1)
Vì $F'(x)=2Ax+B=2x+4$  nên  $A=1 , B =4$ (2)
Từ (1) (2) ta có $C=5$
Vậy nguyên hàm $Y=F(x) = x^2+4x+5$  là hàm số có hàm độ dốc là $y'= f '(x)= 2x+4$ tại  $M(-1,2)$

Kiểm tra
Xem   https://goo.gl/9JxvcM


Ví dụ 2. 

Hàm biến thiên nhiệt độ của khí Oxy trong môi trường ấn định là   $ T' = dT/dt = 75 e^{-3t} $  trong đó t là thời gian tính bằng phút . Vậy biểu thức hàm nhiệt độ $T=T(t)$ là gì nếu nhiệt độ ở thời điểm ban đầu là  $100^{0}C$ ?

Lời giải

Nguyên hàm $T=T(t)$  có biểu thức tương tự như của  $T' = 75 e^{-3t}$ nên sẽ có dạng $T(t)= Ae^{-3t}+B$
Tại điểm $M(0,100)$   thỏa  $100=A+B$  (3)
Đạo hàm  $T' = -3A e^{-3t}=75 e^{-3t}$ nên $A=-25$  (4)
Từ (3) (4) ta có $B=125$
Vậy nguyên hàm $T(t) =-25e^{-3t}+125$  là hàm số có biến thiên nhiệt độ là  $T' =75 e^{-3t}$  tại  $M(0,100)$

Kiểm tra
Xem   https://goo.gl/9GUBgq



b. Một số tính chất của nguyên hàm 




16.1.2  Tích phân    $\int_{a}^{b} f(x) dx$

  a. Định nghĩa tích phân .




+++ Ký hiệu
$\int$ chỉ về tích phân bất định (hay  nguyên hàm).
Biểu thức $f(x)$ dưới dấu tích phân gọi là hàm bị tích .
$dx$  biến vi phân .


 b .  Công thức tích phân bất định cơ bản .



 Xem  https://goo.gl/C23kqJ


c . Một số  ví dụ tích phân bất định .

Ví dụ 3. 
Tính các tích phân bất định sau


Lời giải
* Dùng widget    G12.II.1 TICH PHAN BAT DINH - NGUYEN HAM     https://goo.gl/fQCTDj

a
.

b. 

c.


d. 




Bạn cũng có thể dùng Symbolab  (https://www.symbolab.com )   hoăc  Mathway   (https://www.mathway.com/Calculus)  để tính các tích phân bất định , tuy nhiên nên kiểm tra lại sau khi có kết quả vì các bảng tính này có thể chứa nhiều lỗi và chưa được tác giả bài viết này kiểm định .




Áp dụng cho câu e. g. và h.

e. Mathway cho lời giải chi tiết



Xem  Symbolab   https://goo.gl/7NFCx1




g.













h. 


Lời giải chi tiết của Mathway


Lời giải chi tiết của Symbolab   
xem   https://goo.gl/9nGftY


Lời giải theo W|A




Ví dụ 4.

Tính các tích phân sau 



Lời giải 

Dùng widget   G12.II.1 TICH PHAN XAC DINH    https://goo.gl/By2XNz

a.

  

b.
c.

d.
e.

g.



d. Một số tính chất của tích phân .







Trần hồng Cơ
Ngày 15/11/2016







 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Even in darkness light dawns for the upright, for those who are gracious and compassionate and righteous. 

Psalm 112:4 

 Mục-đích của sự răn-bảo, ấy là sự yêu-thương, bởi lòng tinh-sạch, lương-tâm tốt và đức-tin thật mà sanh ra.

I Ti-mô-thê 1:5

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Giới thiệu bản thân

Ảnh của Tôi


Các chuyên đề ứng dụng .

1. Phương trình vi phân  
2. Toán đơn giản - College Algebra 
3. Toán thực hành - Practical Mathematics 
4. Vật lý tổng quan ( đang viết )
5. Phương trình tích phân 
( đang chuẩn bị ) 

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran