Giải toán trực tuyến W | A




Vẽ đồ thị trong Oxyz plot3D(f(x,y),x=..,y=..)
Vẽ đồ thị trong Oxy plot(f(x),x=..,y=..)
Đạo hàm derivative(f(x))
Tích phân Integrate(f(x))


Giải toán trực tuyến W|A

MW

Thứ Sáu, 9 tháng 5, 2014

KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - Phần 4 . Co - Eq (11-21)


KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - 
Phần 4 . Co - Eq (11-21) 






Lời nói đầu .


 Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG "  được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi  cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .

Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :

Phần 3 . http://cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3.

Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong


Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online)  hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh   . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .

Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .


Trần hồng Cơ 
Ngày 08 /05/ 2014 .





-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Xin chào các bạn , trong bài viết trước chúng ta đã thực hành đồ họa với các trình ứng dụng ( như GP ,GC , GX , wxM và MapleV)  và các website trực tuyến ( WA , DE , SMS , FM , MT và FP ) bằng những thao tác nhập liệu khá đơn giản .

 Triết gia kiêm toán học gia R. Descartes đã viết  : " Làm việc gì bao giờ cũng đi từ dễ đến khó. Từ đơn giản đến phức tạp " . Mọi người chúng ta ai cũng biết rằng thực hành luôn đóng vai trò chủ yếu trong  tư duy lý luận, phải xem đó là phép thử của quá trình nhận thức . Việc thực hành cũng vậy , chúng ta sẽ cùng nhau đi từ cơ bản đến nâng cao , từ đơn giản đến phức tạp .

Mục tiêu chính của tác giả trong bài viết này vẫn là khảo sát đồ họa , tuy nhiên ngoài những lệnh cơ bản dành cho việc nhập liệu  là một số khái niệm bổ sung về các đường cong 2D .
- Dành cho bạn đọc muốn tìm hiểu sâu : Để nghiên cứu chi tiết các tính chất của đường cong các bạn download những tài liệu , hình ảnh minh họa từ mục lưu trữ ở phần cuối mỗi tiểu mục .



I . Vẽ đồ thị các đường cong từ Co - Eq  [ 11 - 21 ]  bằng trình ứng dụng .
1.1   Conchoid (đường vỏ sò Conchoid)  [11]






 A . Khái niệm .

Đường vỏ sò Conchoid Nicomedes và có nhiều ứng dụng vào việc giải quyết các bài toán về nhân đôi khối lập phương và chia một góc làm 3 phần.
Bài toán chia 3 một góc được giải như sau :
Dựng  $ \Delta IHO$  vuông ở H với góc $\angle OIH  = 3 \alpha$ . Từ I vẽ đường tròn (C) tâm I cắt tia bán kính OI tại M . Từ M ta dựng điểm N trên (C) với  $\frown MN = 4 \alpha$ . Tia ON cắt tia HI tại J . Khi đó góc $\angle NIJ =\angle  NJI = \alpha$ .
Chọn điểm O cố định và I chạy trên HJ , quỹ tích các điểm M và N là đường conchoid Nicomedes

Conchoid có x = b là một tiệm cận đứng và diện tích giới hạn bởi nhánh và tiệm cận là vô hạn.

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a + b.secθ$

Với  $0<b/a<1$
+Chiều dài cung
+Độ cong
$C(\theta)= \frac{a(a+3b.sec\theta-2b.sec^3\theta)}{(a^2+2ab.sec\theta+b^2sec^4\theta)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích
$S=b\sqrt{a^2-b^2}-2ab.ln(a-\sqrt{a^2-b^2})+a^2arccos(b/a)$

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/frDBFJ9jMaA

 B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x − b)^2(x^2 + y^2) = a^2x^2$
(x − b)^2*(x^2 + y^2) = a^2*x^2

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a + b.secθ$
r = a + b.sec(θ)

Chọn  a = 2 ; b = 1
Khi đó
 $(x − 1)^2(x^2 + y^2) = 4x^2$
(x − 1)^2*(x^2 + y^2) = 4*x^2

hoặc
$r = 2 + secθ$
r = 2+ sec(θ)

Dùng GP với nhập liệu  r = 2+ sec(t)


Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/x4gydGX0RCfQg

1.2   Conchoid of de Sluze (đường vỏ sò Conchoid Sluze)  [12]



A. Khái niệm .
Đường cong Conchoid Sluze trong hệ tọa độ Descartes có dạng
$a(x-a)(x^2+y^2)=-k^2x^2$

+Trong tọa độ cực
$a(rcosθ - a) = -k^2cos^2θ $

bằng phép đối xứng trục thay x = - x khi đó
 $a(-x-a)(x^2+y^2)=-k^2x^2$
hay
$a(x+a)(x^2+y^2)=k^2x^2$   (1)

+Trong hệ tọa độ cực
$a(-rcosθ - a) = -k^2cos^2θ$
hay
$a(a+rcosθ ) = k^2cos^2θ$

Từ (1) ta chọn  $a = -1 , b = -k^2$  khi đó  (1) thành  $(x-1)(x^2+y^2)=b.x^2$

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x=cost(b.cost+sect)$
$x=sint(b.cost+sect)$

Với  $b < -1$  và  $t  \in [-arcsec( \sqrt{-b}) , arcsec( \sqrt{-b})]$
+Độ dài cung
+Độ cong $C(t) = \frac{2b(b+4-3sec^2t)}{[b^2+4b-2b.sec^2t+sec^4t]^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích vòng loop     $S_{loop}=1/2.[(2-b)\sqrt{(-1-b)}+b(b+4)arcsec(\sqrt{-b})]$



Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/k1UUlG2gjrs

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
 $a.(x + a)(x^2 + y^2) = k^2x^2$
a*(x + a)*(x^2 + y^2) = k^2*x^2

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$a.(a + r.cosθ) = k^2.cos^2θ$
a*(a + r*cos(θ)) = k^2*cos(θ)^2

Chọn  a = 2 ; k = 3
Khi đó
 $2.(x + 2)(x^2 + y^2) = 9x^2$
2*(x + 2)*(x^2 + y^2) = 3^2*x^2

hoặc
$2.(2 + r.cosθ) = 9.cos^2θ$
2*(2 + r*cos(θ)) = 9*cos(θ)^2
giải theo r , ta có  r  =  (9*cos(θ)^2 /2 - 2)/cos(θ)

Dùng GP với nhập liệu r  =  (9*cos(t)^2 /2 - 2)/cos(t)


Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/UNobDrYkRCfXj

1.3   Cycloid (đường bánh xe cycloid)  [13]

Danh-muc-va-lich-su-cac-duong-cong-phan-2-Tu-Co-den-Eq-3-2.gif

A. Khái niệm .
Xét đường tròn (C) có bán kính a = 1, trên trục Ox. Một điểm M cố định trên đường tròn đó. Khi đường tròn (C) lăn (không trượt) trên trục Ox,  quỹ tích điểm M  là một đường cong có tên gọi cycloid.
Như vậy có thể xem Cycloid là quỹ tích của một điểm M có khoảng cách h từ tâm của một đường tròn bán kính a  lăn không trượt dọc theo một đường thẳng.
Nếu h < a  nó là một cycloid curtate.

Nếu h > a  nó là một cycloid prolate.

Nếu h = a  nó là một cycloid .

Vài hình ảnh về cycloid tương ứng với tham số h/R
h/a ~ 4.61

h/a ~ 7.83
Khi h = a , phương trình  tham số của cycloid trong hệ tọa độ Descartes là
$ x = at - a.sint  ,  y = a - a.cost$   từ  $y = a - a.cost$  giải tìm t , thu được
$t = arccos(1- y/a)$  và  $cost = 1 - y/a$ . Thế vào x , ta có  $x=a.arccos(1- y/a) -a. \sqrt{1-(1 - y/a)^2}$
Rút gọn ta có
$x=a.arccos(1- y/a) -  \sqrt{2ay-y^2}$

Tính diện tích giới hạn bởi cung cycloid và trục Ox với t thuộc $ [ 0,2 \pi]$  .
$ x = at - a.sint  \Rightarrow   x' = a - a.cost$ .
Diện tích $S=\int_{0}^{2\pi }y(t)x'(t)dt=\int_{0}^{2\pi }a^2(1-cost)^2dt$
$S= \left [ a^2(3t/2-2sint+cost.sint/2) \right ]  _{t=0}^{t=2\pi}=3 \pi  a^2$

Tính chiều dài của cung cycloid  với t thuộc $ [ 0,2 \pi]$  .
$L=\int_{0}^{2\pi}\sqrt{{x'(t)}^2+{y'(t)}^2}dt=\int_{0}^{2\pi} a \sqrt{2-2cost}dt=2a \int_{0}^{2\pi}sin(t/2)dt$
Vậy $L=8a$


Với  h = a  ,  phương trình  tham số của cycloid trong hệ tọa độ Descartes là
$ x = at - a.sint  ,  y = a - a.cost$
+Chiều dài cung   $L(t)=8a.sin^2(t /4)$
+Độ cong  $C(t) = -  \frac{|csc(t /2)|}{4a}$
+Chu vi  $L=8a$   với  $t \in  [ 0,2 \pi]$
+Diện tích  $S=3 \pi  a^2$


Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/ZoI8alORhVM

B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$ x = at - h.sint  ,  y = a - h.cost$
x = a*t - h*sin(t)  ,  y = a - h*cos(t)

chọn  a = 2  ,  h = 1 ( đây là cycloid curtate )
Khi đó
$ x = 2t - sint  ,  y = 2 - cost$
x = 2*t - sin(t)  ,  y = 2 - cos(t)

Dùng  GX  nhập liệu  x = 2*t - sin(t)  ,  y = 2 - cos(t)
Lệnh GX như sau :
plotparam([2*t - sin(t),2 - cos(t)] , t=0..10*3.14,tstep=0.1,display=magenta+filled);


Mô hình chuyển động điểm trên cycloid
Xem  http://youtu.be/xad90d1H_Wg

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/_xC7naDIRCw3u

1.4   Devil's curve (đường cong quỷ)  [14]

A. Khái niệm .
Phương trình tổng quát của đường cong quỷ trong hệ tọa độ Descartes là

hoặc

phương trình trong tọa độ cực
 
+ Đồ thị gồm 2 nhánh vô cực và hình số 8 ( xuất hiện khi a < b ) xem hình động sau
+Hai nhánh vô cực được tạo từ hyperbola ( màu xanh cây ) có phương trình
 
Từ điểm M thuộc nhánh vô cực của đường cong quỷ , nối OM dựng  $ \Delta ONH$  vuông ở H với HN = b (const )  và OM = ON , khi đó quỹ tích của H là nhánh vô cực hyperbola .


