TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN .

TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN .

Trong các văn bản khoa học dưới đây có một số code cho phương trình vi phân , phương trình tích phân trong đó trình bày các phương pháp xấp xỉ như Runge-Kutta , Sokolov , tuyến tính hóa tương đương , phép biến đổi Laplace ... 
< Để đọc trực tuyến bạn Click chuột phải , chọn Open in a new tab > 

-------------------------------------------------------------------------------------------

Toán học thuần túy, theo cách của riêng nó, là thi ca của tư duy logic.

Pure mathematics is, in its way, the poetry of logical ideas.

Albert Einstein .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 2-PHẦN 2 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 2-

PHẦN 2 .







Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
hệ số hằng thuần nhất .
Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
hệ số hằng không thuần nhất .

Phương pháp hệ số bất định ( Undetermined Coefficients ) 

Phương pháp biến thiên tham số ( Variation of Parameters )
Phương pháp giảm bậc  ( Reduction of Order )
Phương trình Euler-Cauchy .






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  



Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .


****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng thuần nhất .

1.1  Dạng thuần nhất .

1.2  Cách giải .

1.3  Các ví dụ minh họa .
Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 

Lời giải .

2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất .

2.1  Dạng không thuần nhất .

2.2    Phương pháp hệ số bất định  ( Undetermined Coefficients )   .
a. Cách giải .

+Bước 1 .  Tìm nghiệm thuần nhất  yTN
+Bước 2 .  Tìm nghiệm riêng yR  của phương trình .

(i)  Mũ - Đathức ( Expo-Poly ) . 
Nếu vế phải là dạng mũ - đa thức 

(ii)  Mũ - Đa thức - Lượng giác -  ( Expo-Poly-Trig ) . 

Nếu vế phải là   dạng mũ - đa thức - lượng giác .

+Bước 3 .  Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất  .
  yTQ   =  yR   +   yTN

b.   Các ví dụ minh họa .
Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 

Lời giải .Trong phần sau ký hiệu (*) chỉ phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất trong từng ví dụ tương ứng .

Ví dụ . Giải các phương trình vi phân sau 


Lời giải .Trong phần sau ký hiệu (**) chỉ phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính hệ số hằng không thuần nhất trong từng ví dụ tương ứng .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .Chương 2-PHẦN 1 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 2-

PHẦN 1 .






Tổng quan .
Phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến .
Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính . 
Độc lập tuyến tính và định thức Wronski .
 






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  

Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .

****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.



1. Tổng quan .
Dạng hiển của phương trình vi phân cấp 2 

Ví dụ . 
y"=x.y+y.y'   ( phi tuyến )
y"-2xy'+y=sinx   ( tuyến tính )
y"-xy'+3xy=0   ( tuyến tính thuần nhất )

Việc tìm lời giải cho phương trình vi phân cấp 2 khá phức tạp , ta có thể phân loại như sau  để đơn giản hóa chúng .
+ Phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến đặc biệt .
+ Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuần nhất .
+ Phương trình vi phân cấp 2   tuyến tính .


2. Phương trình vi phân cấp 2 phi tuyến đặc biệt .
2. 1  Phi tuyến khuyết   y . 
Ví dụ .  Giải phương trình vi phân sau 

Kiểm tra bằng Maple 

2. 2  Phi tuyến khuyết   x  . 

Ví dụ .  Giải phương trình vi phân sau 

Kiểm tra bằng Maple 

3. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN . Chương 1- PHẦN 3 .

GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

Chương 1-

PHẦN 3 .

Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm -
Giải số phương trình vi phân .






Loạt bài sau đây giới thiệu về phương trình vi phân một cách tổng quan , các khái niệm cơ bản và phương pháp giải được trình bày tinh giản dễ hiểu . Bạn đọc có thể sử dụng các phần mềm hoặc công cụ online trích dẫn chi tiết trong bài viết này để hỗ trợ cho việc học tập và nghiên cứu . Ngoài ra tác giả cũng sẽ đề cập đến những ví dụ minh họa cụ thể , các mô hình thực tế có ứng dụng trong lĩnh vực phương trình vi phân .  

Trần hồng Cơ .
10/11/2012 .

****************************************************************************


This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States License.

1. Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm  .


1.1   Định lý .


Định lý  tồn tại và duy nhất nghiệm là công cụ mà nhờ nó chúng ta có thể  kết luận rằng chỉ tồn tại một nghiệm cho phương trình vi phân thỏa mãn điều kiện ban đầu nào đó . Nội dung và ý nghĩa thực sự của định lý này như thế nào và tại sao chúng ta phải nghiên cứu những tính chất đặc biệt này ? Trước tiên ta sẽ đưa ra phát biểu của định lý .

Khi đó nghiệm của phương trình vi phân này có dạng 

Picard là người đã phát hiện ra biểu thức nghiệm của phương trình vi phân , từ đó ông đưa ra phương pháp xấp xỉ liên tiếp sẽ được trình bày dưới đây . 