+Đường cong hình số 8 cũng được dựng từ cùng một hyperbola như trên . Khi H chạy trên hyperbola ,nối OH và dựng    $ \Delta OMH$ vuông ở O , cạnh huyền HM = b (const) , khi đó điểm M chạy trên đường cong hình số 8 .

 +Để ý rằng khi b = 0 từ phương trình tổng quát ta sẽ có trường hợp đặc biệt là một hyperbol $x^2-y^2=-a^2$ .  Khi a = 25/24 đường cong có tên là đường cong động cơ điện.
Phần giữa đường cong giống như các cuộn dây đồng , được xoay do tác dụng lực từ của các nam châm xung quanh.

Các đường liên hợp 
Xem  http://youtu.be/fMdA5ngp6Fc

B. Phương trình .

Bằng cách đặt  $B = a^2 - b^2 ; A=a^2 + b^2$ thay vào dạng tổng quát
Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$ Bx^2 + Ay^2 = x^4 − y^4$
 B*x^2 + A*y^2 = x^4 − y^4

Chọn  B = 25/24  và  A  = -1
Khi đó :  $ 25x^2/24 - y^2 = x^4 − y^4$
 (25/24)*x^2 - y^2 = x^4 − y^4
Dùng GX với nhập liệu dạng ẩn   (25/24)*x^2 - y^2 = x^4 − y^4



Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = \sqrt{(25-24tan^2θ)/(1-tan^2θ)}$
r = sqrt((25-24tan(θ)^2)/(1-tan(θ)^2))

Dùng GP với nhập liệu  r = sqrt((25-24*tan(t)^2)/(1-tan(t)^2))


Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/4LTxEJstRCfDo

1.5   Double Folium (đường cong lá đôi)  [15]

A. Khái niệm .

 Phương trình tổng quát đường hình lá được cho bởi công thức $(x^2 + y^2)(x^2 + bx + y^2) = 4axy^2$
hoặc, trong tọa độ cựclà  : $ r = − bcosθ + 4acosθsin^2θ$
Tên gọi Folium có nghĩa là hình lá. Có nhiều dạng đường cong nhưng ba dạng đặc biệt là đường lá đơn, lá đôi và  lá ba, tương ứng với  b = 4a, b = 0, b = a ( xem hình )



Các bifolium có thể được xây dựng như sau.
Cho đường tròn (C) qua gốc tọa độ O, điểm A (0, a) và B (1, 0), và đường thẳng m qua O cắt (C) tại Q. Gọi R là hình chiếu của Q trên trục x và P là hình chiếu của Q trên m.
Đường cong bifolium là tập hợp các điểm P, khi m thay đổi và điểm Q chạy trên đường tròn C cho trước .

Chúng ta sẽ khảo sát chi tiết với a = 1/4  , khi đó  $ r = − bcosθ + cosθsin^2θ$
+ Với $ a\geq 1 $  đồ thị có dạng lá đơn ( single folium ) .
+ Với $ a = 0 $  đồ thị có dạng lá đôi ( double folium hay bifolium ) . 

+ Với $ 0 < a < 1 $  đồ thị có dạng lá ba (  Trifolium ) .
Khi a = 1/2  đường lá ba còn có tên là trefoil, đường cong torpedo hay siluroid như sau

Khi a = 1/4  đường lá ba còn có tên là trefoil, đường cong rhodonea ( còn gọi là đường hoa hồng 3 cánh )

Phương trình tham số của đường cong trong hệ tọa độ Descartes
$x = 4a.sin^2t.cos^2 t, y = 4a.sin^3t.cost$

+Chiều dài cung  $L(x) = 1/42 .a.[ 35[E(\phi,k)+E(k)]x+4\sqrt{2}.[(7F(\phi,k)+K(k))x + 2.x'^2]]$
 Với  $\phi =arcsin[ 1/7. ( 9 - 4\sqrt{2})]$  hay  $\phi \approx 0.497$
$k = \sqrt{-1/7. \sqrt{ 57 + 40 \sqrt{2}}}$  hay   $k \approx  4.027i $
 Trong đó  $E(\phi,k) , F(\phi,k) , E(k) , K(k)$  là các tích phân Elliptic .



Các bạn xem chi tiết tại
HÀM ĐẶC BIỆT - Phần 2 .
http://tinyurl.com/k6gmpho

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$ r = 4acosθ.sin^2θ$
+Độ cong  $C(\theta) = \frac{(cos4\theta+3cos2\theta+3)csc\theta}{a. \sqrt{2}(2cos4\theta+3cos2\theta+3)^{3/2}}$
+Chu vi  $P \approx 7.155a$
+Diện tích  $S = \pi a^2 /2$

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/TyFeBu0J3uo

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + y^2)^2 = 4axy^2$
(x^2 + y^2)^2 = 4*a*x*y^2

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$ r = 4acosθ.sin^2θ$
 r = 4*a*cos(θ).sin(θ)^2

Dùng GP với nhập liệu với  r = 4*a*cos(t).sin(t)^2  với các trị số của a .

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/GfTubevbRCj7m

1.6. Durer's shell curve (đường vỏ sò Durer)  [16]



A. Khái niệm .
Trong mặt phẳng Oxy lấy hai điểm Q (q, 0) và R (0, r)  sao cho q + r = a . Dựng điểm P trên đường thẳng RQ thỏa PQ =  b . Quỹ tích các điểm P xác định đường vỏ sò Dürer .
Bỏ qua các phép biến đổi tuyến tính, hình dạng của đường cong chỉ phụ thuộc vào tỷ số b / a,  và có thể được thay thế bằng một tham số.

Định nghĩa của đường cong này là một biến thể của một conchoid (bình thường) .
Đôi khi họ các đường conchoid biến thể này được gọi là đường vỏ sò Dürer .

Các đường cong xuất hiện trong tác phẩm  'Hướng dẫn đo đạc bằng compa và thước kẻ ' của Albrecht Dürer (1471 - 1528),(1525). Tuy nhiên Dürer chỉ tìm thấy một trong hai nhánh của đường cong , ông đặt tên là đường cong 'ein muschellini' ( vỏ sò ). Dürer đã chọn a = 13, với các điểm P và P ' ta có  PRQ - RQP' = 16 .


Một số dạng biểu diễn phương trình đường vỏ sò Durer như sau
    ,   

,     

Hay
  

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + xy + ax − b^2)^2 = (b^2 − x^2)(x − y + a)^2$
(x^2 + x*y + a*x - b^2)^2 = (b^2 - x^2)*(x - y + a)^2



+Khi $b = 0$ đường cong Durer suy biến thành  $x^2 = 0$

+Khi $a = 0$ đường cong Durer suy biến thành cặp đường thẳng $x = b/ \sqrt{2} , x = -b/ \sqrt{2}$ cùng với đường tròn $x^2+y^2=b^2$

+Khi $a = b/2 $ đường cong Durer có đỉnh tại $S(-2a,a)$ .


Dùng GX với nhập liệu (x^2 + x*y + a*x - b^2)^2 = (b^2 - x^2)*(x - y + a)^2
với  { a = 1 , b = 0 } , { a = 0 , b = 1 } ,  { a = 1 , b = 2 }  ta có các đồ thị đặc biệt .

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/TZcDbJrbRCZqT

1.7  Figure Eight Curve (đường cong hình số 8)  [17]

A. Khái niệm .
Đường cong hình số 8 còn được gọi là Lemniscate của Gerono .

Cho đường tròn (C) bán kính bằng 1 tâm ở gốc O. P là một điểm chạy trên đường tròn (C) . Gọi M là giao điểm của đường thẳng x = 1 và đường thẳng nằm ngang đi qua P và Q là giao điểm của OM và đường thẳng đứng qua P. Khi P di chuyển trên đường tròn thì qũy tích của Q là đường cong hình số 8.

Các điểm tương đồng :
+Đường cong hình số 8 là dạng đặc biệt của  Hippopede có nghĩa đen là đường "chân ngựa" .
Các đường cong dạng này cũng được J. Booth (1810-1878) nghiên cứu , nên còn có tên gọi là đường cong Booth.

 Phương trình đường cong  Hippopede trong hệ tọa độ cực là
$ r^2 = 1 - a.sin\theta$  về hình thức có ba dạng :

Với  a  < 1/2 : một hình bầu dục
Với  1/2  <  a  <1: một hình bầu dục lõm
Với  a  > 1:  đường cong hình số 8
Đối với  a  < 1, đường cong là hình bầu dục Booth.
Cho a  >  1, đường cong là lemniscate  Booth.
Khi tham số a = 2, đường cong là lemniscate của Bernoulli . Trong hình động dưới đây ta chọn a  =  2 .

Chú thích lịch sử :
Proclus (75 TCN) và Eudoxus là những người đầu tiên khảo sát các đường cong Hippopede .
Sau thời Proclus đường cong này đã được đặt tên Hippopede Proclus để ghi nhớ công trình nghiên cứu của ông .


Đường cong hình số 8 cũng là dạng đặc biệt của họ đường cong besace . Về bản chất besace là một đường cong Lissajous. Năm 1750 Cramer đã đặt tên chính thức cho đường cong này là Quersackkurve . Phương trình besace có dạng :
$(y+ax^2)^2=x^2-x^4$

Khi a lớn, đường cong xấp xỉ với parabol.
Khi a = 0 đường cong là lemniscate Gerono:
 $y^2 = x^2 - x^4$
Đường cong cũng có hình dạng của một ruy băng như lemniscate Bernoulli.


Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$x=a.sint $
$y=a.sintcost$
+Chiều dài cung
+Độ cong   $C(t)= \frac{-2 \sqrt{2}(cos2t+2).sint}{a[cos4t+cos2t+2]^{3/2}}$
+Chu vi   $P=a.[2^{9/4}(E(k)-K(k))+(3+2 \sqrt{2}).2^{-1/4}.\Pi((4-3\sqrt{2})/8,k)]$  với  $k = \sqrt{2^{-1/2}+2^{-2}}$
hay  $P \approx 6.097a$
+Diện tích  $S=4a^2/3$

Một mô hình cơ học minh họa điểm chuyển động theo quỹ đạo hình số 8 .

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/S-vqRfyoIyo


B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$x^4 = a^2(x^2 − y^2)$
x^4 = a^2*(x^2 − y^2)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r^2 = a^2.cos2θ.sec^4θ$
r^2 = a^2.cos(2*θ).sec(θ)^4

Dùng GP với nhập liệu   r = sqrt(a^2*cos(2*t)*sec(t)^4)   và   r = - sqrt(a^2*cos(2*t)*sec(t)^4)

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/dPaZVUboRCZn4

1.8   Ellipse (đường Ellipse)   [18]



A. Khái niệm .

Ellipse là trường hợp đặc biệt khi nghiên cứu về giao tuyến của hình nón và mặt phẳng , gọi chung là conic .
Cho hai điểm F1(-a,0) và F2(a,0) cố định , quỹ tích các điểm M chạy trong mặt phẳng thỏa mãn MF1 + MF2 = F1F2 là một ellipse . F1 , F2 gọi là các tiêu điểm và MF1 , MF2 là các bán kính qua tiêu điểm  . Diện tích của ellipse là $S = \pi a b $ .
Chu vi của ellipse có công thức gần đúng là $C = \pi [3(a+b) - \sqrt{(a+3b)(3a+b)}]$  . Vài cách dựng hình ellipse
+ Thước và dây :

+Thước Archimedes :

+Hình bình hành :



Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = acost , y = bsint$

+Chiều dài cung  $L(t)=aE(t,e)$  với  $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$
+Độ cong  $C(t) = ab/(a^2sin^2t+b^2cos^2t)^{3/2}$
+Chu vi   $P=4aE(e)$  hay  $P \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)}$
+Diện tích   $S= \pi a b$

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/-6axJSSpqMg

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$ x^2/a^2 + y^2/b^2 =  1$
 x^2/a^2 + y^2/b^2 =  1

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực :
$r=\frac{a(1-e^2}{1=e.cos\theta}$


Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = acost , y = bsint$
x = a*cos(t) , y = b*sin(t)

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/jio_Ew2yRCnTG

1.9   Epicycloid (đường Epicycloid)   [19]

A. Khái niệm .
Một họ gồm bốn đường cong liên quan đến Epicycloid là Epicycloid, Epitrochoid, Hypocycloid và Hypotrochoid là quỹ tích một điểm P trên chu vi đường tròn bán kính b lăn không trượt trên đường tròn bán kính a cố định. Đối với Epicycloid thì đường tròn bán kính b lăn bên ngoài đường tròn bán kính a.

Trường hợp đặc biệt  $a = b$  epicycloid biến đổi thành cardioid.

Nếu $a = 2b$  epicycloid biến đổi thành  nephroid.

Nếu $a = (m - 1) b $  với m là một số nguyên, chu vi của epicycloid là $8bm$  và diện tích của nó là  $πb^2(m^2 + m)$

+Chiều dài cung
+Độ cong  $C(t) = \frac {a+2b}{4b(a+b)sin(\frac{at}{2b})}$
+Chu vi   $P=8(ab+b^2)/a$
+Diện tích giới hạn giữa epicycloid và tiếp tuyến  $S= \pi b(a+b)(a+2b)/a$
+Phương trình tiếp tuyến tại điểm  $M(t)$
$x.sin(\frac{a}{2b}+1)t - y.cos(\frac{a}{2b}+1)t  - a .( 1 + 2b/a)sin(\frac{at}{2b})=0$


Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/ccziVJC45OE

B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a+b)cost - b.cos(a/b+1)t$
$y = (a+b)sint - b.sin(a/b+1)t$

x = (a+b)*cos(t) - b*cos(a/b+1)*t
y = (a+b)*sin(t) - b*sin(a/b+1)*t

Phương trình đưởng cong chuyển từ dạng tham số trong hệ tọa độ Descartes sang hệ tọa độ cực
$r^2 = (a+b)^2 + b^2 -2b(a+b)cos(at/b)$
r^2 = (a+b)^2 + b^2 -2*b*(a+b)*cos(a*t/b)


Khi $a = nb$ ( đường tròn b lăn  n vòng ) ta có epicycloid n đỉnh , khi đó phương trình đường cong là :
$r^2 = a^2[(n+1)^2-2(n+1)cos(nt)+1]/n^2$

Dùng GP với nhập liệu  r =sqrt( (a+b)^2 + b^2 -2*b*(a+b)*cos(a*t/b))
Ví dụ với a = 2 , b = 1 ta có   r =sqrt( 10 - 6*cos(2*t))  đồ thị là nephroid  .

Thực hành :

 r =sqrt(5-6cos(t))                  [1 đỉnh ]
 r =sqrt( 10 - 6*cos(2*t))        [2 đỉnh ]
 r =sqrt( 17 -8*cos(3*t))        [3 đỉnh ]
 r =sqrt( 26 -10*cos(4*t))      [4 đỉnh ]
 r =sqrt( 37 -12*cos(5t))        [5 đỉnh ]

Xem hình động :

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/x1qlLMOxRCrLX

2.0   Epitrochoid (đường Epitrochoid)  [20]

A. Khái niệm .

Epitrochoid là quỹ tích điểm P trên một đường tròn bán kính b lăn không trượt trên một đường tròn bán kính a cố định . P là điểm có khoảng cách c tính từ tâm của đường tròn bán kính b .  Epitrochoid có liên quan với Epicycloid , Hypocycloid và Hypotrochoid
Trong hình minh họa dưới đây  h = c  là khoảng cách từ P đến tâm đường tròn bán kính b . Hai trường hợp của Epitrochoid tương ứng với h = c < b  và  h = c > b


-Khi a = b epitrochoid biến thành limacon .
Ví dụ : a = b = 3 ; c = 4  [ Limacon ]
x = 6*cos(t) - 0.5*cos(2*t)
y = 6*sin(t) - 0.5*sin(2*t)

-Khi a = 0 epitrochoid biến thành đường tròn .
Ví dụ :  a = 0 , b = 3 , c =4  [ Đường tròn ]
x = 3*cos(t) - 4*cos(t)
y = 3*sin(t) - 4*sin(t)

-Khi h = c = b  epitrochoid biến thành epicycloid .
Ví dụ : a = 8 ; b = c = 4  [ epicycloid ]
x = 12*cos(t) - 4*cos(3*t)
y = 12*sin(t) - 4*sin(3*t)

+Chiều dài cung
+Độ cong
$C(t) = b^3.[h^2(a+b)+b.(b^2-2bh.cos\frac{at}{b}-ah.cos\frac{at}{b})]/(a+b)^4/[b^2-2bh.cos\frac{at}{b}+h^2]^{3/2}$
+Chu vi
+Diện tích


Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/lJbaL9-PYr4


B. Phương trình .

Phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes:
$x = (a+b)cost - c.cos(a/b+1)t$
$y = (a+b).sint - c.sin(a/b+1)t$


x = (a+b)*cos(t) - c*cos(a/b+1)*t
y = (a+b)*sin(t) - c*sin(a/b+1)*t

Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/xBM6M-3qRCea3

2.1   Equiangular Spiral (đường xoắn ốc đẳng giác)  [21]

A. Khái niệm .

Đường xoắn ốc đẳng giác  tạo ra một góc không đổi b với bất kỳ vector bán kính nào .

Xem chi tiết :  http://www.geogebratube.org/student/m14470





Trong trường hợp đặc biệt, khi b = π / 2  đường xoắn ốc biến thành đường tròn.
Đối với các đường cong được hiển thị  ở trên thì b = 7π/16.
P là điểm bất kỳ trên đường xoắn ốc thì chiều dài của đường xoắn ốc từ P đến tâm đường cong là hữu hạn . Khoảng cách từ P đến cực là d.sec(b) với d là khoảng cách của vector bán kính OP. Chiều dài của đường cong từ một điểm ở khoảng cách d tính từ điểm gốc cùng một vector bán kính khoảng 5,126 d.


http://www.geogebratube.org/material/show/id/47179
 

Vài tính chất cần nhớ :

$r = a.e^{kθ} ; k = cotb$
b là góc hợp bởi tia bán kính và tiếp tuyến tại 1 điểm trên đường cong .
Tọa độ cong  $s  = r/cosb$
Bán kính cong  $R_{c} = r / sinb = s.cotb$
+Chiều dài cung  $L(\theta) = a.e^{kθ}/cosb$
+Độ cong  $C(\theta)= 1/a . e^{-kθ}.sin\theta$
+Chu vi
+Diện tích

Các đường liên hợp
Xem   http://youtu.be/bsOk8eL3RXY

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a.e^{θ.cotb}$
r = a.e^(θ*cot(b))

Dùng GP với nhập liệu  r = 0.5*e^(t*cot(7*Pi/16)) ( xem hình )
plotpolar(0.5*e^(t*cot(7*Pi/16)),t=0..30.14,tstep=0.1,display=blue+filled,thickness=2)


Lưu trữ : 
http://yadi.sk/d/e2oDaW0yRCjM5

II . Các lệnh đồ họa trong trình ứng dụng Maple .