1.2   Ý nghĩa  .


- Sự tồn tại nghiệm phương trình vi phân được cho trên một miền đóng ( hình chữ nhật trong mặt phẳng ) 

trên đó hàm 2 biến f(x,y) và đạo hàm df(x,y) /dy liên tục  .
- Trên miền con đóng I 

phương trình vi phân này sẽ có nghiệm duy nhất đi qua điểm ( xo , yo ) .
- Lưu ý :
*Tính chất đạo hàm  df(x,y) /dy   liên tục là để phương trình có nghiệm duy nhất . Nếu không thỏa mãn điều kiện này tính duy nhất sẽ bị phá vỡ .
Xét ví dụ phương trình vi phân sau .

*Có thể thay thế điều kiện đạo hàm  df(x,y) /dy   liên tục bằng điều kiện liên tục Lipschitz trên miền 

Định lý Picard-Lindelof cho ta một tiêu chuẩn nhẹ hơn để phương trình vi phân có nghiệm duy nhất .

1.3   Ví dụ minh họa  .

1. Giả sử rằng phương trình vi phân 

y' = f(x,y)  thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm với 2 nghiệm riêng tìm được là 

a. Vẽ đồ thị 2 nghiệm này trên cùng hệ trục toa độ .

b. Hãy cho biết tính chất của nghiệm y(x) thỏa mãn  y(0) = 1   trên đoạn [ -1/2 , 1/2 ] . Có thể phát biểu gì cho y(x)  khi  

Lời giải .

NHỮNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN .

NHỮNG  ỨNG DỤNG  CỦA  PHƯƠNG TRÌNH  VI  PHHÂN .



Bài viết này được trích từ các bài giảng của tác giả về phương trình vi phân . Các bạn có thể theo dõi đầy đủ chi tiết trong phần " GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN " đăng trên Blog này hoặc Blog TOÁN ĐƠN GIẢN  . Nội dung chính  bao gồm phần giải thuật , các ví dụ và bài tập tương tự cuối chương .


Trần hồng Cơ 
20/11/2012 .


1*. Sự phân rã phóng xạ .

Gọi A(t) là số lượng nguyên tử phóng xạ tại thời điểm t của một mẫu vật liệu cho trước . Với C > 0 phương trình 

là phương trình vi phân mô tả lượng nguyên tử phóng xạ .
a.Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trên .
b.  Giả sử rằng  với  t = s ; A(s) = As . Tìm nghiệm riêng .

Sử dụng phương pháp tích phân , lời giải như sau 

Click vào link sau :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=A%28t%29%27%3D-C*A%28t%29
b. Giả sử rằng  với  t = s ; A(s) = As đồng vị . Thực hiện  3 bước  tương tự như ở ví dụ trên khi đó nghiệm riêng có dạng 

Xem hình minh họa sau 

2*. Hàm doanh thu .

Giả sử biên tế doanh thu của mặt hàng máy tính bảng Archos được giới thiệu ra thị trường sau x tuần được biểu diễn bởi 

a. Tìm hàm doanh thu R , biết doanh số của sản phẩm này sau 10 tuần là $9380.25 .
b. Dùng hàm mô hình doanh thu để dự kiến doanh số của sản phẩm  5 tháng sau khi được giới thiệu ra thị trường .
Lời giải .
a. 

Đồ thị hàm doanh thu 

b. 5 tháng = 20 tuần . Thay x= 20 vào hàm R(x) ta có 

3*. Mô hình tăng trưởng mũ .
Giả sử tại thời điểm  t = 0 (s) , số lượng vi khuẩn là  100 , t  = 30 (s) , số lượng vi khuẩn là  200 . Hãy ước lượng số vi khuẩn phát triển trong 1 phút , biết mô hình tăng trưởng tuân theo hàm mũ và phương trình vi phân có dạng 

Lời giải .
Sử dụng phương pháp tích phân , lời giải như sau 

t = 0 ;  P(0) = C.exp(k.0)  = 100  => C = 100
t = 30 ;  P(30) = C.exp(k.30)  = 200  => 100. exp(30k) = 200
hay exp(30k) = 2  vậy  k  =  1/30 ln2 

Khi đó 

Xem lời giải bằng wMaxima 

Đồ thị hàm P(t) . 

4*. Vận tốc ca nô . 
Số liệu thực tế khi đo vận tốc của một ca nô được cho ở bảng sau [ cột X : thời gian t (s)  , cột Y là vận tốc V (m/s) ]

a. Dùng CurveExpert để điều hóa ( best fit )  số liệu này , chọn hàm số thích ứng .

b. Gọi vận tốc là hàm số  điều hóa ( best fit )  tìm được , hãy viết phương trình vi phân mô phỏng .
c. Giải phương trình vi phân này . Tìm khoảng cách ca nô đạt được tại thời điểm 10 giây (s) ?

Lời giải .
a. Exponential Fit: y=ae^(bx)