Maple V là phiên bản cũ ( tuy vậy cũng còn khá tốt khi vẽ đồ thị và đặc biệt là miễn phí ) chưa có nhiều tính năng đồ họa nên phần tiếp sau đây tác giả sẽ trình bày tóm lược cách vẽ dồ thị các hàm số với các cấu trúc cơ bản . Bạn đọc có thể tìm hiểu thêm những nội dung khác trong phần Help của phần mềm này để biết thêm các chi tiết .

2.1  Đồ thị 2D .
2.1.1. Hàm thông thường y = f(x) .
a. Cấu trúc lệnh .  > plot([expr1,expr2],x=xmin..xmax,y=ymin..ymax,options);
Ví dụ .  Vẽ các hàm f(x) = x*sin(x) và g(x) = sin(x)/x
> f:=x*sin(x);g:=sin(x)/x;
> plot(f,x=0..4*Pi); 
> plot(g,x=0.1..4*Pi,color=blue); 
> plot([f,g],x=0.1..4*Pi,color=[red,blue], thickness=2);
Để vẽ hàm trong tọa độ cực , ta thêm tùy chọn coords = polar .
Ví dụ . > plot(g,x=0.1..4*Pi,coords=polar,color=green , thickness=2); 


Khi click trái vào điểm trên đồ thị , tọa độ sẽ hiển thị trên thanh công cụ . Click phải lên đồ thị sẽ cho các tùy chọn thay đổi như style , axes , projection .

b. Giới hạn và mở rộng khoảng giá trị đồ thị - Màu sắc – Trục .

Ví dụ .  vẽ hàm số f(x) = 3*sin(x)*cos(2*x)-sin(2*x) trên khoảng giá trị  [ 1 , 4 ] ;

>plot(3*sin(x)*cos(2*x)-sin(2*x),x=-2*Pi..2*Pi, y=1..4,color=cyan);




Ví dụ .  vẽ hàm số f(x) = sin(x)/x khi x → ¥
> plot((x+1)/(x^2-x+1),x=0..infinity);
+Các tùy chọn về màu sắc .
 aquamarine , black,  blue,  coral , cyan  , brown  , gold , green , gray , grey  khaki , magenta , maroon , navy , orange , pink , plum , red  , sienna ,  tan , turquoise , violet , wheat  , white , yellow  .
+Các tùy chọn về trục và tựa đề .
Trục  :   axes =  { box , frame , none , normal }
Tên trục :   labels  =  [ `  ` , `  ` ]
Tựa đề  :   title = `    `      

c . Các tùy chọn về hệ trục tọa độ và phép đổi trục 2D .
bipolar, cardiod , cassinian , elliptic, hyperbolic, invcassinian, invelliptic, logarithmic, logcosh , maxwell, parabolic, polar, rose,  tangent .

+Phép biến đổi từ hệ trục khác về hệ trục  Descartes  2D như sau .

    (u, v) → (x, y)

+ Các hệ trục .
 bipolar:                    ( phép biến đổi Spiegel )
   x = sinh(v)/(cosh(v)-cos(u))
   y = sin(u)/(cosh(v)-cos(u))
 cardiod:
   x = 1/2*(u^2-v^2)/(u^2+v^2)^2
   y = u*v/(u^2+v^2)^2

cartesian:
   x = u
   y = v

 cassinian:                  (Cassinian-oval)
   x = a*2^(1/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(1/2) +
          exp(u)*cos(v)+1)^(1/2)
   y = a*2^(1/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(1/2) -
          exp(u)*cos(v)-1)^(1/2)]

 elliptic:
   x = cosh(u)*cos(v)
   y = sinh(u)*sin(v)

 hyperbolic:
   x = ((u^2+v^2)^(1/2)+u)^(1/2)
   y = ((u^2+v^2)^(1/2)-u)^(1/2)

 invcassinian:               (phép biến đổi ngược Cassinian-oval)
   x = a*2^(1/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(1/2) +
          exp(u)*cos(v)+1)^(1/2)/(exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(1/2)
   y = a*2^(1/2)/2*((exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(1/2) -
          exp(u)*cos(v)-1)^(1/2)/(exp(2*u)+2*exp(u)*cos(v)+1)^(1/2)

 invelliptic:                (phép biến đổi ngược elliptic)
   x = a*cosh(u)*cos(v)/(cosh(u)^2-sin(v)^2)
   y = a*sinh(u)*sin(v)/(cosh(u)^2-sin(v)^2)

 logarithmic:
   x = a/Pi*ln(u^2+v^2)
   y = 2*a/Pi*arctan(v/u)

 logcosh:                    (ln cosh)
   x = a/Pi*ln(cosh(u)^2-sin(v)^2)
   y = 2*a/Pi*arctan(tanh(u)*tan(v))

 maxwell:
   x = a/Pi*(u+1+exp(u)*cos(v))
   y = a/Pi*(v+exp(u)*sin(v))

 parabolic:
   x = (u^2-v^2)/2
   y = u*v

 polar:
   x = u*cos(v)
   y = u*sin(v)

 rose:
   x = ((u^2+v^2)^(1/2)+u)^(1/2)/(u^2+v^2)^(1/2)
   y = ((u^2+v^2)^(1/2)-u)^(1/2)/(u^2+v^2)^(1/2)

 tangent:
   x = u/(u^2+v^2)
   y = v/(u^2+v^2)


Ví dụ .  Đồ thị của hàm số g(x) = sin(x)/x  trong các hệ trục bipolar , parabolic , elliptic và maxwell  có dạng như sau 

+Có thể dùng lệnh polarplot ( )  để vẽ hàm số trong hệ tọa độ cực
Ví dụ . Vẽ đồ thị đường xoắn ốc đẳng giác ( Equiangular Spiral hay Logarithmic Spiral ) 
> polarplot(sin(theta)/theta,theta=0..8*Pi,scaling=constrained);
+Kết hợp vẽ nhiều hàm trong hệ tọa độ cực
Ví dụ .
> S := t->100/(100+(t-Pi/2)^8): R := t -> S(t)*(2-sin(7*t)-cos(30*t)/2):
> polarplot([S,t->t,-Pi/2..3/2*Pi],numpoints=2000,axes=frame,color=coral);
> polarplot([R,t->t,-Pi/2..3/2*Pi],numpoints=2000,axes=NONE);
2.1.2. Hàm tham số  { x = x(t)  ,  y  = y(t) } .
a. Cấu trúc lệnh .  
> plot([x(t),y(t),t=tmin..tmax],options);
Ví dụ . Vẽ các hàm {x(t) = sin(t)^3 và y(t) = cos(t)^3 } ,
 { x(t) =  3*(2*cos(t)-cos(2*t)) , y(t) =  3*(2*sin(t)-sin(2*t))}
> plot([sin(t)^3,cos(t)^3,t=0..2*Pi],scaling=constrained,title = `astroid`,color=blue);
> plot([3*(2*cos(t)-cos(2*t))  ,3*(2*sin(t)-sin(2*t)) ,t=0..2*Pi],scaling=constrained,title = `cardioid`,color= magenta);


Chúng ta có thể vẽ nhiều hàm tham số trên cùng hệ trục tọa độ .
Ví dụ .  
Vẽ đường tròn và ellipse trong hệ tọa độ Descartes và tọa độ cực .

> plot([[2*cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],[sin(t),cos(t),t=0..2*Pi]],scaling=constrained,color=[green,red]);
>plot([[2*cos(t),sin(t),t=0..2*Pi],[sin(t),cos(t),t=0..2*Pi]],scaling=constrained,color=[green,red], coords=polar,title=`polar`);
b. Dùng lệnh polarplot vẽ hàm tham số .
Cũng có thể dùng lệnh polarplot để vẽ hàm tham số trong tọa độ cực .
Ví dụ .  vẽ hàm  { r(t) = cos(t)  ,  θ(t) = sin(3*t)^2 }
> polarplot([cos(t),sin(3*t)^2,t=0..2*Pi]);
Vẽ đường cong lá 4 trong tọa độ cực .
>polarplot([sin(t)*cos(t)^2,sin(t)^2*cos(t),t=0..2*Pi],title=`quatrifolium-polar`,color=blue,thickness=2);


Xem thêm tài liệu về Maple .








III . Lời kết .

Đến đây chúng ta đã đi được một phần ba con đường tìm hiểu thực nghiệm các đường cong 2D . Trong bài viết sau công việc tiếp tục của chúng ta vẫn  là khảo sát tính chất cơ bản và minh họa các đường cong bằng các trình ứng dụng hoặc các công cụ trực tuyến đã đề cập đến trong các bài viết trước. Tuy nhiên từ các dữ liệu lưu trữ , chúng ta sẽ bắt tay vào sử dụng các phần mềm thực hành tính toán một số bài toán đơn giản có liên quan đến các đường cong . Tác giả hy vọng rằng nội dung của bài viết này có thể đáp ứng phần nào nhu cầu nghiên cứu ứng dụng của các bạn và mong nhận được những phản hồi tích cực . Cám ơn các bạn đã theo dõi  , hẹn gặp lại .



Trần hồng Cơ 
Ngày 15 /05/ 2014 .

 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

 Albert Einstein .

Thứ Năm, 8 tháng 5, 2014

Hiểu vật lý trong 60 giây - Bài 4 . Siêu đối xứng


Hiểu vật lý trong 60 giây - Bài 4 . Siêu đối xứng 



Lời nói đầu .


Tạp chí Symmetry trình bày rất nhiều lĩnh vực khác nhau trong Vật lý hiện đại với những ý tưởng , bài viết , công trình lý thuyết lẫn thực nghiệm của tập thể các nhà khoa học hàng đầu hiện nay trên thế giới . Chuyên mục " Hiểu biết Vật lý trong 60 giây " tổng hợp một số bài viết ngắn gọn , súc tích và đầy tính đột phá trong việc giải thích các cơ chế vật lý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận những thông tin mới mẻ . Tác giả của những bài viết này hiện đang công tác tại các Trung tâm nghiên cứu , Viện Khoa học và các trường Đại học danh tiếng nên nguồn thông tin luôn được cập nhật thường xuyên .
 Xin trân trọng giới thiệu đến bạn đọc .




Trần hồng Cơ .
Tham khảo - Trích lược .
Ngày 05/05/2014.


 ------------------------------------------------------------------------------------------- 




Minh họa : Sandbox Studio


 Siêu đối xứng 



Siêu đối xứng là một tính chất được đề xuất của vũ trụ. Siêu đối xứng đòi hỏi tất cả các loại hạt có một hạt siêu đối xứng liên hợp , được gọi là siêu đối tác của nó. Các siêu đối tác là một bản sao lớn của một hạt, có một sự khác biệt quan trọng .

Như chúng ta đã biết tất cả các hạt được xếp vào một trong hai loại : fermion hay boson. Mỗi hạt thuộc một lớp có một siêu đối tác theo cách khác nhau , do đó "sự cân đối siêu đối xứng" này càng làm cho tự nhiên mang tính đối xứng hơn. Ví dụ, siêu đối tác của một electron (một fermion) được gọi là một selectron ( một boson).

Siêu đối xứng mô tả một vũ điệu lớn của các hạt trong vũ trụ, nhưng chúng ta hiện nay chỉ có thể thấy một đối tác từ mỗi cặp của chúng mà thôi . Các hạt không nhìn thấy có thể là nguồn gốc của "vật chất tối" bí ẩn trong thiên hà.
Gợi ý về sự có thể tồn tại vật chất tối trong dữ liệu Fermi - Ảnh NASA 
Vật chất tối được xem như loại vật chất giả thuyết trong vũ trụ, chúng mang thành phần mà chúng ta hiện chưa hiểu được. Vật chất tối không thể quan sát được bằng kính thiên văn hay các thiết bị đo đạc vì nó không phát ra hay phản chiếu đầy đủ các bức xạ điện từ .   Dựa vào những ảnh hưởng hấp dẫn của vật chất tối với chất rắn hoặc các vật chất khác chúng ta có thể nhận ra sự tồn tại của nó  . Các nhà khoa học cho rằng vật chất tối có thể chiếm tới 70%  thành phần cơ bản của vật chất (gồm cả vật chất tối và vật chất thường) tồn tại trong vũ trụ.


Mô phỏng về sự phân bố vật chất tối trong vũ trụ 13,6 tỷ năm trước 
Minh họa Volker Springel, Viện Vật lý thiên văn Max Planck .

Nguồn :  http://science.nationalgeographic.com/science/space/dark-matter/

*Thông tin mới nhất - ngày 03 tháng 4 , 2014 : Các nhà khoa học nói rằng sự va chạm giữa các hạt vật chất tối có thể là nguyên nhân gây ra những tia gamma còn sót phát ra từ trung tâm của thiên hà của chúng ta. [ xem chi tiết  :  http://www.symmetrymagazine.org/article/april-2014/possible-hints-of-dark-matter-in-fermi-data ]

Mặc dù siêu đối tác chưa được quan sát thấy trong tự nhiên, nhưng chúng có thể sớm được sản xuất ra trong các máy gia tốc hạt trên trái đất.
Máy gia tốc hạt CERN - Ảnh : www.universetoday.com

01/03/2005
- Theo   JoAnne Hewett,  Trung tâm gia tốc hạt tuyến tính Stanford




+++++++++++++++++++++++++++

Nguồn :
1. http://www.symmetrymagazine.org/article/march-2005/explain-it-in-60-seconds
2. http://pdg.web.cern.ch/pdg/cpep/adventure.html
3. http://particleadventure.org/
4. http://vi.wikipedia.org/wiki/Vật_chất_tối


Trần hồng Cơ
Tham khảo - Trích lược .
Ngày 06/05/2014 .


-------------------------------------------------------------------------------------------

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống.

 Albert Einstein .

Thứ Tư, 7 tháng 5, 2014

Hiểu vật lý trong 60 giây - Bài 3 . E = mc^2


Hiểu vật lý trong 60 giây - Bài 3 . $E = mc^2$



Lời nói đầu .


Tạp chí Symmetry trình bày rất nhiều lĩnh vực khác nhau trong Vật lý hiện đại với những ý tưởng , bài viết , công trình lý thuyết lẫn thực nghiệm của tập thể các nhà khoa học hàng đầu hiện nay trên thế giới . Chuyên mục " Hiểu biết Vật lý trong 60 giây " tổng hợp một số bài viết ngắn gọn , súc tích và đầy tính đột phá trong việc giải thích các cơ chế vật lý nhằm giúp người đọc dễ dàng tiếp cận những thông tin mới mẻ . Tác giả của những bài viết này hiện đang công tác tại các Trung tâm nghiên cứu , Viện Khoa học và các trường Đại học danh tiếng nên nguồn thông tin luôn được cập nhật thường xuyên .
 Xin trân trọng giới thiệu đến bạn đọc .




Trần hồng Cơ .
Tham khảo - Trích lược .
Ngày 05/05/2014.


 ------------------------------------------------------------------------------------------- 




Minh họa : Sandbox Studio

$E = mc^2$




Phương trình  $E = mc^2$ của Einstein nói rằng khối lượng (m) tỷ lệ thuận với năng lượng (E) . Việc thừa nhận rằng hai đại lượng này có liên quan với nhau là bước đột phá của thiên tài của Einstein. Tốc độ ánh sáng bình phương ( $c^2$ ) xuất hiện trong phương trình cho chúng ta biết chính xác bao nhiêu năng lượng mà một khối lượng vật chất nhất định có thể cung cấp .

Trong thế giới của các quá trình hạ nguyên tử, khối lượng của các hạt có thể thay đổi thành năng lượng dưới dạng ánh sáng , nhiệt hoặc chuyển động . Tương tự như vậy , năng lượng cũng có thể biến thành khối lượng . Máy gia tốc hạt khai thác ý tưởng này bằng cách đập các hạt chuyển động nhanh với nhau  . Năng lượng cao của các vụ va chạm biến thành các hạt mới, có thể có khối lượng lớn hơn nhiều so với những hạt va chạm ban đầu  .

Mô hình va chạm các hạt năng lượng cao  


Chuyển đổi khối lượng thành năng lượng là mục tiêu theo đuổi của các nhà khoa học phản ứng tổng hợp hạt nhân. Tổng hợp proton và neutron cùng trong một hạt nhân cho kết quả  tổng khối lượng ít hơn khối lượng của các thành phần của nó . Khối lượng thiếu xuất hiện như năng lượng , có thể được khai thác - về nguyên tắc - trích từ : $E = mc^2$ !


Chuyển đổi khối lượng - năng lượng có những hậu quả hết sức sâu rộng. Động cơ xe của bạn được hỗ trợ bởi nhiên liệu hóa thạch , có xuất phát từ các nhà máy phản ứng tổng hợp thời tiền sử . Các nhà máy này có năng lượng từ ánh sáng mặt trời , được sản xuất bởi phản ứng tổng hợp hạt nhân trong mặt trời.
Mặt Trời tự tạo ra năng lượng của mình bằng cách tổng hợp hạt nhân của hydro thành heli. Trong cốt lõi của nó, mặt trời nung chảy 620 triệu tấn hydro mỗi giây.

Phản ứng nhiệt hạch - Ảnh: SOHO-EIT Consortium, ESA, NASA

Từ khối lượng của nhiên liệu đó động cơ xe hơi chuyển nó thành năng lượng và nhờ đó xe có thể hoạt động .
Vì vậy, xe của bạn , và hầu như tất cả các hoạt động khác trên trái đất , cuối cùng cũng được hỗ trợ bởi công thức nổi tiếng của Einstein : $E = mc^2$  .


01/02/2005
- Theo Peter Meyers , Đại học Princeton


+++++++++++++++++++++++++++

Nguồn :
1. http://www.symmetrymagazine.org/article/february-2005/explain-it-in-60-seconds
2. http://www.gizmag.com/hiper-nuclear-fusion-project-underway/10162/
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_fusion



Trần hồng Cơ
Tham khảo - Trích lược .
Ngày 06/05/2014 .


-------------------------------------------------------------------------------------------

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống.

 Albert Einstein .

Thứ Năm, 1 tháng 5, 2014

KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - Phần 3 . As - Co (1-10)


KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D - 
Phần 3 . As - Co (1-10) 








Lời nói đầu .


 Như chúng ta đã biết loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG "  được trình bày trước đây gồm có 3 phần . Nội dung của những phần này là liệt kê các phương trình , tên gọi  cùng các giai thoại và chú thích lịch sử của một số đường cong thường xuất hiện trong toán học , vật lý , thiên văn và nhiều ngành kỹ thuật khác .

Bạn đọc có thể theo dõi chi tiết trên các trang sau :

Phần 3 . http://cohtran.blogspot.com/2012/09/danh-muc-cac-duong-cong-3.

Phiên bản mới nhất đăng trên
http://tusach.thuvienkhoahoc.com/wiki/Danh_mục_và_lịch_sử_các_đường_cong


Tiếp theo sau đây là chuyên mục " KHẢO SÁT THỰC NGHIỆM CÁC ĐƯỜNG CONG 2D " ,
Mục đích của chuỗi bài viết này là khảo sát đồ thị các đường cong bằng các công cụ trực tuyến (online)  hoặc trình ứng dụng ( phần mềm offline ) .
Việc thực hành này là hết sức cần thiết và cũng mang lại nhiều kết quả lợi ích . Một mặt nó giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các tính chất đặc trưng của các đường cong , mặt khác cũng là dịp làm quen với một số trình ứng dụng có quy mô lớn và tốc độ xử lý rất mạnh   . Từ đó chúng ta có thêm kiến thức về đồ họa phục vụ cho việc nghiên cứu hoặc giải quyết những bài toán cụ thể trong phạm vi chuyên môn của mình .

Xin trân trọng giới thiệu cùng bạn đọc .


Trần hồng Cơ 
Ngày 28 /04/ 2014 .

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Chào các bạn , thế là chúng ta đã cùng nhau bước qua những khó khăn để tìm hiểu một chút về đồ họa các đường cong .  Nhà toán học David Hilbert cũng đã từng phán quyết rằng : " Chúng ta phải biết , và chúng ta sẽ biết " trong lúc bàn thảo về những trở ngại trong quá trình tư duy lý luận .

 Đúng vậy , khi đã có thông tin khá đầy đủ về  trình ứng dụng và công cụ trực tuyến , chắc chắn rằng mọi việc sẽ được giải quyết ổn thỏa trong bài viết này : kỹ thuật đồ họa 2D cho những hàm số , biểu thức , phương trình biểu diễn các đường cong mà chúng ta đã từng biết đến trước đó .

Về thứ tự trình bày bạn đọc có thể theo dõi loạt bài " DANH MỤC CÁC ĐƯỜNG CONG "  .
Lưu ý rằng trong các tiểu mục dưới đây phần nhập liệu gồm các toán tử dùng cho các trình hoặc công cụ để phác họa đồ thị .


I . Vẽ đồ thị các đường cong từ As - Ca   [ 1 - 5 ]   bằng trình ứng dụng .
1.1. Astroid  [1] .




A. Khái niệm .

Astroid được hình thành bằng cách lăn một vòng tròn bán kính a / 4  ( hoặc 3a / 4 ) bên trong một vòng tròn có bán kính a. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a = 1 , phương trình tham số của astroid là
$x = cos^3 t , y = sin^3 t$  từ đó $\ x^{2/3} + y^{2/3} = cos^2t+sin^2t = 1$
Mặt khác vì  $sin^6t + cos^6t  =  1 - 3.sin^2t.cos^2t$  nên  $sin^6t + cos^6t  - 1 =  - 3.sin^2t.cos^2t$
Lũy thừa 3 cho hai vế   $(sin^6t + cos^6t  - 1)^3 =  - 27.sin^6t.cos^6t$
Hay  $(sin^6t + cos^6t  - 1)^3 + 27.sin^6t.cos^6t = 0$  trả về x , y ta có
$(x^2 + y^2  - 1)^3 + 27.x^2y^2 = 0$
Do đó astroid có bậc 6 , nó có 4 điểm kỳ dị tại 4 đỉnh trong mặt phẳng thực , hai điểm kỳ dị phức ở vô cực và 4 điểm đôi phức , tổng cộng là 10 điểm kỳ dị .
Đổi sang tọa độ cực , phương trình đường cong astroid là $r=\left | sect \right |/(1+tan^{2/3}t)^{3/2} $

+Chiều dài cung   $L(t)=3/2 . sin^2t  ( 0< t < \pi/2)$
+Độ cong  $C(t)=-2/3 |csc(2t)| $
+Chu vi  $P=6a$
+Diện tích $S=3\pi a^2/8$  hay  $S \approx 1.178 a^2 $
  

Các đường liên hợp :
Xem http://youtu.be/CZzazxrRURw

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes :
$\ x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$
Nhập liệu  :  x^(2/3) + y^(2/3) = a^(2/3)

Phương trình đường cong dạng tham số :
$x = acos^3 t , y = asin^3 t$
Nhập liệu  :  x = a*cos(t)^3 , y = a*sin(t)^3

Chọn a = 3 .
Khi đó : $x^{2/3} + y^{2/3} = 3^{2/3}$
 Nhập liệu  :  x^(2/3) + y^(2/3) = 3^(2/3)

hoặc $x = 3cos^3 t , y = 3sin^3 t$
Nhập liệu  :  x = 3*cos(t)^3 , y = 3*sin(t)^3

1.1.1  GP - GC - GX  Astroid .


Nguồn :  http://youtu.be/tgzXWk3F4BA

1.1.2   wxM - MAPLE V  Astroid .


Nguồn :  http://youtu.be/QB2Do4IjLWs

Nhận xét  :

GP :  Nhập liệu  2 dạng : ẩn ( implicit ) và tham số (parameter) .
GC :  Nhập liệu  dạng tham số .
GX :  Nhập liệu  dạng tham số .
wxM :  Nhập liệu  dạng tham số .
Maple V :  Nhập liệu dạng ẩn ( chỉ vẽ phần đồ thị ở miền 1/4 thứ nhất ) hoặc dạng tham số .

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/okf1hhx7P4rTt

1.2   Bicorn (đường mào gà) [2] .



A. Khái niệm .

Đường mào gà bicorn được hình thành như sau :

[ theo Charlotte Scott, 1896 ]  Cho 2 đường tròn bằng nhau  (C) và (C') tiếp xúc ngoài . Điểm N chạy trên (C') , dựng đường tròn (C") có đường kính ON .  Quỹ tích giao điểm M giữa trục đẳng phương của (C) và (C") và đường thẳng kẻ từ N song song với  OO' là đường bicorn .

[ theo G. de Longchamps, 1897 ] Cho điểm A(a,0) và B(-a,0) và đường tròn (C) tâm C(0,b) có bán kính là c . Điềm P chạy trên (C) khi đó quỹ tích trực tâm H của tam giác ABP có dạng tham số
   với    quỹ tích H là đường bicorn


+Chiều dài cung   $L(\theta) \approx 5.056a$
+Độ cong
$C[\theta]=6 \sqrt{2} (cost  -2 )^3(3cost - 2 )sect / [a(73-80cost +9cos2t )^{3/2}]$
+Chu vi
+Diện tích $S=1/3 . (16\sqrt{3}-27)\pi a^2$

Các đường liên hợp


B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y^2.(a^2− x^2) = (x^2 + 2ay − a^2)^2$
Nhập liệu  :  y^2*(a^2− x^2) = (x^2 + 2*a*y − a^2)^2

Chọn  a  =  3
Khi đó :   $y^2(9− x^2) = (x^2 + 6y − 9)^2$
Nhập liệu  :  y^2*(9− x^2) = (x^2 + 6*y − 3^2)^2

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x=a.sint , y = acos^2t .( 2+cost)/(3+sin^2t)$



1.2.1  GP - GC - GX  Bicorn .


Nguồn : http://youtu.be/NnYJV3bgjoA

1.2.2   wxM - MAPLE V  Bicorn .


Nguồn :  http://youtu.be/yjBhQE4faTI


Nhận xét  :

GP :  Nhập liệu dạng  ẩn .
GC : Nhập liệu dạng hàm thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y rồi nhập 2 lần ) .
GX : Nhập liệu dạng ẩn .
wxM : Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y ) .
Maple V : Nhập liệu dạng ẩn (  đồ thị này cần điều chỉnh ) hoặc dạng thông thường  (nên nhập dạng này ) .
1.3  Cardioid (đường hình tim) [3] .



A. Khái niệm . 

Cardioid là quỹ tích của một điểm trên chu vi của đường tròn lăn không trượt trên chu vi của một đường tròn khác có cùng bán kính. 
Dựa trên mô tả của đường tròn chuyển động , trong đó đường tròn cố định có tâm tại gốc tọa độ và cả hai có cùng bán kính , phương trình tham số của cardioid là 
$x = a(2cost-cos2t)$
$y = a(2sint-sin2t)$
Trong mặt phẳng phức ta có  
$z = a(2e^{it}-e^{2it})$
Có thể kiểm tra dễ dàng rằng  $(z\overline{z}-a^2)^2=4a^2(z-a)(\overline{z}-a)$
hay 
$(x^2+y^2-a^2)^2=4a^2((x-a)^2+y^2)$
Đổi trục  $X = x - a ,  Y  =  y$  và sau đó thay $X = x , Y =y $  ta thu được 
$(x^2+y^2-2ax)^2=4a^2(x^2+y^2)$

+Chiều dài cung   $L(\theta) = 8asin^2(t/4)$
+Độ cong
$C[\theta]=\frac{3}{4a} csc(t /2) $
+Chu vi  $P=8a$
+Diện tích $S=\frac{3}{2} \pi a^2$


Các đường liên hợp 

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes
$4a^2(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2 - 2ax)^2$
Nhập liệu  :  4*a^2*(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2 - 2*a*x)^2

Phương trình đường cong trong tọa độ cực:
$r = 2a(1 + cosθ)$
Nhập liệu  :  r = 2*a*(1 + cos(θ))

Chọn  a  =  3
Khi đó :  $36(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2 - 6x)^2$
Nhập liệu  :  36*(x^2 + y^2) = (x^2 + y^2 - 6*x)^2

hoặc
$r = 6(1 + cosθ)$
Nhập liệu  :  r = 6*(1 + cos(θ))

1.3.1  GP - GC - GX  Cardioid .


Nguồn :  http://youtu.be/PnquQ2WzRcc

1.3.2  wxM - MAPLE V  Cardioid  .


Nguồn : http://youtu.be/fFujCHvbDMs

Nhận xét  :

GP : Nhập liệu dạng thường r = f(θ) .
GC : Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực r = f(θ) .
GX : Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực .
wxM :  Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y ) .
Maple V : Nhập liệu  dạng ẩn ( đồ thị này cần điều chỉnh ) hoặc dạng thông thường  (nên nhập dạng này ) .

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/1ywU88FuP4sBm

1.4   Cartesian Oval (đường oval Descartes) [4] .



A. Khái niệm . 

Đường cong Cartesian bao gồm 2 đường oval lồng nhau, là quỹ tích của một điểm P có khoảng cách là s và t từ hai điểm cố định S và T thỏa mãn:  s +  mt  = a  .

Khi c là khoảng cách giữa S và T phương trình đường cong có biểu diễn như sau

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$[(1 - m^2)(x^2 + y^2) + 2m^2cx + a^2 - m^2c^2]^2 = 4a^2(x^2 + y^2)$
Nhập liệu  :  ((1 - m^2)*(x^2 + y^2) + 2*m^2*c*x + a^2 - m^2*c^2)^2 = 4*a^2*(x^2 + y^2)

chọn  m=2 , a=2 , c=3
Khi đó :  $(-3x^2-3y^2+24x-32)^2 = 16x^2+16y^2$
 Nhập liệu  :  (-3*x^2-3*y^2+24*x-32)^2 = 16*x^2+16*y^2

1.4.1  GP - GC - GX  Cartesian Oval .


Nguồn :  http://youtu.be/mokHE7fytZo

1.4.2  wxM - MAPLE V Cartesian Oval  .


Nguồn :  http://youtu.be/QWjTh7sdhZA

Nhận xét  :

GP :   Nhập liệu dạng ẩn .
GC :  Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y ) .
GX :  Nhập liệu dạng hàm ẩn .
wxM : Nhập liệu dạng thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y ) .
Maple V : Nhập liệu dạng ẩn ( đồ thị này cần điều chỉnh ) hoặc dạng thông thường  (nên nhập dạng này ) .
1.5   Cassinian Ovals (đường oval Cassini) [5] .



A. Khái niệm .

Cassinian Ovals là quỹ tích của một điểm P di chuyển sao cho tích của 2 khoảng cách từ P đến hai điểm cố định S và T [ trong trường hợp này điểm (\pm a,0) ] là một hằng số. Hình dạng của đường cong phụ thuộc vào tỷ số c / a


Nếu c > a thì đường cong bao gồm hai vòng.
Nếu c < a đường cong bao gồm một vòng đơn.
Nếu c = a đường cong có dạng Lemniscate Bernoulli (là một trong tám đường cong kiểu mẫu giới thiệu bởi Jacob Bernoulli).

- Một dạng khác của phương trình đường cong Cassini trong hệ tọa độ Descartes
$(x^2+y^2+a^2)^2=4a^2x^2+b^4$

 Khi  $a<b$
+Diện tích  $S= a^2+b^2 E(a^2/b^2) $  Với $E(k)$ là tích phân Elliptic loại 2 .

 Khi  $a=b$
+Diện tích  $S=2. a^2 $

Phương trình dạng ẩn trong hệ tọa độ cực
$r^2=a^2.[cos2\theta + \sqrt{b^4/a^4-sin^2\theta}]$
$r^2=a^2.[cos2\theta - \sqrt{b^4/a^4-sin^2\theta}]$
Với  $\theta \in [-1/2.arcsin(b^2/a^2) , 1/2.arcsin(b^2/a^2) ]$

Các tính chất khác
Xem  http://youtu.be/NFqFh5qyZUE

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$(x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = c^4 - a^4$
Nhập liệu  :  (x^2 + y^2)^2 - 2*a^2*(x^2 - y^2) = c^4 - a^4

chọn a=3 , c=2
Khi đó :  $(x^2+y^2)^2-18x^2+18y^2 = -65$
Nhập liệu  :  (x^2+y^2)^2-18*x^2+18*y^2 = -65

1.5.1  GP - GC - GX  Cassinian Ovals .


Nguồn :  http://youtu.be/8QTOjFBw4DE

1.5.2   wxM - MAPLE V  Cassinian Ovals  .


Nguồn :   http://youtu.be/WqwIvF557cs

Nhận xét  :

GP :   Nhập liệu dạng ẩn .
GC :  Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y ) .
GX : Nhập liệu dạng hàm ẩn .
wxM : Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) ( nhờ Maple V giải tìm y ) .
Maple V : Nhập liệu dạng ẩn  (nên nhập dạng này )  hoặc dạng thông thường ( đồ thị này cần điều chỉnh ) ./

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/V4MQreciP4sbR

II . Vẽ đồ thị các đường cong từ Ca - Co  [ 6 - 10 }  bằng công cụ trực tuyến .

Điểm cần lưu ý khi chúng ta dùng các websites để minh họa đồ thị các đường cong là đường truyền Internet phải tương đối mạnh , cấu hình máy tính phải phù hợp theo yêu cầu và được cài đặt nền Java . Ngoài ra các bạn cũng nên có sẵn một trình chụp màn hình nếu không thể download hoặc save hình ảnh vừa tạo . ( Có thể dùng Irfan View Portable  - Click và download về máy  http://portableapps.com/IrfanViewPortable4.3.7  hoặc  https://drive.google.com/file/d/0B7rE-PgbIuIpZFNobDZaRklQYUE/edit?usp=sharing )

2.1  Catenary (đường dây xích) [6] .




A. Khái niệm .

Đường cong Catenary hình thành bởi một dây nặng đồng chất  lý tưởng treo tự do từ hai điểm cố định . Điểm thấp nhất A (xem hình minh họa) là đỉnh. Phần AP ở trạng thái cân bằng dưới sức căng ngang H tại A, sức căng  F hướng dọc theo tiếp tuyến tại P, và AP có trọng lượng W. Nếu trọng lượng của chuỗi w trên đơn vị chiều dài và s là cung AP, ta có W = ws; và từ tam giác lực thì $tan ψ = ws / H = s / a$ , trong đó
$a  = H / w$  được gọi là tham số của dây xích. Do đó, dây xích có phương trình vi phân biểu diễn là




















+Chiều dài cung   $L(x) = a.sinh(x /a)$
+Độ cong  $C(t) = \frac{1}{a} sech^2(x /a) $
+Chu vi
+Diện tích

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/eo8CGRLlFks

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y = a.cosh(x/a)$
Nhập liệu  :  y =a* cosh(x/a)

Chọn a = 2
Khi đó :  $y = 2cosh(x/2)$
Nhập liệu  :  y = 2*cosh(x/2)

2.1.1  WA - Desmos (DE) - Seriesmathstudy (SMS)  Catenary .
 Xem phần 1.II.2.1.2 

Đường dẫn :
http://www.wolframalpha.com/widgets/plotter

 Xem phần 1.II.2.2 và 2.3



Nguồn : http://youtu.be/dlYSDdvZArk


2.1.2   Flash&Math  (FM) - MathsTools (MT) - FooPlot (FP)  Catenary .

 Xem phần 1.II.2.4 , 2.5 và 2.6


Nguồn :  http://youtu.be/YMB4FXgHkL8

Nhận xét  :

WA :   Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) .
DE :  Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) ( có chức năng vẽ họ đường cong ) .
SMS :  Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x)  ( có chức năng vẽ đường cong 3D )   .
FM : Nhập liệu dạng tham số x(t) = t , y(t) = f(x(t))
MT : Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) .
FP : Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x) .

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/ek_0YhfsP4soq

2.2  Cayley's sextic (đường bậc 6 Cayley) [7] .



A. Khái niệm . 

Sextic Cayley được tạo bằng cách quay các tiếp tuyến của cardioid từ đỉnh của nó (ở đây là cardioid
$ r = a.cos^2( \theta)$  ) ( xem hình )


Sextic Cayley cũng là néphroïde được phát triển ra có tâm  ( a / 2, 0) và đi qua gốc O.

Sextic Cayley cũng là đường cong ngược của đường bậc 3 Tschirnhausen


Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x=4a.cos^3(t/3).cost , y =4a.cos^3(t/3).sint$

+Chiều dài cung   $L(t) = [2t+3.sin(2t /3)]a$   với  $t \in (0,3 \pi)$
+Độ cong  $C(t)=\frac{4}{3a} sec^2(t /3) $
+Chu vi  $P = 6 \pi a$
+Diện tích giới hạn bởi biên ngoài   $S=(5\pi + 9/2. \sqrt{3}).a^2)$  hay  $S \approx 23.502 a^2$
Diện tích vòng loop  $S_{loop} = 1/2.(5\pi - 9/2. \sqrt{3}).a^2$  hay  $S_{loop}  \approx 0.059.a^2$

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/1EZjzkus95o

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$4(x^2 + y^2 - ax)^3 = 27a^2(x^2 + y^2)^2$
Nhập liệu  :  4*(x^2 + y^2 - a*x)^3 = 27*a^2*(x^2 + y^2)^2

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r  =4acos^3(\theta/3)$
Nhập liệu  :  r  =4*a*cos(theta/3)^3

Chọn a = 2 .
Khi đó : $4(x^2+y^2-2x)^3 = 108(x^2+y^2)^2$
Nhập liệu  :  4*(x^2+y^2-2*x)^3 = 108*(x^2+y^2)^2

hoặc
$r  =8cos^3( \theta/3)$
Nhập liệu  :  r  =4*2*cos(theta/3)^3  


2.2.1  WA - Desmos (DE) - Seriesmathstudy (SMS) - Flash&Math (FM)  Cayley's Sextic .


Nguồn :  http://youtu.be/B724uHrjoc8

2.2.2   Flash&Math  (FM) - MathsTools (MT) - FooPlot (FP)  Cayley's Sextic  .


Nguồn :  http://youtu.be/cIyx46sbI1c

Nhận xét  :

WA :  Nhập liệu dạng hàm ẩn 2.1.9  .
DE :  Nhập liệu dạng  hàm ẩn  ( có chức năng vẽ họ đường cong , rất tốt ) .
SMS :  Nhập liệu dạng  thông thường y = f(x)  ( Hình không chuẩn , không nên dùng ) ./
FM : Nhập liệu hàm ẩn  .
MT : không nhập được ( Không nên dùng ) ./
FP : Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực r = f(θ) .

Lưu trữ :   http://yadi.sk/d/aAy7TcvjP4svi

2.3   Circle (đường tròn)  [8] .




A. Khái niệm .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:  Đường tròn là tập hợp các điểm chuyển động luôn cách đều một điểm cố định ( gọi là tâm ) một đoạn không đổi ( gọi là bán kính - ký hiệu R ) .
Gọi I(a,b) là tâm đường tròn , vì IM = R  nên $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=R$ hay $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
Khi I(a,b)  trùng với gốc tọa độ O(0,0) ta có  $x^2 + y^2 = R^2$

Phương trình đường cong tham số:
$x = Rcost  ,  y = Rsint$

+Chiều dài cung   $L(t) = R.t$
+Độ cong  $C(t)=\frac{1}{R}$
+Chu vi  $ P=2\pi R$
+Diện tích   $S= \pi R^2$

Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/w4wAsHkdI2Y


B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$x^2 + y^2 = R^2$
Nhập liệu  :  x^2 + y^2 = R^2

Phương trình đường cong tham số:
$x = Rcost  ,  y = Rsint$
Nhập liệu  :  x = R*cos(t)  ,  y = R*sin(t)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
r = R

Chọn R = 1 .
Khi đó  $x^2 + y^2 = 1$
Nhập liệu  :  x^2 + y^2 = 1

hoặc
Nhập liệu  :  x = cos(t)  ,  y = sin(t)
r = 1

2.3.1  WA - Desmos (DE) - Seriesmathstudy (SMS)   Circle .


Nguồn :  http://youtu.be/JhXm8G0TeTA

2.3.2   Flash&Math  (FM) - MathsTools (MT) - FooPlot (FP)   Circle  .


Nguồn :   http://youtu.be/d327el298mk

Nhận xét  :

WA :   Nhập liệu dạng tham số 2.1.6  .
DE :  Nhập liệu dạng  hàm ẩn .
SMS :  Nhập liệu  dạng  tham số .
FM : Nhập liệu hàm ẩn  .
MT : Nhập liệu dạng tham số ( Hình không chuẩn , không nên dùng ) ./
FP : Nhập liệu dạng tham số .

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/7QO1sk7xP57cf

2.4  Cissoid of Diocles (đường cissoid Diocles)   [9] 



File:Cissoide2.svg

A. Khái niệm .

Đường tròn (C) có bán kính a , tâm là (a,0) . Khi đó điểm A(2a,0) , gọi M2  thuộc tiếp tuyến với (C) tại A và tia OM2  cắt  (C) tại điểm M1 . Khoảng cách từ O đến Cissoid là OM = OM2 - OM1 = $2asecθ  -  2cosθ$ = $2a sin^2θ / cosθ  = 2a sinθ. tanθ$
Đặt $ t = tanθ$
Vì  $x  = rcosθ , y = tx$  có thể biến đổi thành
$x = rcosθ =  {2a sin^2θ / cosθ} . cosθ = 2sin^2θ =$
$= 2a tan^2θ/sec^2θ =  2at^2/(1+t^2)$
$y = tx = 2at^3/(1+t^2)$
Khử t giữa x và y ta thu được  $y^2=x^3/(2a-x)$

Phương trình tham số đường cong trong hệ tọa độ Descartes
$x=2at^2/(1+t^2)$
$y=2at^3/(1+t^2)$
Với $ a>0 , t>0$
+Chiều dài cung   $L(t) =a.[\sqrt{3}.ln2 - 4 + 2\sqrt{3}.ln(2+ \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3}.ln(\sqrt{6}cost + \sqrt{5+3.cos2t})+sect . \sqrt{10+6.cos2t}    ]$
+Độ cong  $C(t) = \frac{3.tan^2t}{a.(sec^4t+2.sec^2t -3)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận   $S=3  \pi a^2$

Với $ a>0 , t \in ( - \pi/2 , \pi /2 )$
+Chiều dài cung   $L(t) = 2a.[ \sqrt{t^2+4}-2+\sqrt{3}.arctan(2/ \sqrt{3}) - \sqrt{3}.arctan \sqrt{(t^2 +4)/3}    ]$
+Độ cong  $C(t)=\frac{3}{a.|t|.(4+t^2)^{3/2}}$
+Chu vi
+Diện tích giới hạn bởi đường cong và tiệm cận   $S=3  \pi a^2$


Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/Wn-39tWDQJI

B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes:
$y^2=x^3/(2a-x)$
Nhập liệu  :  y^2=x^3/(2*a-x)

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = 2a. tanθ.sinθ$
Nhập liệu  :  r = 2*a*tan(θ)*sin(θ)

Chọn  a = 2
Khi đó  $y^2=x^3/(4-x)$
Nhập liệu  :  y^2=x^3/(2*2-x)

hoặc
$r = 4tanθ. sinθ$
Nhập liệu  :  r = 2*2*tan(θ)*sin(θ)

2.4.1  WA - Desmos (DE) - Seriesmathstudy (SMS)   Cissoid of Diocles .


Nguồn  :  http://youtu.be/q4ZJENsALho

2.4.2   Flash&Math  (FM) - MathsTools (MT) - FooPlot (FP)   Cissoid of Diocles .


Nguồn :  http://youtu.be/LKD6c9zU76o

Nhận xét  :

WA :  Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực  2.1.4 .
DE :  Nhập liệu dạng  hàm tọa độ cực .
SMS :  Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực .
FM :  Nhập liệu dạng tham số tọa độ cực .
MT :  Nhập liệu dạng tham số ( Hình không chuẩn , không nên dùng ) ./
FP :   Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực .

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/ByIEzLaRPGQYD

2.5  Cochleoid (đường ốc sên Cochleoid)  [10] 



A. Khái niệm .

Cochleoid là quỹ tích các điểm cuối của một cung có độ dài cố định với đầu kia và luôn được gắn chặt vào một đường thẳng tiếp xúc cố định nằm ngang . Người ta có thể tưởng tượng trong thực tế đường cong mô tả bằng đoạn cuối của một ống nhựa cuộn theo một hình tròn, mà đầu kia là cố định. Cochleoid có vô hạn các xoắn ốc, đi qua cực của nó và tiếp xúc với trục cực nằm ngang . Cực là một điểm kỳ dị đa vô hạn. Bất kỳ đường thẳng qua O đều cắt cochleoid; các tiếp tuyến với cochleoid tại các giao điểm này đều đi qua cùng một điểm.

Phương trình tham số đường cong :
 $x = asin2t/{2t}$
 $y = asin^2t/t$

+Chiều dài cung
+Độ cong  $C(t)=\frac{2\sqrt{2}.t^3.(2t - sin2t )}{(1+2t^2 - cos2t - 2t .sin2t )^{3/2}}  $
+Chu vi
+Diện tích


 Các đường liên hợp
Xem  http://youtu.be/f5fM9dZDB8c



B. Phương trình .

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ Descartes

  $(x^2+y^2)arctan(y/x) = ay$

Phương trình tham số đường cong :
 $x = asin2t/{2t}$
 $y = asin^2t/t$

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ cực:
$r = a sinθ/θ$
Nhập liệu  :  r = a sin(θ)/θ

Chọn  a = 1
Khi đó   r = sin(θ)/θ

2.5.1  WA - Desmos (DE) - Seriesmathstudy (SMS)   Cochleoid . 


Nguồn :  http://youtu.be/gKWCOat1tiY

2.5.2   Flash&Math  (FM) - MathsTools (MT) - FooPlot (FP)    Cochleoid  .


Nguồn :  http://youtu.be/4GYQwhXUlAw

Nhận xét  :

WA :   Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực .
DE :  Nhập liệu dạng  hàm tọa độ cực .
SMS :  Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực .
FM : Nhập liệu dạng tham số tọa độ cực .
MT : Nhập liệu dạng tham số ( Hình không chuẩn , không nên dùng ) ./
FP : Nhập liệu dạng hàm tọa độ cực .

Lưu trữ :  http://yadi.sk/d/5e2RNFEEPMBzu


III . Lời kết .

Đến đây có lẽ bạn đọc đã  phần nào quen thuộc với các trình ứng dụng ( GP,GC,GX,wxM ,Maple V)  và các công cụ trực tuyến  ( WA,DE,SMS,FM,MT,FP )  giúp cho việc khảo sát đồ thị các đường cong với nhập liệu các hàm dạng thông thường , hàm tọa độ cực , hàm ẩn và dạng tham số .

Đặc biệt ở cuối mỗi tiểu mục là phần lưu trữ gồm các files dạng pdf , nb , gif , png , jpg   chứa các nội dung liên quan đến đường cong . Tác giả hy vọng rằng những nội dung lưu trữ này sẽ giúp các bạn dễ dàng tìm hiểu thêm và xử lý các thông tin một cách hữu ích .

Trong các bài viết sau ngoải nội dung chính là khảo sát đường cong với các trình ứng dụng và website đồ họa trực tuyến , chúng ta sẽ tìm hiểu thêm về cách nhập liệu biểu thức hàm cho các trình ứng dụng Mathematica , Maple cùng những tùy chọn khi vẽ các đồ thị hàm số .

Cám ơn các bạn đã đọc bài viết này . Hẹn gặp lại .


Trần hồng Cơ 
Ngày 05 /05/ 2014 .




 ------------------------------------------------------------------------------------------- 

 Khoa học là một điều tuyệt vời khi không phải dùng nó để kiếm sống. 

 Albert Einstein .

*******

Blog Toán Cơ trích đăng các thông tin khoa học tự nhiên của tác giả và nhiều nguồn tham khảo trên Internet .
Blog cũng là nơi chia sẻ các suy nghĩ , ý tưởng về nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau .


Chia xẻ

Bài viết được xem nhiều trong tuần

CÁC BÀI VIẾT MỚI VỀ CHỦ ĐỀ TOÁN HỌC

Danh sách Blog

Gặp Cơ tại Researchgate.net

Co Tran